切線的性質(zhì)和判定

1、切線的性質(zhì)和判定練習一解答題(共11小題)1. (2018?宿遷)如圖，AB AC分別是。O的直徑和弦，ODLAC于點D.過點A 作的切線與0D的延長線交于點P, PC AB的延長線交于點F.(1) 求證：PC是O 0的切線；(2) 若/ ABC=60, AB=1Q 求線段 CF的長.2. (2018?常德)如圖，已知。0是等邊三角形ABC的外接圓，點D在圓上，在 CD的延長線上有一點 F,使DF=DA AE/ BC交CF于E.(1) 求證：EA是O 0的切線；(2) 求證：BD=CF3. (2018?官渡區(qū)二模)如圖，AB是。0的直徑，AM和BN是。0的兩條切線，點 D是AM上一點，連接0D

2、過點B作BE/ 0D交O 0于點E,連接DE并延長交BN 于點C.(1) 求證：DEMO 0的切線；(2) 若AD=l，BC=4求直徑AB的長.AD V4. (2018?洪澤區(qū)一模)如圖，已知 AB為。0的直徑，AD BD是O O的弦，BC是 O O的切線，切點為B，OC AD BA CD的延長線相交于點E.(1) 求證：DC是O O的切線；(2) 若O0半徑為4,/ OCE=30,求厶OCE勺面積.5. (2018?淅川縣二模)如圖，已知O O的半徑為1, AC是OO的直徑，過點C作 OO的切線BC，E是BC的中點，AB交OO于D點.(1) 直接寫出ED和EC的數(shù)量關(guān)系： ;(2) DE是O

3、 O的切線嗎？若是，給出證明；若不是，說明理由；(3) 填空：當BC=時，四邊形AOED1平行四邊形，同時以點 O D E、C為頂點的四邊形是.6. (2018?東河區(qū)二模)已知如圖，以 Rt ABC的AC邊為直徑作O O交斜邊AB 于點E，連接EO并延長交BC的延長線于點D,作OF/ AB交BC于點F，連接EF.(1) 求證：OH CE(2) 求證：EF是O O的切線；(3) 若OO的半徑為3，/ EAC=60,求AD的長.7. (2018?海淀區(qū)二模)如圖，AB是。0的直徑，M是0A的中點，弦CDLAB于點M 過點D作DEL CA交CA的延長線于點E.(1) 連接 AD,則/ OAD &#

4、176;(2) 求證：DE與O 0相切；(3) 點 F 在 BC±,Z CDF=45, DF交 AB于點 N.若 DE=3 求 FN的長.8. (2018?朝陽區(qū)二模)AB為。0直徑，C為。0上的一點，過點 C的切線與AB 的延長線相交于點D, CA=CD(1) 連接BC，求證：BC=0B(2) E是兒中點，連接CE BE若BE=2求CE的長.9. (2018?蘇州)如圖，AB是。0的直徑，點C在。0上, AD垂直于過點C的切 線，垂足為D, CE垂直AB垂足為E.延長DA交。0于點F,連接FC, FC與AB 相交于點G,連接0C(1) 求證：CD=CE(2) 若AE=GE求證： C

5、EC是等腰直角三角形.10. (2017?黃石)如圖，。O是厶ABC的外接圓，BC為的直徑，點E為厶ABC的內(nèi)心，連接AE并延長交O O于D點，連接BD并延長至F,使得BD=DF連接CF BE(1) 求證：DB=DE(2) 求證：直線CF為O0的切線.11. (2018?長沙)如圖，在 ABC中, AD是邊 BC上的中線，/ BAD" CAD CE/AD, CE交BA的延長線于點E，BC=8 AD=3(1) 求CE的長；(2) 求證： ABC為等腰三角形.(3) 求厶ABC的外接圓圓心P與內(nèi)切圓圓心Q之間的距離.切線的性質(zhì)和判定 參考答案與試題解析一解答題（共11小題）1. （201

6、8?宿遷）如圖，AB AC分別是。O的直徑和弦，ODLAC于點D.過點A 作的切線與0D的延長線交于點P, PC AB的延長線交于點F.（1）求證：PC是O 0的切線；【分析】（1）連接0C可以證得厶OAPA OCP利用全等三角形的對應(yīng)角相等， 以及切線的性質(zhì)定理可以得到：/ OCP=9°即OCL PC即可證得；（2）先證 OBC是等邊三角形得/ COB=6°再由（1）中所證切線可得/ OCF=90, 結(jié)合半徑OC=5可得答案.【解答】解：（1）連接OCv ODL AC, OD經(jīng)過圓心O, AD=CD PA=PC在厶OAPffiA OCF中，fOA=OC P4PC,PP 二

7、 OP OAPA OCP( SSS,/ OCPM OAP PA是半。O的切線，:丄 OAP=9O.:丄 OCP=9Q即 OCL PC PC是O O的切線.(2)v OB=OC / OBC=6Q OBC是等邊三角形，/ COB=6Q AB=10 OC=5由(1)知/ OCF=90, CF=OCtai£ COB=5 '：.【點評】本題考查了切線的性質(zhì)定理以及判定定理，以及直角三角形三角函數(shù)的應(yīng)用，證明圓的切線的問題常用的思路是根據(jù)切線的判定定理轉(zhuǎn)化成證明垂直的 問題.2. (2018?常德)如圖，已知O O是等邊三角形ABC的外接圓，點D在圓上，在 CD的延長線上有一點 F,使D

8、F=DA AE/ BC交CF于E.(1) 求證：EA是O O的切線；(2) 求證：BD=CF【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得：/ OAC=30, / BCA=60,證明/ OAE=90, 可得：AE是。O的切線；(2)先根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得：AB=ACZ BACK ABC=60 ,由四點共圓的性質(zhì) 得：/ ADFW ABC=60,得厶ADF是等邊三角形,證明 BADA CAF可得結(jié)論.【解答】證明：(1)連接ODvO O是等邊三角形ABC的外接圓,/ OAC=3Q / BCA=60,v AE/ BC,/ EACK BCA=60,/ OAEK OACK EAC=3°+60

9、6;=90° , AE是O O的切線；(2)vA ABC是等邊三角形, AB=AC / BACK ABC=60,v A B C D四點共圓,K ADFK ABC=60,vAD=DF ADF是等邊三角形, AD=AF K DAF=60 , K BACK CADK DAFK CAD即/ BAF=/ CAF在厶 BADPA CAF中,rAB=ACv /BAD二ZCAF ,tAD=AF BADA CAF BD=CF【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定， 等邊三角形及外接圓，四點共圓 等知識點的綜合運用，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵.3. (2018?官渡區(qū)二模)如圖，AB是

10、的直徑，AM和BN是的兩條切線，點 D是AM上一點，連接OD過點B作BE/ OD交O O于點E,連接DE并延長交BN 于點C.(1) 求證：DE是O O的切線；(2) 若AD=l，BC=4求直徑AB的長.【分析】(1)求出/ AODN EOD根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)推出/ DEON DAO根據(jù)切線的判定得出即可;(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)和判定得出AB=DH AD=BH=1根據(jù)切線長定理求出DC根據(jù)勾股定理求出DH即可.【解答】 OA=OE=OB / OBEN PEB OD/ BE,N AODN OBE / OEBN DOEN AODN EOD在厶 AODfg EOD中'OA=OEZACD

11、ZEODQD 二 OD AODA EOD/ OADM OED AM是O O的切線,/ OAD=9Q:丄 OED=9Q即 OEL DETOE為O O半徑, DE是O O的切線;過D作DHL BC于H , AM和BN是O O的兩條切線,/ DAB2 ABH" DHB=90,四邊形ABHD是矩形, AB=DH AD=BHt AD=l , BC=4 BH=1 CH=4- 1=3,t AM和BN是O O的兩條切線,DE切O O于E , AD=1 BC=4 DE=AD=1 BC=CE=4DC=1+4=5在Rt DHC中 ,由勾股定理得：DH= 二|'= 丁 _-匸=4 ,即 AB=4【點

12、評】本題考查了切線的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)和判定、切線長定理等知識點，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵.4. (2018?洪澤區(qū)一模)如圖，已知 AB為的直徑，AD BD是O O的弦，BC是 O O的切線，切點為B, OC AD BA CD的延長線相交于點E.(1) 求證：DC是O O的切線；(2) 若O0半徑為4,/ OCE=30,求厶OCE勺面積.【分析】(1)連接DO如圖，利用平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證明/ COD= / COB則根據(jù) SAS可判斷 CODA COB所以/ CDO/ CBO再根據(jù)切線的性 質(zhì)得/ CBO

13、=90,則/CDO=9Q然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；(2)先利用/ OCB/OCD=3°尋至U/ DCB=60,則/ E=30°，再根據(jù)含30度的直 角三角形三邊的關(guān)系計算出 DE=4二,DC=OD=4二，然后根據(jù)三角形面積公式 計算.【解答】(1)證明：連接DO如圖， AD/ OC/ DAO/ COB / ADO/ COD又 OA=OD/ DAO/ ADO/ COD/ COB在 COD CO沖fOD=OB+ ZC0D=ZC0BLOC=OC COD COB( SAS,/ CDOMCBO BC是O O的切線，:丄 CBO=9Q:丄 CDO=9° ODL CE又點

14、D在O O上, CD是O O的切線；(2)解：由(1)可知/ OCBMOCD=3Q/ DCB=60,又 BCL BE/ E=30°,在 Rt ODE中, v tan / E=,2 2同理 DC=OD=4二,&oc?ODCE= X 4X 8 二=16 二.【點評】本題考查了切線的判定與性質(zhì)：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.判定切線時連圓心和直線與圓的公共點”或 過圓心作這條直線的垂線”有切線時，常常 遇到切點連圓心得 半徑”也考查了解直角三角形.5. （2018?淅川縣二模）如圖，已知O O的半徑為1, AC是OO的直徑，過點C作O

15、 0的切線BC E是BC的中點，AB交。0于D點.(1) 直接寫出ED和EC的數(shù)量關(guān)系：_ED=EC_;(2) DEMO 0的切線嗎？若是，給出證明；若不是，說明理由；(3) 填空：當BC=2_時，四邊形AOED1平行四邊形，同時以點 O D E、C 為頂點的四邊形是_正方形_【分析】(1)連結(jié)CD如圖，由圓周角定理得到/ ADC=90,然后根據(jù)直角三角 形斜邊上的中線直線得到DE=CE=BE(2) 連結(jié)0D如圖，利用切線性質(zhì)得/ 2+Z 4=90°,再利用等腰三角形的性質(zhì) 得/仁/ 2，Z 3=Z 4,所以/ 1 + Z 3=Z 2+Z4=90°,于是根據(jù)切線的判定定理可

16、 判斷DE是O0的切線；(3) 要判斷四邊形A0ED1平行四邊形，則DE=0A=1所以BC=2當BC=2時， ACB為等腰直角三角形，則Z B=45°,又可判斷厶BCD為等腰直角三角形，于是 得到DE± BC, DE= BC=1，所以四邊形A0ED是平行四邊形；然后利用0D=0C=CE=DE=Z 0CE=90可判斷四邊形 0CE%正方形.【解答】解：(1)連結(jié)CD如圖， AC是O 0的直徑，Z ADC=90, E是BC的中點， DE=CE=BE(2) DE是O 0的切線.理由如下：連結(jié)0D如圖， BC為切線， 0CL BC, Z 0CB=9Q 即 Z 2+Z 4=90

17、76;, OC=O,ED=EC/ 仁/ 2,Z 3=Z4,/ 1+Z 3=Z 2+Z 4=90°,即/ ODB=9° ODL DE DEMO O的切線；(3)當 BC=2時， CA=CB=2 ACB為等腰直角三角形，/ B=45°, BCD為等腰直角三角形， DEL BC, DE= BC=1 OA=DE=1 AO/ DE四邊形AOED!平行四邊形； OD=OC=CE=DE=1 OCE=90,四邊形OCE場正方形.故答案為ED=EC 2,正方形.【點評】本題考查了切線的判斷與性質(zhì)： 圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑； 經(jīng)過 半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.常

18、見的輔助線為：判定切線時連圓心和直線與圓的公共點”或 過圓心作這條直線的垂線”；有切線時，常常 遇到切點連圓心得半徑” 解決（3）小題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形和正方 形的判定方法.6. （2018?東河區(qū)二模）已知如圖，以 Rt ABC的AC邊為直徑作O O交斜邊AB 于點E，連接EO并延長交BC的延長線于點D,作OF/ AB交BC于點F，連接EF.(1) 求證：OH CE(2) 求證：EF是。O的切線；(3) 若OO的半徑為3,/ EAC=60,求AD的長.【分析】(1)由于AC是OO的直徑，得出CELAE,根據(jù)OF/ AB,得出OF! CE(2) 得到OF所在直線垂直平分 CE推出FC=

19、FE OE=OC再由/ACB=90 ,即可 得到結(jié)論.(3) 證出 AOE是等邊三角形，得到/ EOA=6O,再由直角三角形的性質(zhì)即可得 到結(jié)果.【解答】證明：(1)如圖，連接CE AC是O O的直徑， CEL AE, OF/ AB, OFL CE(2) v OFL CEOF所在直線垂直平分CE FC=FE OE=OC / FEC/ FCE / OEC/ OCEv/ ACB=90,即：/ OCE/ FCE=90 , / OEC/ FEC=90,即：/ FEO=90 , FE為O O的切線；(3) 如圖，vO O的半徑為3 , A0=C0=E0,=3vZ EAC=60, OA=OE/ EOA=6

20、0Z CODZ EOA=60,v在 Rt OCD中, Z COD=60, OC=3 CD=3 '；,v在 Rt ACD中, Z ACD=90,CD=3 二,AC=6-AD=3 -.【點評】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵.7. (2018?海淀區(qū)二模)如圖，AB是OO的直徑，M是OA的中點，弦CELAB于點 M 過點D作DEL CA交CA的延長線于點E.(1) 連接 AD 則Z OAD=_6O_°(2) 求證：DE與O O相切；(3) 點 F 在:上 , Z CDF=45, DF交 A

21、B于點 N.若 DE=3 求 FN的長.【分析】(1)由CDLAB和M是OA的中點,利用三角函數(shù)可以得到Z DOM=6, 進而得到厶OA是等邊三角形,Z OAD=60.(2) 只需證明DEL OD便可以得到DE與。O相切.(3) 利用圓的綜合知識，可以證明，/ CND=90,/ CFN=60,根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可以得到FN的數(shù)值.【解答】解：(1)如圖1連接OD AD圖1 AB是O O 的直徑，CDL AB AB垂直平分CD M是0A的中點， 0M=0A= OD2 2 cos / DOM=丄OD 2 Z DOM=6°又：OA=OD OAD是等邊三角形 Z OAD=60故答案為：6

22、0°(2)v CDL AB, AB是O O 的直徑, CM=MD M是OA的中點， AM=M.O又 vZ AMCZ DMO AMC OMD Z ACMZODM CA/ ODV DEI CA/ E=90°./ ODE=180/ E=90°. DEL OD DE與O O相切.（3）如圖2,連接CF, CNE圖2v OAL CD于 M M是CD中點. NC=NDvZ CDF=45,/ NCDZ NDC=45.Z CND=90.Z CNF=90.由（1）可知Z AOD=60.在 Rt CDE中, Z E=90°, Z ECD=30, DE=3CD=sin30&#

23、176;在 Rt CND中, Z CND=90,Z CDN=45, CD=6':匚.由（1）知Z CAD=ZOAD=120, Z CFD=180-Z CAD=60.在 Rt CNF中, Z CNF=90, Z CFN=60, H 二,【點評】本題考查圓的綜合運用，特別是垂徑定理、切線的判定要求較高，同時 對于特殊角的三角函數(shù)值的運用有所考察， 需要學生能具有較強的推理和運算能 力.8. (2018?朝陽區(qū)二模)AB為直徑，C為。O上的一點，過點 C的切線與AB 的延長線相交于點D, CA=CD(1) 連接BC 求證：BC=OB(2) E是中點，連接CE BE若BE=2求CE的長.【分析

24、】(1)連接0C根據(jù)圓周角定理、切線的性質(zhì)得到/ ACOM DCB根據(jù)CA=CD 得到/ CADM D，證明/ COBM CBO根據(jù)等角對等邊證明；(2)連接AE過點B作BF丄CE于點F，根據(jù)勾股定理計算即可.【解答】(1)證明：連接OC AB為。O直徑，M ACB=90,CD為O O切線 M OCD=9Q M ACOM DCB=90-M OCB CA=CD M CADM D. M COBM CBO OC=BC OB=BC(2)解：連接AE過點B作BF丄CE于點F. E是AB中點，=1,:.AE=BE=2 AB為。O直徑，/ AEB=90.:丄 ECB2 BAE=45,曲二2伍. CF=BF=

25、1C 二.m :.【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理，掌握圓的切線垂直 于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵.9. (2018賀州)如圖，AB是。O的直徑，點C在。O上, AD垂直于過點C的切 線，垂足為D,CE垂直AB垂足為E.延長DA交于點F,連接FC,FC與AB相交于點G,連接OC(1) 求證：CD=CE(2) 若AE=GE求證： CEO是等腰直角三角形.【分析】(1)連接AC,根據(jù)切線的性質(zhì)和已知得：AD/ OC得/ DACM AC0根 據(jù)AAS證明厶CDAA CEA( AAS ,可得結(jié)論；(2)介紹兩種證法：證法一：根據(jù) CDAA CEA得/ DCAM ECA由等腰三角形三

26、線合一得：/ F= / ACEM DCAM ECG 在直角三角形中得：/ F=Z DCAM ACE=T ECG=22.5,可得 結(jié)論；證法二：設(shè)/ F=x，則/ AOC=Z F=2x,根據(jù)平角的定義得：/DAC# EAC/OAF=180, J則 3x+3x+2x=180,可得結(jié)論.【解答】證明：(1)連接AC,v CD是O O的切線,OCL CC,v ADL CD,/ DCO# D=90° , AD/ OC/ DAC# ACOv OC=OA# CAO# ACO# DAC# CAOv CEL AB,# CEA=90,在厶 CDAF3 CEA中 ,'ZD=ZCEAv ZDACME

27、AC ,tAC=AC CDA CEA( AAS , CD=CE(2)證法一：連接BC, CDA CEA# DCA# ECAv CEL AG AE=EG CA=CG# ECA# ECG AB是。O的直徑，/ ACB=90,v CE! AB,/ ACE2 B,vZ B=Z F,/ F=Z ACEZ DCAZ ECG vZD=90,，Z DCFZ F=90°,Z F=Z DCAZ ACEZ ECG=22.5,Z AOC=Z2 F=45, CEO是等腰直角三角形；證法二：設(shè)Z F=x ,則 Z AOC=ZF=2x ,v AD/ OCZ OAF=Z AOC=2xZ CGA=Z OAF+Z F=

28、3xv CE! AG AE=EG CA=CGZ EAC=Z CGAv CE! AG AE=EG CA=CGZ EAC=Z CGAZ DAC=Z EAC=Z CGA=3xv Z DAC+Z EAC+Z OAF=18 ,0 3x+3x+2x=180x=22.5,Z AOC=2x=4,5 CEO是等腰直角三角形.【點評】此題考查了切線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、勾股 定理、三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知 識此題難度適中，本題相等的角較多，注意各角之間的關(guān)系，注意掌握數(shù)形結(jié) 合思想的應(yīng)用.10. (2017?黃石)如圖O是厶ABC的外接圓，BC為的直徑，點EABC 的內(nèi)心，連接AE并延長交O O于D點，連接BD并延長至F，使得BD=DF連接 CF BE(1) 求證：DB=DE(2) 求證：直線CF為O0的切線.【分析】(1)欲證明DB=DE只要證明/ DBEM DEB(2)欲證明直線CF為O0的切線，只要證明BCL CF即可；【解答】(1)證明：E是厶ABC的內(nèi)心，/ BAEW CAE / EBA玄 EBCvZ BED2 B