球的體積及表面積公式

1、整理ppt整理ppt,21RRr ,)(222nRRr 問題問題: :已知球的半徑為已知球的半徑為R,R,用用R R表示球的體積？表示球的體積？,)2(223nRRr AOB2C2AO極限的思想極限的思想分割分割求近似和求近似和化為準(zhǔn)確和化為準(zhǔn)確和整理pptOR)1( inR半半徑徑：層層“小小圓圓片片”下下底底面面的的第第in n. ., ,1 1, ,2 2i i , ,1 1) ) ( (i in nR R R Rr r2 22 2i iirOA整理pptnininRnRrVii,2,1,)1(1232 niinRRri,2,1,)1(22 nVVVV 21半半球球)1(2122223n

2、nnnR 6) 12() 1(123 nnnnnnR 6)12)(1(1123 nnnR 整理ppt6)12)(11(13nnRV 半半球球.01, nn時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).343233RVRV 從從而而半半球球334RVR 的的球球的的體體積積為為：定定理理：半半徑徑是是整理ppt例例1 1：一種空心鋼球的質(zhì)量是：一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,142g,外徑是外徑是5cm,5cm,求它求它的內(nèi)徑的內(nèi)徑.(.(鋼的密度是鋼的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2) )解解: :設(shè)空心鋼球的內(nèi)徑為設(shè)空心鋼球的內(nèi)徑為2xcm,2xcm,則鋼球的質(zhì)量是則鋼球的質(zhì)量是答答: :空心鋼球的內(nèi)徑約為空心鋼球的內(nèi)徑

3、約為4.5cm.4.5cm.14234)25(349.733 x 3.1149.73142)25(33 x由計(jì)算器算得由計(jì)算器算得: :24. 2 x5 . 42 x整理pptoi iS So整理ppt第第一一步：步：分分割割球面被分割成球面被分割成n n個(gè)網(wǎng)格，表面積分別為：個(gè)網(wǎng)格，表面積分別為：nSSSS ,321，則球的表面積：則球的表面積：nSSSSS 321則球的體積為：則球的體積為：iV 設(shè)設(shè)“小小錐錐體體”的的體體積積為為iVnVVVVV 321iSO OO O整理ppt第第二二步：步：求求近近似似和和ih由第一步得：由第一步得：nVVVVV 321nnhShShShSV 313

4iiihSV 31 O OiSiVO O整理ppt第第三三步：步：化化為為準(zhǔn)準(zhǔn)確確和和RSVii31 如果網(wǎng)格分的越細(xì)如果網(wǎng)格分的越細(xì), ,則則: : “小錐體小錐體”就越接近小棱就越接近小棱錐錐RSRSRSRSVni 3131313132 RSSSSSRni31).(3132 334RV 又又球球的的體體積積為為：RiS iVihiSO OiV234,3134RSRSR 從從而而Rhi的的值值就就趨趨向向于于球球的的半半徑徑 整理pptOABCO 例例1 1: :已知過球面上三點(diǎn)已知過球面上三點(diǎn)A A、B B、C C的截面到球心的截面到球心O O的距離的距離等于球半徑

5、的一半，且等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=AB=BC=CA=cmcm，求球的體積，求球的體積，表面積表面積解：如圖，設(shè)球解：如圖，設(shè)球O O半徑為半徑為R R，截面截面OO的半徑為的半徑為r，r332AB2332AO 是正三角形，是正三角形，ABCROO ,2 整理ppt. .3 34 4R R .96491644S2 R,)332()2R(R222 OABCO ,222AOOOOAAOORt 中中解解：在在 ; ;8 81 12 25 56 6) )3 34 4( (3 34 4R R3 34 4V V3 33 3例例2.2.已知過球面上三點(diǎn)已知過球面上三點(diǎn)A A、B B、C C的截面

6、到球心的截面到球心O O的距離等的距離等于球半徑的一半，且于球半徑的一半，且AB=BC=CA=AB=BC=CA=cmcm，求球的體積，表面，求球的體積，表面積積例例2.2.如圖，正方體如圖，正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱長(zhǎng)為的棱長(zhǎng)為a,a,它的各它的各個(gè)頂點(diǎn)都在球個(gè)頂點(diǎn)都在球O O的球面上，問球的球面上，問球O O的表面積。的表面積。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對(duì)稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對(duì)角線與對(duì)稱圖形

7、可知，它們中心重合，則正方體對(duì)角線與球的直徑相等。球的直徑相等。22222113423,)2()2(:aRSaRaaRDDBRt 得得中中略略解解：A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O2.一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上,它的棱長(zhǎng)是它的棱長(zhǎng)是4cm,這個(gè)球的體積為這個(gè)球的體積為cm3. 8 3323.有三個(gè)球有三個(gè)球,一球切于正方體的各面一球切于正方體的各面,一球切于一球切于正方體的各側(cè)棱正方體的各側(cè)棱,一球過正方體的各頂點(diǎn)一球過正方體的各頂點(diǎn),求這求這三個(gè)球的體積之比三個(gè)球的體積之比_.1.球的直徑伸長(zhǎng)為原來的球的直徑伸長(zhǎng)為原來的

8、2倍倍,體積變?yōu)樵瓉淼谋扼w積變?yōu)樵瓉淼谋?練習(xí)一練習(xí)一33:22:17.7.將半徑為將半徑為1 1和和2 2的兩個(gè)鉛球，熔成一個(gè)大鉛球，那么的兩個(gè)鉛球，熔成一個(gè)大鉛球，那么 這個(gè)大鉛球的表面積是這個(gè)大鉛球的表面積是_.5.5.長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面積分別為長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面積分別為 ， 則它的外接球的表面積為則它的外接球的表面積為_. .15,5,36.6.若兩球表面積之差為若兩球表面積之差為4848 , ,它們大圓周長(zhǎng)之和為它們大圓周長(zhǎng)之和為1212 , , 則兩球的直徑之差為則兩球的直徑之差為_. .練習(xí)二練習(xí)二 94 3312l了解球的體積、表面積推導(dǎo)的基本思路：了解球的體積、表面積推導(dǎo)的基本思路：分割分割求近似和求近似和化為標(biāo)準(zhǔn)和的方法，是化為標(biāo)準(zhǔn)和的方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法一種重要的數(shù)學(xué)思想方法極限思想，它極限思想，它是今后要學(xué)習(xí)的微積分部分是今后要學(xué)習(xí)的微積分部分“定積分定積分”內(nèi)內(nèi)容的一個(gè)應(yīng)用；容的一個(gè)應(yīng)用；l熟練掌握球的體積、表面積公式：熟練掌握球的體積、表面積公式：23434RSRV 整理pptl了解了解球的體積、表面積推導(dǎo)的基本思路：球的體積、表面積推導(dǎo)的基本思路：分割分割求近似和求近似和化為標(biāo)準(zhǔn)和的方法，是化為標(biāo)準(zhǔn)和的方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法一種重要的數(shù)學(xué)思想方