201x_201x版高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程1.2橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)一北師大版選修

1、橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)(一一)第二章第二章1橢橢 圓圓學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形.2.根據(jù)幾何條件求出曲線方程，并利用曲線的方程研究它的性質(zhì)、圖形.題型探究題型探究問題導(dǎo)學(xué)問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)問題導(dǎo)學(xué)思考思考1知識(shí)點(diǎn)一橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)對(duì)于方程C1：令x0，得y4，即橢圓與y軸的交點(diǎn)為(0，4)與(0，4)；令y0，得x5，即橢圓與x軸的交點(diǎn)為(5，0)與(5，0).同理得C2與y軸的交點(diǎn)為(0，5)與(0，5)，與x軸的交點(diǎn)為(4，0)與(4，0).答案怎樣求C1、C2與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)？交點(diǎn)坐

2、標(biāo)是什么？思考思考2橢圓具有對(duì)稱性嗎？有.問題中兩橢圓都是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，也是以x軸、y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形.答案思考思考3橢圓方程中x，y的取值范圍分別是什么？C1：5x5，4y4；C2：4x4，5y5.答案梳理梳理標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn)_焦距范圍_對(duì)稱性關(guān)于 對(duì)稱頂點(diǎn)_軸長(zhǎng)軸長(zhǎng) ，短軸長(zhǎng)_F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)|x|a，|y|b|x|b，|y|ax軸、y軸和原點(diǎn)(a，0)，(0，b)(0，a)，(b，0)2a2b 知識(shí)點(diǎn)二橢圓的離心率知識(shí)點(diǎn)二橢圓的離心率思考思考觀察不同的橢圓可見它們的扁平程度不一樣，哪些量影響其扁平程度？怎樣刻畫？答案

3、梳理梳理(1)定義：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)度的比叫作橢圓的 ，用e表示.(2)性質(zhì)：離心率e的取值范圍是 ，當(dāng)e越接近1，橢圓越 ，當(dāng)e越接近 ，橢圓就越接近圓.離心率(0，1)扁0題型探究題型探究類型一橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)類型一橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)例例1求橢圓9x216y2144的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo).橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別是2a8和2b6，四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A1(4，0)，A2(4，0)，B1(0，3)和B2(0，3).解答引申探究引申探究已知橢圓方程為4x29y236，求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率.解答可知此橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a3，短半軸長(zhǎng)b2.解決

4、此類問題的方法是將所給方程先化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)方程判斷出橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，再利用a，b，c之間的關(guān)系和定義，求橢圓的基本量.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1設(shè)橢圓方程mx24y24m(m0)的離心率為 ，試求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo).解答焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，B2(2，0).類型二求橢圓的離心率類型二求橢圓的離心率命題角度命題角度1與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的離心率問題與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的離心率問題例例2設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E： 1 (ab0)的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，|AF1|3|BF1|.(1)若|AB|4，ABF2的周長(zhǎng)為16，求

5、|AF2|；解答由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1.因?yàn)锳BF2的周長(zhǎng)為16，所以由橢圓定義可得4a16，|AF1|AF2|2a8.故|AF2|2a|AF1|835.解答設(shè)|F1B|k，則k0，且|AF1|3k，|AB|4k.由橢圓定義可得|AF2|2a3k，|BF2|2ak.在ABF2中，由余弦定理可得|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，化簡(jiǎn)可得(ak)(a3k)0，而ak0，故a3k.于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k.因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得F1AF2A，故AF1F2為等腰直角三角形.反思與

6、感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2橢圓 1(ab0)的兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為_.答案解析方法一如圖，DF1F2為正三角形，N為DF2的中點(diǎn)，F(xiàn)1NF2N，|NF2|c，則由橢圓的定義可知|NF1|NF2|2a，方法二注意到焦點(diǎn)三角形NF1F2中 ，NF1F230，NF2F160，F(xiàn)1NF290，則由離心率的三角形式，可得命題角度命題角度2利用利用a，c的齊次式，求橢圓的離心率的齊次式，求橢圓的離心率(或其取值范圍或其取值范圍)例例3(1)設(shè)橢圓C： 1(ab0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2作x軸的垂線與C相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)

7、1B與y軸相交于點(diǎn)D，若ADF1B，則橢圓C的離心率等于_.答案解析1BFk(2)若橢圓 1(ab0)上存在一點(diǎn)M，使得F1MF290(F1，F(xiàn)2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn))，則橢圓的離心率e的取值范圍是_.答案解析由題意知，以F1F2為直徑的圓至少與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)，則cb，即c2b2，所以c2a2c2，又0e1，若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的關(guān)系式，借助于a2b2c2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范圍.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3若一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率

8、是_.答案解析由題意知2a2c2(2b)，即ac2b，又c2a2b2，消去b整理得5c23a22ac，類型三利用橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)求方程類型三利用橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)求方程例例4求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解答所以b2a2c25，解答在求橢圓方程時(shí)，要注意根據(jù)題目條件判斷焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，從而確定方程的形式；若不能確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，則應(yīng)進(jìn)行討論，然后列方程(組)確定a，b，這就是我們常用的待定系數(shù)法.反思與感悟解答橢圓過點(diǎn)(3，0)，點(diǎn)(3，0)為橢圓的一個(gè)頂點(diǎn).當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，(3，0)為右頂點(diǎn)，則a3，當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，(3，0)為右頂點(diǎn)，則b3，當(dāng)堂訓(xùn)練當(dāng)堂訓(xùn)練234511

9、.橢圓以兩條坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一個(gè)頂點(diǎn)是(0，13)，另一個(gè)頂點(diǎn)是(10，0)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為A.(13，0) B.(0，10)C.(0，13) D.(0， )答案解析2.如圖，已知直線l：x2y20過橢圓的左焦點(diǎn)F1和一個(gè)頂點(diǎn)B，則橢圓的離心率為 答案解析23451234513.與橢圓9x24y236有相同焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為2的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是答案解析234514.已知點(diǎn)(m，n)在橢圓8x23y224上，則2m4的取值范圍是_.答案解析234515. 求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，若其離心率為 ，焦距為8；解答由題意知，2c8，c4，a12，從而b2a2c2128，23451(2)短軸一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，且焦點(diǎn)到同側(cè)頂點(diǎn)的距離為 .解答規(guī)律與方法1.已知橢圓的方程討論性質(zhì)時(shí)，若不是標(biāo)準(zhǔn)形式，應(yīng)先