《實(shí)變函數(shù)》第三章_測度論

1、第三章測度論（總授課時數(shù)14學(xué)時）教學(xué)目的 引進(jìn)外測度定義，研究其性質(zhì)，由此過渡到可測集本章要點(diǎn) 要引導(dǎo)學(xué)生注意外測度與測度之間的重要差別，測度概念抽象，要與具體點(diǎn)集諸如面積體積等概念進(jìn)行比較 § 1、外測度教學(xué)目的1、掌握外測度的定義及其基本性質(zhì)2、理解區(qū)間及有理點(diǎn)集的外測度及其證明方法本節(jié)要點(diǎn)外測度的定義及其基本性質(zhì)本節(jié)難點(diǎn) 外測度的定義授課時數(shù)4學(xué)時一、引言（1） Riemann積分回顧（分割定義域）AXi = x 人4，人蘭£ EXj積分與分割、介點(diǎn)集的取法無關(guān)。幾何意義（非負(fù)函數(shù)）：函數(shù)圖象下方圖形的面積。（2）新的積分（Lebesgue積分，從分割值域入手）記

2、Ej =x: y乞 f (x) “，yjj<yi，則(aJWdX問題：如何把長度，面積,體積概念推廣？ 達(dá)布上和與下和上積分（外包）（達(dá)布上和的極限）下積分（內(nèi)填）達(dá)布下和的極限ba f(x)diTjmon7 mXjid、Lebesgue外測度（外包）1 定義：設(shè)E Rn，稱非負(fù)廣義實(shí)數(shù)（R-=R*）m“E =i nf 'Th I： E 廠兒為開區(qū)間i =1為E的Lebesgue外測度。下確界：（1）是數(shù)集S的下界，即-xS ,< x（2） 是數(shù)集S的最大下界，即-；.0, -lx三S,使得x _ ：亠：OQOQm E =i nf、T h |: E ' Ii ,I

3、i 為開區(qū)間QO-；0,開區(qū)間列Ii,使得E - Ii且 i呂oOm*E 八 11 j | 二 m* E ；i 4即：用一開區(qū)間列 茁 “近似”替換集合 E例1設(shè)E是0,1中的全體有理數(shù)，試證明 E的外測度為0.證明：由于E為可數(shù)集，故不妨令E =0,1 - Q =",3,川>0,作開區(qū)間Ii Fi -亍,r盯）,i -1,2,3,11!QO則E -Ii且i =1cOcO g1 I i 177 =；，i =1i d 2從而m*E _ ；，再由；的任意性知 m*E =0思考：1 設(shè)E是平面上的有理點(diǎn)全體，則 E的外測度為0 提示：找一列包含有理點(diǎn)集的開區(qū)間IfIIh =5-（六,

4、環(huán)十（詡漢仏-J弄h 六nmmgi二1,2,3,川2.平面上的x軸的外測度為0 提示：找一列包含x軸的開區(qū)間Ii Pi -1,ri 1）（-,卞）,Z, i =1,2,3，川2 23.對Lebesgue外測度，我們用可數(shù)個開區(qū)間覆蓋0,1中的有理數(shù)全體，是否這可數(shù)個開區(qū)間也覆蓋0,1(除可數(shù)個點(diǎn)外)Can tor集的余集的構(gòu)成區(qū)間)注：對可數(shù)個開區(qū)間不一定有從左到右的一個排列(如2. Lebesgue外測度的性質(zhì)(1 )非負(fù)性：m“E _0，當(dāng)E為空集時，m”E =0(2) 單調(diào)性：若A二B,則證明：能覆蓋B的開區(qū)間列也一定能覆蓋 A，從而能覆蓋 B的開區(qū)間列比能覆蓋 A的 開區(qū)間列要少，相應(yīng)

5、的下確界反而大。* 旳旳*(3) 次可數(shù)可加性 m*(一代)_ ' m*Ann =1.證明：對任意的；.0,由外測度的定義知，對每個 An都有word一列開區(qū)間(即用一開區(qū)間從而一人二. In #n £m 生nm，且A ） ln1,ln2,lHlnm,Hl,使得 A且m呂*名m*An 一、| Inm | - m* Am=12wordword' I Inm I 八 ' I Inm I 八（口*代Jm* 代；n,m 1n d m dnT2nTm*QAn）八-|Inm 心n4md可見QO| _、m 代；n=1QO由；的任意性，即得 m*(一 An) _ '

6、m*A心n仝注：(1 ) 一般證明都是從大的一邊開始，因?yàn)橥鉁y度的定義用的是下確界(2)外測度的次可數(shù)可加性的等號即使A, B不交也可能不成立(反例要用不可測集)，但有:若d(A, B>0則m (A - B)二 m (A) m*(B)當(dāng)區(qū)間Ii的直徑很小時候，區(qū)間 Ii不可能同時含有 A , B中的點(diǎn)從而把區(qū)間列Ii分成兩部分，一部分含有 A中的點(diǎn)，一部分含有 B中的點(diǎn).例2對任意區(qū)間I，有m”EI思考：書本中的證明用有限開覆蓋定理的目的何在？此例說明Lebesgue外測度某種程度是區(qū)間長度概念的推廣例3 Cantor集的外測度為0.證明：令第n次等分后留下的閉區(qū)間為l(n) i =1,

7、2j|2n從而2n2n2n 彳C、nm*(P)蘭 m*gii(n)匹 |l(n) | 空；=j | t 0故 m P = 0注：稱外測度為0的集合為零集；零集的子集，有限并，可數(shù)并仍為零集作業(yè)：P751,2練習(xí)題1如果將外測度的定義改為“有界集E的外測度是包含 E的閉集的測度的下確界.”是否合理？2設(shè)A - B =.一，問在什么條件下有m (A B) = m B3對于有界集E R1，是否必有m*E ：，： ?4設(shè)E是直線上的一有界集，m”E 0，則對任意小于m”E的正數(shù)c,恒有子集E1，使 mE 二 c§ 2可測集合教學(xué)目的1、深刻理解可測集的定義，學(xué)會用 Caratheodory條

8、件驗(yàn)證集合的可測性2、掌握并能運(yùn)用可測集的性質(zhì).本節(jié)要點(diǎn)學(xué)會用Caratheodory條件驗(yàn)證集合的可測性.本節(jié)難點(diǎn)用Caratheodory條件驗(yàn)證集合的可測性.授課時數(shù)4學(xué)時Lebesgue外測度(外包)O0O0m“E =inf、T h I： E IH 且 I 為開區(qū)間i 4oOQO-；0,開區(qū)間列Ii,使得E 廠且m*E I，| Ii |乞m*E ;|_y即：用一開區(qū)間列“近似”替換集合E* °°°°*次可數(shù)可加性(即使 A兩兩不交) m* ( _.代)_ ' m*Ann n二一、可測集的定義若 -T ：_ Rn,有 mT = m (T &

9、#39; E) m (T ' Ec) ( Caratheodory 條件)，則稱 E 為Lebesgue可測集，此時E的外測度稱為E的測度，記作mE .注：Lebesgue開始也是利用外測度與內(nèi)測度相等定義可測集，但此方法對處理問題很不方便，故我們采用上述方法 例1:零集E必為可測集證明：T Rn，有 mT mm (T 一 E) m*(T 一 Ec)乞 m (E) m*(T)乞 m*(T)從而mT二m”(T " E) m*( ' Ec)即E為可測集。二、Lebesgue可測集的性質(zhì)(1) 集合 E 可測(即-TRn,有m'T =m”(T、E) m*( '

10、; Ec)二-A E,B Ec,有 m (A_. B)二 m (A) m*(B)證明：(充分性)-TRn，令A(yù)=T 一 E,B=T 一 Ec即可(必要性)令T = A 一 B(2) 若AB,A可測，則下述集合也可測OO QOAc,AuB,Ac B,ABQ A,”id 1 i 11即可測集類關(guān)于差，余，有限交和可數(shù)交，有限并和可數(shù)并，以及極限運(yùn)算封閉；若A - B =以，則- T二Rn，有m (T - (A_ B)二 m (T - A) m*(TB)注：上式由前面可測集的等價刻畫立刻可得若A兩兩不交，則(測度的可數(shù)可加性)0°Cm( A)八 mA14ij若A, B可測，A二B, mA

11、:心,則有可減性m( B - A) = mB - mA證明：由可測集的定義：-TRn有m'T =m”(T - E) m*' Ec)易知Ac可測若A B可測已證明，則易知 A - B二(AcBc)c, A - B二A - Bc也可測。:nV若當(dāng)A為兩兩不交時，乜A可測已證明，則通過令 Bn二代-已A可把一般情形轉(zhuǎn)化n為兩兩不交的情形，通過取余即可證明-A下面證明若A, B可測，貝U A 一 B可測證明：-T Rn，有m T 乞 m (T 一(A B) m*(T - (AB)c)£*-tie*< (m (1) m (2) (m (3) m (4)二 m*(1)_.(

12、2)m( (3) ( B4可測)二 m*(1) 一 (2) 一 (3) 一 )(A 可測)= m*(T)從而 m T 二 m (T 一(A 一 B) m*(T - (A 一 B)c)oOO0下面證明若 A兩兩不交，則 m(A)=Z mAiidi壬證明：-TRn,有nnnoOm*T umfrcgA) +m*(TC(oA)c) am*(TC(QA) +m*(TC(a A)c)i =1i #i =1i =1n:八 m 仃-A) m*仃-(&A)C)i =1從而mT m (T - A) m 仃-(一 A)c)i -1i 43mH(T c (過A) +m*(Tc (出 A)c)(*)另外顯然有m

13、*T蘭mT c （匕A）十m* （T c（邑A）c）從而u A可測，并用T =A代入（*）式，即得結(jié)論1i 4nn例2:設(shè)0,1中可測集A,A2,IH,Ai滿足條件7 mA n-1,則-A必有正測度。證明：nnnm(A) = m(C A)c)c) = m(0,1 (RA)c)nn= m(0,1宦Ac)=m(0,1)m(Ac)n_1 八 m(0,1_A)i生nn二1 一 ' (1 一 mA )二 mA -(n -1)0i ay單調(diào)可測集列的性質(zhì)（1）若An是遞增的可測集列，則 m（lim An） =lim mAnn 廠n 廠 若An是遞減的可測集列且 mA v址，則m（lim An） =

14、 lim mAnn_c注：（1）左邊的極限是集列極限，而右邊的極限是數(shù)列極限，（2）中的條件mA龍咼 不可少，如代=n, :0注：（2）若An是遞減集列，imA二心人qQ若An是遞增集列，lim An =Ann咨nmoO著人=A,-仏 - A,）-川-（代- AnJ） - HI若 A， B 可測，A 二 B, mA ：；匚*，則 m（B - A） = mB - mA作業(yè)：P755,6練習(xí)題1設(shè)m”E =0，能否斷定E可測？能否斷定E的任一子集可測？qQ2設(shè)En是可測集列，且a mE:，則m（而巳）=0n4F3證明：任意點(diǎn)集 E的外測度等于包含它的開集 G的測度的下確界，即 m E = infm

15、G: E G,G為開集4設(shè)代B是Rn的子集，A可測，證明等式m （A 一 B） m （A - B） = m （A） m （B）§ 3可測集類教學(xué)目的1、熟悉并掌握用開集、閉集、 G、.型集、F-型集刻畫可測集的幾個定理，弄清 可測集類和Borel集類之間的關(guān)系.2、了解一些集合可測的充要條件本節(jié)要點(diǎn)可測集類和BoreI集類之間的關(guān)系.本節(jié)難點(diǎn)可測集類和BoreI集類之間的關(guān)系.授課時數(shù)4學(xué)時一、可測集例1區(qū)間I是可測集，且ml =| I |注：（1）零集、區(qū)間、開集、閉集、G、.型集（可數(shù)個開集的交）、F；_型集（可數(shù)個閉集的并）Borel型集（粗略說：從開集出發(fā)通過取余，取交或并（

16、有限個或可數(shù)個）運(yùn)算得到）都是 可測集。（2）開集、閉集既是 G、.型集也是 F一型集；有理數(shù)集是F；一型集，但不是 G、.型集；無理數(shù)集是G、.型集，但不是F；型集。有理數(shù)集可看成可數(shù)個單點(diǎn)集的并，而單點(diǎn)集是閉集；通過取余G、.型集與F二型集相互轉(zhuǎn)化（并與交，開集與閉集互換）二、可測集與開集、閉集的關(guān)系（1 ）若E可測，則一；0,存在開集G，使得E G且m（G -E）:;即：可測集與開集、閉集只相差一小測度集(可測集“差不多”就是開集或閉集) 從而可測集基本上是至多可數(shù)個開區(qū)間的并。(2)若E可測U - ； . 0 ,存在閉集F，使得F E且m(E _ F )：； 證明：(1)當(dāng)mE ： :

17、時，由外測度定義知旳* 嚴(yán)*>0,存在開區(qū)間列h，使得Eujdi且mE蘭送|h|蘭mE + wi £oo°O°O令 G = h,則 G 為開集，E G,且 E 豈 mG 乞 7 mlj 乞 7 | h | ： mE :i i Ji 4從而(這里用到 mE) m(G - E)二 mG _mE :;(2)當(dāng) mE = :時，這時將E分解成可數(shù)個互不相交的可測集oOE = Ei(mEj ：)v對每個Ei應(yīng)用上述結(jié)果，存在開集Gi，使得巳二 Gj 且 m(Gi - Ei)：歹oO令G =3 G，則G為開集，E匚G,且i -10QOOOQOm(G - E)二 mQGi

18、 - 電 EJ 二 m(屯(G -匚 EJ)0O0°° 呂< mG (Gi 一日)空' m(Gi Ei)：:：；i Ai 呂iT 2若已證明，由Ec可測可知Vs >0，存在開集G，使得Ec u G且m(G - Ec) v e .取F =Gc，則F為閉集F E且m(E _F) = m(E 一 Fc) = m(Ec)c - Fc) =m(Fc _ Ec) = m(G _ Ec):;例2設(shè)ERn，若一； 0,開集G，使得E G且m" (G - E)：；，則E是可測集.1 出1證明：對任意的一，Gn (開集)，使得E Gn且m (Gn - E):nnq

19、Q令O =Gn，則O是G 型集且E On #1m (O - E)乞 m (Gn _ E) ,n =1,2,3，川n故 m (O _E) =0從而E =O 一(0 _E)為可測集例3：設(shè)E為0,1中的有理數(shù)全體，試各寫出一個與 E只相差一小測度集的開集和閉集。E 二川開集：G二廠4(ri -尹，ri 歹1)閉集：空集例4:設(shè)E*為0,1中的無理數(shù)全體，試各寫出一個與 E*只相差一小測度集的開集和閉集。開集:(0,1)閉集:F =0,1 -屋A -尹，r尹)三、可測集與G .集和F._集的關(guān)系(1) .若E可測，則存在 G.型集0,使E 0且m(O-E)=0可測集可由G、.型集去掉一零集，或 F廠型集添上一零集得到。(2) .若E可測，則存在 F；_型集H,使HE且 m(E-H)=0證明：若(1)已證明，由Ec可測可知G、.型集0，使得Ec 0且m(O-Ec)=0取H =0c，則H為F；：型集，H E且m(E _H) = m(E - Hc)二 m(Ec)c - H c) = m(Hc _ Ec) = m(0 _ Ec) = 0(1).若E可測，則存在 G,.型集0,使E0且m(O-E)=011證明：對任意的一，存在開集Gn，使得E Gn且m(Gn - E):nnQO令0Gn，則0為G 型集，且E 0n =1m(0-E) m(Gn -E)：仁1,2,3,1|故 m(0 - E)