傅里葉系數(shù)的推導(dǎo)_第1頁
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1、傅里葉級(jí)數(shù)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)密碼學(xué)、聲學(xué).光學(xué)等領(lǐng)域都 有著廣泛的應(yīng)用,這不由得讓人肅然起敬一打開信號(hào)與系統(tǒng)、鎖相環(huán)原理等書無,動(dòng) 不動(dòng)就跳出一個(gè)“傅里葉級(jí)數(shù)”或“傅里葉變換",弄一長串公式,讓人云山霧罩.如下就是傅里葉級(jí)數(shù)的公式:f(f)=繩 + Q cos(血)+舟 sin(ftt) +02 cos(2t)+£ 山1(加) +.+an cos(77ttt)+ sin(刃"才)g二 厲 + 工冬 cos(ncut)+女 sin(n(vt)其中$二押/a)cos陽妙1«=if(f)sn(nol)dt不客氣地說,這個(gè)公式可以說是像“臭婆娘的裹腳布又臭又長”,而且采

2、歷相當(dāng)蹊蹺, 不知那個(gè)縛里葉什么時(shí)候靈光乍現(xiàn),把一個(gè)周期函數(shù)f (t)硬生生地寫成這么一大堆東西。單看 那個(gè)式,就是把周期函數(shù)f (t)描述成一個(gè)常數(shù)系數(shù)aO.及1倍3的sin和cos函數(shù)、2倍 3的s i n和co s函數(shù)等、到n倍0)的s i n和co s函數(shù)等一系列式子的和,且每項(xiàng)都有不同的系 數(shù),即An和Bn,至于這些系數(shù),需要用積分耒解得,即式,不過為了枳分方便,枳分區(qū)間 一般設(shè)為-n, n,也相當(dāng)一個(gè)周期T的寬度。能否從數(shù)學(xué)的角度推字出此公式,以使傅里葉級(jí)數(shù)來得明白些,讓我等能了解它的前世今生 呢?下面來詳細(xì)解釋一下此公式的得出過程:1 .把一個(gè)周期函數(shù)表示成三角級(jí)數(shù):首先,周期函

3、數(shù)是客觀世界中周期運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)表述,如物體掛在彈簧上作簡(jiǎn)諧振動(dòng).單擺振動(dòng). 無線電電子振蕩器的電子振蕩等,大多可以表述為:f (x) =A s i n (u>t+ip )這里t表示時(shí)間,A表示坂幅,3為角頻率,屮為初相(與考察時(shí)設(shè)賈原點(diǎn)位置有關(guān)).然而,世界上許多周期信號(hào)并非正弦函數(shù)那么簡(jiǎn)單,如方波、三角波等。傅葉里就想,能否用 一系列的三角函數(shù)An s i n (neo t+ <p)之和汆表示那個(gè)較復(fù)雜的周期函數(shù)f (t)呢?因?yàn)?正弦函數(shù)s i n可以說是最簡(jiǎn)單的周期函數(shù)了。于是,傅里葉寫出下式:(關(guān)于傅里葉推字純?yōu)椴?想)co/(0 二 4)+ 工 & sin(n(0i

4、 + 卩)»=i這里,t是變量,其他都是常數(shù)與上面最簡(jiǎn)單的正弦周期函數(shù)相比,5式中多了一個(gè) 且n從1到無窮大這里f (t)是已知函數(shù),也就是需要分解的原周期函數(shù)從公式5來看,傅里葉是想把一個(gè)周期函數(shù)表示成許多正弦函數(shù)的線性疊加,這許許多多的正弦函數(shù)有壽不同的幅度分量(即式中An)、有不同的周期玫說是頻率(是原周期函數(shù)的整數(shù)倍,即n )、有不同的初相角(即少),當(dāng)然還有一項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)(即A 0)。要命的是,這個(gè)n是從1到無窮大,也就是是一個(gè)無窮級(jí)數(shù)。應(yīng)該說,傅里葉是一個(gè)天才,想得那么復(fù)雜。一般人不太會(huì)把一個(gè)簡(jiǎn)單 的周期函數(shù)弄成這么一個(gè)復(fù)雜的表示式。但傅里葉認(rèn)為,式子右邊一大堆的函數(shù), 其實(shí)

5、都是最簡(jiǎn)單的正弦函數(shù),有利于后續(xù)的分析和計(jì)算。當(dāng)然,這個(gè)式能否成立, 關(guān)鍵是級(jí)數(shù)中的每一項(xiàng)都有一個(gè)未知系數(shù),如AO、An等,如果能把這些系數(shù)求出來, 那么5式就可以成立當(dāng)然在5式中,唯一已知的就是原周期函數(shù)f (t) 那么只需用已知函數(shù) f(t)來表達(dá)出各項(xiàng)系數(shù),上式就可以成立,也能卄昇了。于是乎,傅里葉首先對(duì)式5作如下變形:4? sin(/M« + ) = X/i sin cos(zi)+An cos(pn sin(n(a)這個(gè)變換并不陌生,源自于三角公式:sin(« ±Q) = sin a cos/7± cos a sin/J 式中.藍(lán)色項(xiàng)4 sin

6、 %和/br cos他均為常數(shù).寫作烏豈血必二兒心吆且令著州這樣,公式5就可以寫成如下公式6的形式:/«)=印十為務(wù)cos (血)十bn sin(刃曲)2 “1這個(gè)公式6就是通帑形式的三角級(jí)數(shù),接下來的任務(wù)就是要把各項(xiàng)系數(shù)a n和bn及aO用已知 函數(shù)f (t)來表達(dá)出來.2、三角函數(shù)的正交性:這是為下一步傅里葉級(jí)數(shù)展開時(shí)所用積分的準(zhǔn)備知識(shí)。一個(gè)三角函數(shù)系:1, cosx , s inx, cos2x , s i n2 x , t cosn x . slnnx , 如果這一境函數(shù)(包括常數(shù)1)中任何兩個(gè)不同函數(shù)的乘積在區(qū)間TT, H上的積分等于筆.就說三角函數(shù)系在區(qū)間TT, n上正交

7、,即有如下式子:-JTsin nxdx 二 0cos kx cos nxdx 二 0sin 念 sin nxdx = 0S = 1,2,3,.)(n - 1,2, 3,)(出刀=1, 2, 3,)(化刀二1, 2, 3S,k H q)&刀=1, 2, 3,;$并門)以上各式在區(qū)間-n, tt的定積分均為0,第1第2式可視為三角函數(shù)cos和s in與1 相乘的積分;第35式則為sin和cos的不同組合相乘的積分式。除了這5個(gè)式子外,不可能再 有其他的組合了。注意,第4第5兩個(gè)式中,k不能等于n,否則就不屬于“三角函數(shù)系中任意兩 個(gè)不同函數(shù)”的定義了,變成同一函數(shù)的平方了。但第3式中,k與

8、n可以相等,相等時(shí)也是二 個(gè)不同函數(shù)。下面通過計(jì)算第4式的定積分來臉證其正確性,第4式中二函數(shù)相乘可以寫成:cosx cos mdx = cos(jt + n)x + cos( 一 w)2這個(gè)就是三角公式中的“積化和差”當(dāng)kn時(shí),有:cQskx cos nxdx =-J J cos(£ + h)x + cos(玄-ri)xdx2 力1 in(k + n)x2 k + n十sin(疋 一 fi)xk-n二 £0+0二0可見在指定TT, 口的區(qū)間里,該式的定積分為0 其他式也可逐一 驗(yàn)證。3、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù):/©=先把傅里葉級(jí)數(shù)表示為下式,即式:V 爲(wèi) cos。

9、?曲)+$ sin(«69f)»=i對(duì)式從n, n積分,得:上式右邊第二亍積分項(xiàng),由于三角函數(shù)系的正交特性 各項(xiàng)在-龍到龍積分時(shí),均為0,所以有:兔=丄匸幾妙龍Jr這就求得了第一個(gè)系數(shù)a0的表達(dá)式,即最上邊傅里葉級(jí)數(shù)公式里的式。接下來再求a n和 bn的表達(dá)式用cos (ku)t)乘式的二邊得:C0S(Z:6«)-/(/)=他 COS(2"X)+丫務(wù) cos(jIwO cos(«6T)+化 cos(*fttf)sin(ft#) tt-1然后對(duì)上式從-龍到畀逐項(xiàng)積分:cos(k(vt)ain(na)iit同樣,根據(jù)三角函數(shù)系的正交性,紅色項(xiàng)積分為

10、0 藍(lán)色項(xiàng)里僅當(dāng)Zn這一項(xiàng)積分不為Q其余項(xiàng)也為0,所以有:4j:cos (洌滋從而有:(把k寫n)爲(wèi)二同樣,再把式二端乘以sin(辰嘰可以得到:bn 二.sin(jKt)至此,已經(jīng)求得傅里葉級(jí)數(shù)中各系數(shù)的表達(dá)式,只要這些積分都存在,那么式等號(hào)右側(cè)所表 示的傅里葉級(jí)數(shù)就能用來表達(dá)原函數(shù)f (t) 上述過程就是整個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)的推導(dǎo)過程。爭(zhēng)實(shí)上, 如果能夠?qū)懗鍪?,不難求出各個(gè)系數(shù)的表達(dá)式,關(guān)鍵是人們不會(huì)想到一個(gè)周期函數(shù)竟然可以用 一些簡(jiǎn)單的正弦或余弦函數(shù)來表達(dá),且這個(gè)表達(dá)式是一個(gè)無窮級(jí)數(shù)這當(dāng)然就是數(shù)學(xué)家傅里葉的 天才之作了,我等只有拼命理解的份了。綜上,傅里葉級(jí)數(shù)的產(chǎn)生過程可以分為以下三步:仁設(shè)想可以把一個(gè)周期函數(shù)f(t)通過最簡(jiǎn)單的一系列正弦函數(shù)來表示,即5式;2、通過變形后用三角級(jí)數(shù)(含s in和cos)來表示;3、通過積分,把各未知系數(shù)用f (七)的積分式來表達(dá);4最后得到的4

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