第五章圖像卷積

1、北京大學(xué)遙感所1第五章圖像卷積北京大學(xué)遙感所2 卷積定理 卷積運(yùn)算的性質(zhì) 卷積的應(yīng)用 典型函數(shù)的傅立葉變換 離散余弦變換5.1卷積定理北京大學(xué)遙感所3 卷積定理的意義Q 卷積分Q 卷積的幾何意義Q 卷積的物理意義 卷積定理Q 一維卷積定理Q 二維卷積定理Q 卷積定理的特例相關(guān)定理5.1.1.1卷積分北京大學(xué)遙感所4離散形兩個函數(shù)f (x)和 g(x)的卷積記做 f (x)*g(x)卷積公式f (a)g(x a)daf ( x) g ( x) M 1m 0Mf ( x) g ( x) 1 f (m ) g ( x m )5.1.1.2卷積的幾何意義f()g(x1-)f()f()10-x1(a)(

2、b)(c)(d)(e)(f)(g)g(-)g(-x1-)g(2x1-)g(3x1-)g(4x1-)x12x1 3x14x1 5x12f (x)* g(x)1/ 2g(5x1-)北京大學(xué)遙感所55.1.1.3卷積的物理意義北京大學(xué)遙感所6線性系統(tǒng)線性（linearity) 對同時作用的幾個激勵（輸入）的響應(yīng)（輸出），恒等于每個激勵單獨(dú) 引起的響應(yīng)之和，這種現(xiàn)象稱為線性。設(shè)對某個特定系統(tǒng)，輸入x1(t)經(jīng)系統(tǒng)后輸出y1(t)即：x1(t) y1(t)而對另一輸入x2(t)輸出為y2(t)即： x2(t) )y2(t)則系統(tǒng)的線性性質(zhì)可以表示為下式：x1(t)+x2(t) y1(t)+y2(t)5.

3、1.1.3卷積的物理意義h(t)H(u)線性系統(tǒng) 圖示:輸入f（t） 信號F北京大學(xué)遙感所7g（t） 輸出G（u） 信號傳遞函數(shù)、沖擊響應(yīng)（u）g(t) f (x)* h(x)線性系統(tǒng)G(u) F (u)H (u)5.1.1.3卷積的物理意義北京大學(xué)遙感所8空間不變的線性系統(tǒng)假設(shè)對某線性系統(tǒng)，有：f(x，y) g(x，y)空間位置由x，y變到了m，n的位置處，則有下式成立：f(x-m，y-n)g(x - m， y - n)即輸出函數(shù)的形狀不變，僅僅引起輸出函數(shù)位置相對應(yīng)的移動，則該系 統(tǒng)稱為空間不變的線性系統(tǒng)。5.1.1.3卷積的物理意義北京大學(xué)遙感所9g(x2 , y2 ) f ( ,) (

4、x1 , y1 )dd光學(xué)成像系統(tǒng)就是這樣的一個空間不變的線性系統(tǒng)。等暈系統(tǒng)線性系統(tǒng)的疊加性使我們有可能把一個復(fù)雜激勵的響應(yīng)用最簡單的脈沖 函數(shù)來表示。f (x, y) f ( ,) (x , y )ddf (x1 , y1 ) f ( , ) ( x1 , y1 )dd 5.1.1.3卷積的物理意義北京大學(xué)遙感所10 f ( ,)h(x2 , y2 )ddg(x2 , y2 )h(x2 , y2 ) (x1 , y1 )h(x2 , y2 ) 稱為系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)、脈沖響應(yīng)，在光學(xué)成像系統(tǒng)中 稱為系統(tǒng)的點擴(kuò)散函數(shù)由于 f ( ,) 是加在基元函數(shù) (x1 , y1 ) 上的權(quán)重因子所以，g(x

5、2 , y2 ) f ( , ) ( x1 , y1 )dd如果用符號h(x2 , y2 ) 表示系統(tǒng)在輸出平面上的 ( x 2 , y 2 )對輸入平面上函數(shù)的響應(yīng)，則有：5.1.1.4卷積定理北京大學(xué)遙感所11一維卷積時域表示y t h t * x t x h t d頻域表示Y s H s X s5.1.1.4卷積定理北京大學(xué)遙感所12f（x） g(x) F（u） G(u)卷積定理頻域卷積定理f（x） g(x) F（u） G(u)5.1.1.4卷積定理北京大學(xué)遙感所13二維卷積的表達(dá)式：h(x, y) f g f (u, v)g(x u, y v)dudv5.1.1.5卷積定理的特例相關(guān)定

6、理相關(guān)用表示，定義如下:描述的是兩個函數(shù)圖形的相似程度， 當(dāng)完全相同時，相關(guān)函數(shù)就會出現(xiàn) 一個相關(guān)峰值。f (x） g(x)f (x） g(x) f (a)g(x a)da北京大學(xué)遙感所145.1.1.5卷積定理的特例相關(guān)定理北京大學(xué)遙感所15相關(guān)定理：f (x） g(x) F (u)G(u)f (x） g(x) F * (u)G(u)5.2卷積運(yùn)算的性質(zhì)北京大學(xué)遙感所16 交換性 加法的分配律 結(jié)合律 卷積的平滑性質(zhì) 卷積的擴(kuò)散性質(zhì)5.2卷積運(yùn)算的性質(zhì)北京大學(xué)遙感所17交換性加法的分配律結(jié)合律f g g ff g f (t xg(xdx g ff (g h) f g f hf (g h) (

7、 f g) h5.2卷積運(yùn)算的性質(zhì)北京大學(xué)遙感所18平滑性質(zhì)是指兩個函數(shù)卷積的結(jié)果使得每個函數(shù)的精細(xì)結(jié)構(gòu)都會被平滑，一些尖峰和峽谷都趨于圓滑；擴(kuò)散性質(zhì)指的是卷積結(jié)果的區(qū)間擴(kuò)大性：兩個只在有限區(qū)間有定義的函數(shù)之卷積，卷積結(jié)果的區(qū)間線度等于兩個函數(shù)區(qū) 間線度之和。若結(jié)果表示光能量分布的話，分布范圍的增 加就意味著能量分布的擴(kuò)散。5.3卷積的應(yīng)用北京大學(xué)遙感所19去卷積我們可以用一個卷積去除另一個卷積影響的技術(shù)叫作去卷 積。即去除不需要的，但已對圖像施加了的線性系統(tǒng)的影 響。一個實例即利用卷積恢復(fù)由于透鏡系統(tǒng)或運(yùn)動所造成 的模糊，這兩種影響都認(rèn)為是由線性系統(tǒng)帶來的。去除噪聲即去掉線性疊加在圖像上的噪

8、聲信號。特征增強(qiáng) 以消弱景物中的其它為代價來增強(qiáng)指定特征（如邊、點） 的對比度。5.4典型函數(shù)的傅立葉變換北京大學(xué)遙感所20 函數(shù) 矩形函數(shù) 三角函數(shù) 抽樣函數(shù)5.4.1 函數(shù)函數(shù)是重要的數(shù)學(xué)分析工具?？?以表示沖擊量、點光源、點 電荷等。用來對任一個復(fù)雜 物函數(shù)進(jìn)行“脈沖分割”將 其分解成點基元的線性組 合。北京大學(xué)遙感所21(x)5.4.1 函數(shù)北京大學(xué)遙感所22 0 (x) lim (x) 0 (x) lim (x)112 x 0other (x) 性質(zhì)： 篩選性： (x) (x a)dx (a)對任意連續(xù)函數(shù)（x）,有 (x) (x)dx (0)或5.4.1 函數(shù)傅立葉變換為1F(u)

9、北京大學(xué)遙感所23u全頻域范圍內(nèi)變換，因此，控制域內(nèi)分析采 用此沖擊信號，可得到物體各頻率的變化5.4.2矩形函數(shù)定義rect(x)1212121x 0 x 1rect(x) 2x x傅立葉變換:sin c( )北京大學(xué)遙感所245.4.3三角函數(shù)011定義01 xx 1x 1(x) 傅立葉變換sin c2 ( )北京大學(xué)遙感所255.4.3抽樣函數(shù).s(x)1/ ux1/ u0.S(u)uu0comb(x) (x n)ncomb( )北京大學(xué)遙感所265.5離散余弦變換北京大學(xué)遙感所27離散余弦變換(Discrete cosine Transform)簡稱DCT 任何連續(xù)的實對稱函數(shù)的傅里葉

10、變換中只含余弦項，因此 余弦變換與傅里葉變換一樣有明確 的物理量意義。DCT是 先將整體圖像分成NN像素塊，然后對NN像素塊逐一 進(jìn)行DCT變換。實對稱 f(x)=f(-x)，所以有f (x)e j 2uxdxF (u) f (x) cos(2ux)dx j f (x) sin(2ux)dx f (x) cos(2ux)dx 5.5離散余弦變換存在如下變換對f (x) Re(u) f (x) cos(2ux)dxN1N1 N1N1 N1N1N100對圖像進(jìn)行 褶翻操作產(chǎn)生對稱場北京大學(xué)遙感所28N1005.5離散余弦變換二維正變換： cosN 1 N 1x0 y 02N2N (2 y 1)v (2x 1)u Gc (u, v) (u) (v) f (x, y) cos cosN 1 N 1u 0 v02N2N