分類轉(zhuǎn)化分散難點(diǎn)各個擊破(特級教師佘維平8

1、分類轉(zhuǎn)化 分散難點(diǎn) 各個擊破分類討論的思想方法一、方法整合在解決一些數(shù)學(xué)問題時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯的方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想和解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，所以在高考試卷中占有重要的位置。1. 需要分類討論的情形主要有以下幾個方面：問題所涉及到的數(shù)學(xué)概念是分類進(jìn)行定義的。如 |a|的定義分a>0、a=0、a<0三種情況。 問題中涉及到的數(shù)學(xué)定理、公式和運(yùn)算性質(zhì)、法則有范圍或者條件

2、限制，或者是分類給出的。如等比數(shù)列的前n項和的公式，分q = 1和qw 1兩種情況。解含有參數(shù)的題目時，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行討論。如解不等式ax>2時分a>0、a= 0和 a<0 三種情況討論。另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都主要通過分類討論，分類解決，以保證其完整性，使之具有確定性。2. 分類討論要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。3. 分類討論問題的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正

3、確進(jìn)行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥(沒有重復(fù))；再對所分類逐步進(jìn)行討論，分級進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。二 . 典例精析例 1.設(shè) 0<x<1, a>0 且 awl,比較 |log a (1 -x)| 與 110g a (1 +x)| 的大小。(一道經(jīng)典高考題)思維啟動點(diǎn)： 此題中含有絕對值，去絕對值可能需要分類處理，對數(shù)的底數(shù)是字母，比較對數(shù)大小，運(yùn)用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，而單調(diào)性與底數(shù)a 有關(guān)，所以對底數(shù)a 分兩類情況進(jìn)行討論，如果既要對絕對值、又要對底數(shù)a 進(jìn)行雙重分類討論，勢必麻煩，考慮到 x 的范圍已經(jīng)確定，我們可以在對a 的范圍進(jìn)

4、行分類時同時就考慮去絕對值。解：-,1 0<x<10<1 x<1 , 1+x>1當(dāng) 0<a<1 時，log a (1 - x)>0 , log a (1 +x)<0 ,所以 110g a(1x)| |10g a (1 + x)| = 10g a (1 x)一10g a (1 + x) = 10g a(1 x2 )>0。當(dāng) a>1 時，log a (1 x)<0 , log a (1 + x)>0 ,所以 110g a (1 X)| 一 |log a (1 + X)| = log a (1 X)-10g a (1 +X

5、)=- log a(1 -X2)>0 ；由、可知，|log a(1X)|>|log a (1 +x)| 。反思提高：1 .本題要求對對數(shù)函數(shù) y=log aX的單調(diào)性的兩種情況十分熟悉，即當(dāng) a>1時其是增函數(shù)，當(dāng) 0<a<1 時其是減函數(shù)。去絕對值時要判別符號，用到了函數(shù)的單調(diào)性；最后差值的符號判斷，也用到函數(shù)的單 調(diào)性；2 .我們既要善于分類(有時還必須會主動地去進(jìn)行分類)，又要在不少問題上學(xué)會避免分類，在此題 上我們就巧妙避開了對絕對值去除的分類討論。例2.已知a >0,函數(shù)F (x) = aX - x a .若F (x)在(0,-hc)上有最大值，求

6、a的取值范圍.分析與簡解：去掉絕對值得(a-1)x + a xwa，)F(x)= 一一，a 1)x-a x (0,a)由a >0, a +1 >0知F (x)在(0,a)上單增。a -1有正有負(fù)，因此應(yīng) 以1為分類標(biāo)準(zhǔn)a > 1時，F(xiàn) (x)在(0, F 上單增，無最大值。a =1時，F(xiàn) (x)的最大值=F (a) = 1。0va<1時，F(xiàn)(x)在(0,a)單調(diào)遞增，在(a,)上單調(diào)遞減.1- F (x)的最大值=F (a) = a2.綜上可知，當(dāng)aw (0,1時，F(xiàn)(x)在(0,+“)上有最大值.反思提煉：確定分類標(biāo)準(zhǔn)是關(guān)鍵，不重不漏是要點(diǎn)！例3.設(shè)函數(shù)f(x) =a

7、x22x+2,對于滿足1<x<4的一切x值都有f(x)>0 ,求實數(shù)a的取值范圍。思維啟動點(diǎn)：含參數(shù)的一元二次函數(shù)在有界區(qū)間上的最大值、 最小值等值域問題，需要先對開口方向討論，再對其拋物線對稱軸 的位置與閉區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論，最后綜合得解。解：當(dāng) a>0 時，f(x) = a (x ) 2 + 2aa-1 11f (-)=2 - >0 aa1 af (1) = a -2 +2>01- >4或a、f(4) = 16a -8+2>0a > 1 或 1<a<1 或() 2ff (1) = a 2 +2> 0當(dāng)a<

8、0時，«,解得。；J(4)=16a -8 +2>0當(dāng) a=0 時，f(x) =2x+2, f(1)=0, f(4) =-6,.不合題意1由上而得，實數(shù) a的取值范圍是a>1 。2反思提煉：本題分兩級討論，先對決定開口方向的二次項系數(shù)a分a>0、a<0、a=0三種情況，再每種情況結(jié)合二次函數(shù)的圖像，在a>0時將對稱軸與閉區(qū)間的關(guān)系分三種，即在閉區(qū)間左邊、右邊、中間。本題的解答，關(guān)鍵是分析符合條件的二次函數(shù)的圖像，也可以看成是“數(shù)形結(jié)合法”的運(yùn)用。(x 4a)(x -6a)1例4.解不等式()>0 (a為常數(shù)，aw)2a 12思維啟動點(diǎn)：含參數(shù)的不等式

9、，參數(shù) a決定了 2a+1的符號和兩根4a、6a的大小，故對參數(shù) a分四種情況a>0、a=0、 <a<0> a<1分別加以討論。22解：= 2a+1>0 時，a> ; 一 4a<6a 時，a>0 。2所以分以下四種情況討論：當(dāng) a>0 時，(x+4a)(x 6a)>0 ,解得：x<4a或 x>6a;當(dāng)a=0時，x 2>0,解得：xw0；1當(dāng)一一<a<0 時，(x + 4a)(x 6a)>0 ,解得：x<6a 或 x>4a;2當(dāng) a>；時，(x +4a)(x 6a)<0

10、,解得：6a<x< 4a。綜上所述，當(dāng) a>0時，x< 4a或x>6a;當(dāng)a= 0時，xw0；當(dāng)<a<0時，x<6a或x> 4a;當(dāng)a>21 時，6a<x<-4a 。2反思提煉：一道簡單不等式一旦將一個數(shù)字系數(shù)改為字母參數(shù)，可能就會變得很復(fù)雜，這也是高考中參考不衰的問題。本題的關(guān)鍵是確定對參數(shù)a分四種情況進(jìn)行討論，做到不重不漏。一般地，遇到題目中含有參數(shù)的問題，常常結(jié)合參數(shù)的意義及對結(jié)果的影響而進(jìn)行分類討論。一些問題必須對它們進(jìn)行分類才能得到解決，而一些問題的解決本無須對它們分類，但這樣處理起 來卻比較困難，此時我們可以人

11、為地將它劃分類別，把整體分為若干局部，分散難點(diǎn)，然后各個擊破 最終求得問題的整體解決。這是一種具有哲學(xué)意義的策略思想。從以下例子可看出，對分類思想的這一 種主動應(yīng)用是必要的且是行之有效的。例5對實函數(shù)f(x) = x 6- x5 + x4- x3+ x2 x +1 ,求證：f(x)的值恒為正數(shù)。x在實數(shù)范思維啟動點(diǎn)：將f(x)的表達(dá)式分解因式，雖可證得結(jié)論但較難，分析可發(fā)現(xiàn)，若將變量圍內(nèi)適當(dāng)分類，則問題容易解決。證明：當(dāng)x W 0時x5 - x3- x > 0，.= f(x) > 1 恒成立;當(dāng)0 < x <1時f(x) = x 6 + ( x4 水5 ) + ( x2

12、-x3 ) + ( x -1)- x4 > x5 , x2 > x3 , 1> x1- f(x) > 0 成立；當(dāng)x = 1時，f(x) = 1 > 0成立;當(dāng)x >1時f(x) = ( x 6 - x5 ) + ( x 4 - x3 ) + ( x 2 - x ) + 1x6 > x5 , x4 > x3x2 > x1. f(x) > 1 成立綜上可知，f(x) > 0成立。反思提煉：此題通過主動分類，分散了難點(diǎn)，在各類下問題的解決變得很簡單，是很值得我們學(xué)習(xí) 的一種好方法。例6 一個定義在有理數(shù)集合Q上的函數(shù)f(x),對一切

13、x , y C Q都有f(x+y尸f(x)+f(y). 求證：對任 意 x C Q , f(x) = x f(x).(此題適合高二年級以上同學(xué)學(xué)習(xí))思維啟動點(diǎn)；直接求證很難，考慮到當(dāng)m ,n為互質(zhì)整數(shù)(m豐0 )時，n/m C Q ,故可將x試分為n ( n CN )、0與-n 、1/n ( m CN )及n/m幾類，從而分散難點(diǎn)、降低難度，分別求解。證明：第一步，證明結(jié)論對一切x N成立當(dāng)x = 1時，f(x) =1f(1)成立；設(shè)x = k ( k C N )時結(jié)論成立，則當(dāng) x = k+1 時，f(k+1)=f(k)+f(1)=kf(1)+f(1)結(jié)論也成立；第二步，證明結(jié)論對零和負(fù)整數(shù)

14、成立. f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0) ,f(0)=0f(1)又 f(n)+f(-n)=fn+(-n)=f(0)=0 ,1. f(-n)=-f(n)=-nf(1),結(jié)論成立；第三步，證明當(dāng) x =1/n (n C N )時結(jié)論成立f(1)=f( + +- + )=f( )+f(工)+f( - )=n f(-)n n n n nn nn 個yf( 1 ) = ( 1 ) fn n同時由 f(1) + f( -1) = f(0)有 f(- 1 )=(- - ) f n nn n結(jié)論成立；第四步，證明結(jié)論對一切有理數(shù)成立n設(shè)m CN n CZ,且nw0,對任意有理數(shù) 一mf( )=f(

15、1 +- + -)=mf( 1)= f(1)mn n n n m即結(jié)論對一切有理數(shù)成立。反思提煉此題的求解從對變量的巧妙劃分到各個局部的解決充滿了數(shù)學(xué)的策略和美。尤其是在這樣4 / 8的劃分下，一個變量是非自然數(shù)的命題居然主要由數(shù)學(xué)歸納法獲得解決！這是通過解決此問題而得到的另一收獲。例7平面內(nèi)k個整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）兩兩相連得若干條線段，若要保證其中至少一條線 段的中點(diǎn)也是整點(diǎn)，k的最小值是多少？解由中點(diǎn)坐標(biāo)公式 X =x1-x2知：只有當(dāng)Xi、X2同奇偶性時，x才會是整數(shù)。于是可對整點(diǎn)進(jìn)行2以下分類：（奇，奇）、（奇，偶）、（偶，奇）、（偶，偶），由抽屜原理知，當(dāng)有五個或五個以上整點(diǎn)

16、時，至少應(yīng)有兩個點(diǎn)屬于上述四類中的一類，即此兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)同是奇數(shù)或偶數(shù)。于是結(jié)論成立。所以，k的最小值是5 。三.歸納總結(jié)1 分類討論思想是指依據(jù)數(shù)學(xué)研究對象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對象分為不同的種類 ，并對劃分的每一類分別進(jìn)行研究和求解的思想2 分類討論思想體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想和歸類整理的方法3 與分類討論思想有關(guān)的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人思維的條理性和概括性 .4 .分類處理時要注意：明確分類討論的對象及其全體范圍。 確定分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不重不漏，分類互斥。再對每一類逐級討論 ，獲取階段性 結(jié)果。歸納小結(jié)，得出綜合結(jié)論.四

17、課后精練鞏固提高一.選擇與填空題1 .集合 A= x|x| <4,x CR, B=x|x -3| <a, xCR,若 A= B,那么 a 的范圍是。A. 0 <a<1 B. a < 1 C. a<1 D. 0<a<12 .若 a>0 且 awi, p= log a (a 3 + a+1) , q = log a (a 2 + a+1),則 p、q 的大小關(guān)系是 A. p = q B. p<q C. p>q D.當(dāng) a>1 時，p>q；當(dāng) 0<a<1 時，p<qsin xcosxtgx|ctgx| ,

18、3 .函數(shù)y = + + -g + 的值域是。|sin x|cosx|tgx|ctgxnn八冗.一.cos 0 -sin 0 3/士、,4 .右e e(0, )，則lim nn的值為。2 n-00 cos 8 + sin 0A. 1 或1 B. 0 或1 C. 0 或 1 D. 0 或 1 或1一， 1 ,一一5.函數(shù)y = x+ 的值域是。x1 . 2,+ 8) B.(- oo,2 U2,+ 8) C.(- oo,+ oo)D. -2,26 .正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為2和4的矩形，則它的體積為 。A. 8 33B. 4 <3 C. £ 73D. 4 V3 或-V399

19、9997 .過點(diǎn)P（2,3）,且在坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是5 / 8A. 3x -2y = 0 B. x+y-5=0 C. 3x 2y = 0 或 x+y 5 = 0 D. 不能確定簡解1小題：對參數(shù) a分a>0、a=0、a<0三種情況討論，選 B;2小題：對底數(shù) a分a>1、0<a<1兩種情況討論，選 C;3小題：分x在第一、二、三、四象限等四種情況，答案 4,-2,0;4小題：分0= 、0< 0 < 、一 < 0 < 三種情況，選 D;5小題：分x>0、x<0兩種情況，選 B;6小題：分側(cè)面矩形長、寬分別為 2和4、或

20、4和2兩種情況，選 D;7小題：分截距等于零、不等于零兩種情況，選 G 二解答題1 .在xoy平面上給定曲線y 2 = 2x,設(shè)點(diǎn) A(a,0) , a R,曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)A的距離的最小值為f(a),求f(a)的函數(shù)表達(dá)式。(本題適合高二年級以上學(xué)生)2 .已知集合A和集合B各含有12個元素，AA B含有4個元素，試求同時滿足下面兩個條件的集合C的個數(shù)：.CUAU B且C中含有3個元素；.CHAW。3 .設(shè)a n是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是前n項和。 .證明： lg Sn ；g Sn也<lgS n41 ;.是否存在常數(shù)c>0,使得lg(Sn _c)；lg(Sn攵_c)_lg(S_

21、c)成立？并證明結(jié)論。(本題適合高 二年級以上學(xué)生)x>0下二解答：1 .分析：求兩點(diǎn)間距離的最小值問題，先用公式建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在約束條件的最小值問題，而引起對參數(shù)a的取值討論。解：設(shè)M(x,y)為曲線y2 = 2x上任意一點(diǎn)，則|MA| 2 = (x a) 2 + y2 = (x a) 2 + 2x = x2 2(a 1)x + a2 = x (a - 1) 2 + (2a 1)由于y2 = 2x限定x>0,所以分以下情況討論：當(dāng) a1>0 時，x=a1 取最小值，即 |MA 2 min =2a1;當(dāng)a1<0時，x=0取最小彳直，即|MA2min=a2;

22、綜上所述，有f(a)=Jal（a <1 時）反思：本題解題的基本思路是先建立目標(biāo)函數(shù)。求二次函數(shù)的最大值和最小值問題我們十分熟悉，但含參數(shù)a,以及還有隱含條件x>0的限制，所以要從中找出正確的分類標(biāo)準(zhǔn)，從而得到d=f(a)的函數(shù)2 .分析：由已知并結(jié)合集合的概念，C中的元素分兩類：屬于 A元素；不屬于 A而屬于B的元素。并由含A中元素的個數(shù)1、2、3,而將取法分三種。解：C C2 + C2 - C； + C3, - C0 = 1084128128128反思：本題是排列組合中“包含與排除”的基本問題，正確地解題的前提是合理科學(xué)的分類，達(dá)到分 類完整及每類互斥的要求，還有一個關(guān)鍵是要確定C中元素如何取法。另一種解題思路是直接使用“排除法”，即 C；0c3 = 1084。3 .分析：要證的不等式和討論的等式可以進(jìn)行等價變形；再應(yīng)用比較法而求解。其中在應(yīng)用等比數(shù)列 前n項和的公式時，由于公式的要求，分 q= 1和qw 1兩種情況。解：設(shè)a n的公比q,則a1 &g