18題 高考數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)

1、高考數(shù)學(xué)第18題（概率及統(tǒng)計(jì)）1、求等可能性事件、互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率解此類題目常應(yīng)用以下知識(shí):(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A);等可能事件概率的計(jì)算步驟：計(jì)算一次試驗(yàn)的基本事件總數(shù);設(shè)所求事件A，并計(jì)算事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù);依公式求值;答，即給問(wèn)題一個(gè)明確的答復(fù).(2)互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率：P(AB)P(A)P(B); 特例：對(duì)立事件的概率：P(A)P()P(A)1.(3)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：P(A·B)P(A)·P(B); 特例：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率：Pn(k).其中P為事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，此式為二項(xiàng)式(1-P)+Pn展開

2、的第k+1項(xiàng). (4)解決概率問(wèn)題要注意“四個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)合”：求概率的步驟是：第一步，確定事件性質(zhì)即所給的問(wèn)題歸結(jié)為四類事件中的某一種.第二步，判斷事件的運(yùn)算即是至少有一個(gè)發(fā)生，還是同時(shí)發(fā)生，分別運(yùn)用相加或相乘事件.第三步，運(yùn)用公式求解第四步，答，即給提出的問(wèn)題有一個(gè)明確的答復(fù).2.離散型隨機(jī)變量的分布列1.隨機(jī)變量及相關(guān)概念隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，這樣的變量叫做隨機(jī)變量，常用希臘字母、等表示.隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.隨機(jī)變量可以取某區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的隨機(jī)變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.2.離散型隨機(jī)變量的分布列離散型隨機(jī)變量的分

3、布列的概念和性質(zhì)一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為，取每一個(gè)值（1，2，）的概率P（）=，則稱下表.PP1P2為隨機(jī)變量的概率分布，簡(jiǎn)稱的分布列.由概率的性質(zhì)可知，任一離散型隨機(jī)變量的分布列都具有下述兩個(gè)性質(zhì)：（1），1，2，;（2）=1.常見的離散型隨機(jī)變量的分布列：（1）二項(xiàng)分布次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，其所有可能的取值為0，1，2，n，并且，其中，隨機(jī)變量的分布列如下：01P稱這樣隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作，其中、為參數(shù)，并記： .（2） 幾何分布 在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，某事件第一次發(fā)生時(shí)所作的試驗(yàn)的次數(shù)是一個(gè)取值為正整數(shù)的離散型隨機(jī)變量，“”表示在第k次獨(dú)立重復(fù)試

4、驗(yàn)時(shí)事件第一次發(fā)生.隨機(jī)變量的概率分布為：123kPpqp3.離散型隨機(jī)變量的期望及方差隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差(1)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：；期望反映隨機(jī)變量取值的平均水平.離散型隨機(jī)變量的方差：；方差反映隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定及波動(dòng)，集中及離散的程度.基本性質(zhì)：；.(4)若B(n，p)，則 ; D =npq（這里q=1-p） ; 如果隨機(jī)變量服從幾何分布，則，D =其中q=1-p.4.抽樣方法及總體分布的估計(jì)抽樣方法1簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：設(shè)一個(gè)總體的個(gè)數(shù)為N，如果通過(guò)逐個(gè)抽取的方法從中抽取一個(gè)樣本，且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.常用抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法.2系統(tǒng)抽

5、樣：當(dāng)總體中的個(gè)數(shù)較多時(shí)，可將總體分成均衡的幾個(gè)部分，然后按照預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分抽取1個(gè)個(gè)體，得到所需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣（也稱為機(jī)械抽樣）.3分層抽樣：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣.總體分布的估計(jì)由于總體分布通常不易知道，我們往往用樣本的頻率分布去估計(jì)總體的分布，一般地，樣本容量越大，這種估計(jì)就越精確.總體分布：總體取值的概率分布規(guī)律通常稱為總體分布.當(dāng)總體中的個(gè)體取不同數(shù)值很少時(shí)，其頻率分布表由所取樣本的不同數(shù)值及相應(yīng)的頻率表示，幾何表示就是相應(yīng)的條形圖.當(dāng)總體中的個(gè)體取值在某個(gè)區(qū)間上時(shí)用頻率

6、分布直方圖來(lái)表示相應(yīng)樣本的頻率分布.總體密度曲線：當(dāng)樣本容量無(wú)限增大，分組的組距無(wú)限縮小，那么頻率分布直方圖就會(huì)無(wú)限接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線.5.正態(tài)分布及線性回歸1.正態(tài)分布的概念及主要性質(zhì)（1）正態(tài)分布的概念如果連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)為 ，x 其中、為常數(shù)，并且0，則稱服從正態(tài)分布，記為（，）.（2）期望E =，方差.（3）正態(tài)分布的性質(zhì)正態(tài)曲線具有下列性質(zhì):曲線在x軸上方，并且關(guān)于直線x對(duì)稱.曲線在x=時(shí)處于最高點(diǎn)，由這一點(diǎn)向左右兩邊延伸時(shí)，曲線逐漸降低.曲線的對(duì)稱軸位置由確定；曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”；反之越“高瘦”.三原則即為數(shù)值分布在（,+)中的概率

7、為0.6526數(shù)值分布在（2,+2)中的概率為0.9544數(shù)值分布在（3,+3)中的概率為0.9974（4）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布當(dāng)=0，=1時(shí)服從標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布，記作（0，1）（5）兩個(gè)重要的公式（6）及二者聯(lián)系.若，則 ;若，則.6.線性回歸1.簡(jiǎn)單的說(shuō)，線性回歸就是處理變量及變量之間的線性關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法.變量和變量之間的關(guān)系大致可分為兩種類型：確定性的函數(shù)關(guān)系和不確定的函數(shù)關(guān)系.不確定性的兩個(gè)變量之間往往仍有規(guī)律可循.回歸分析就是處理變量之間的相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)量統(tǒng)計(jì)方法.它可以提供變量之間相關(guān)關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式.具體說(shuō)來(lái)，對(duì)n個(gè)樣本數(shù)據(jù)（），（），（），其回歸直線方程: ,其中（xn,yn），則變

8、量間線性相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式如下：2.相關(guān)系數(shù)r：假設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量的取值分別是（x1,y1），（x2,y2），,稱為樣本中心點(diǎn),因而回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn).當(dāng)時(shí),表明兩變量正相關(guān);當(dāng),表明兩變量負(fù)相關(guān). 越接近1,表明兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng); 越接近0,表明兩變量的線性相關(guān)關(guān)系幾乎不存在,通常當(dāng)時(shí),認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.7.獨(dú)立性檢驗(yàn)的概念一般地,假設(shè)有兩個(gè)分類變量和,它們的值域分別為和,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為列聯(lián)表)為:總計(jì)總計(jì)我們利用隨機(jī)變量來(lái)確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”,這種方法稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn).（二）獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類似于

9、反證法.要確認(rèn)“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信程度,首先假設(shè)該結(jié)論不成立,即假設(shè)結(jié)論“兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系”成立.在該假設(shè)下我們構(gòu)造的隨機(jī)變量應(yīng)該很小,如果由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的的觀測(cè)值很大,則在一定程度上說(shuō)明假設(shè)不合理.具體比較如下表:反證法原理及獨(dú)立性檢驗(yàn)原理的比較反證法原理在假設(shè)下,如果推出一個(gè)矛盾,就證明了不成立.獨(dú)立性檢驗(yàn)原理在假設(shè)下,如果出現(xiàn)一個(gè)及矛盾的小概率事件,就推斷不成立,且該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)這個(gè)小概率.（三）獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法假設(shè):“及有關(guān)系”,可按如下步驟判斷結(jié)論成立的可能性:1.通過(guò)等高條形圖,可以粗略地判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系,但是這種判斷無(wú)法精確地給出所

10、得結(jié)論的可靠程度.2.利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來(lái)考查兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系,并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度,具體做法是:（1）根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要確定容許推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤概率的上界,然后通過(guò)下表確定臨界值.0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（2）由公式,計(jì)算的觀測(cè)值.（3）如果,就推斷“及有關(guān)系”.這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò);否則,就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下不能推斷“及有關(guān)系”,或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有足夠證據(jù)支持結(jié)論“及有關(guān)系”.理解總結(jié)根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想