最新201X學(xué)年數(shù)學(xué)人教A版選修4-5優(yōu)化練習(xí)：第四講達標檢測Word版含解析

1、達標檢測時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1用數(shù)學(xué)歸納法證明“對任意x0和正整數(shù)n，都有xnxn2xn4n1”時，需要驗證的使命題成立的最小正整數(shù)值n0應(yīng)為()An01Bn02Cn01,2 D以上答案均不正確解析：當n01時，x2成立，故選A.答案：A2從一樓到二樓的樓梯共有n級臺階，每步只能跨上1級或2級，走完這n級臺階共有f(n)種走法，則下面的猜想正確的是()Af(n)f(n1)f(n2)(n3)Bf(n)2f(n1)(n2)Cf(n)2f(n1)1(n2)D f(n)f(n1) f(n2)

2、(n3)解析：分別取n1,2,3,4驗證，得f(n)答案：A3設(shè)凸n邊形有f(n)條對角線，則凸n1邊形的對角形的條數(shù)f(n1)為()Af(n)n1 Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n2解析：凸n1邊形的對角線的條數(shù)等于凸n邊形的對角線的條數(shù)，加上多的那個點向其他點引的對角線的條數(shù)(n2)條，再加上原來有一邊成為對角線，共有f(n)n1條對角線，故選C.答案：C4用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3(n1)3(n2)3，nN能被9整除”，利用歸納假設(shè)證nk1，只需展開()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3解析：nk時，式子為k3(k1)3(k2)3，nk1時，式子為(k1)

3、3(k2)3(k3)3，故只需展開(k3)3.答案：A5下列說法中正確的是()A若一個命題當n1,2時為真，則此命題為真命題B若一個命題當nk時成立且推得nk1時也成立，則這個命題為真命題C若一個命題當n1,2時為真，則當n3時這個命題也為真D若一個命題當n1時為真，nk時為真能推得nk1時亦為真，則此命題為真命題解析：由完全歸納法可知，只有當n的初始取值成立且由nk成立能推得nk1時也成立時，才可以證明結(jié)論正確，二者缺一不可A，B，C項均不全面答案：D6平面內(nèi)原有k條直線，它們的交點個數(shù)記為f(k)，則增加一條直線l后，它們的交點個數(shù)最多為()Af(k)1 Bf(k)kCf(k)k1 Dk&

4、#183;f(k)解析：第k1條直線與前k條直線都相交且有不同交點時，交點個數(shù)最多，此時應(yīng)比原先增加k個交點答案：B7用數(shù)學(xué)歸納法證明34n152n1(nN)能被8整除時，若nk時，命題成立，欲證當nk1時命題成立，對于34(k1)152(k1)1可變形為()A56×34k125(34k152k1)B34×34k152×52kC34k152k1D25(34k152k1)解析：由34(k1)152(k1)181×34k125×52k125×34k125×34k156×34k125(34k152k1)答案：A8數(shù)列an

5、的前n項和Snn2·an(n2)，而a11通過計算a2，a3，a4，猜想an等于()A. BC. D解析：由a2S2S14a21得a2由a3S3S29a34a2得a3a2.由a4S4S316a49a3得a4a3，猜想an.答案：B9用數(shù)學(xué)歸納法證明(n1)(n2)(nn)2n×1×3××(2n1)(nN)時，從k到k1，左邊需要增加的代數(shù)式為()A2k1 B2(2k1)C. D解析：當nk時左邊的最后一項是2k，nk1時左邊的最后一項是2k2，而左邊各項都是連續(xù)的，所以nk1時比nk時左邊少了(k1)，而多了(2k1)·(2k2)因此

6、增加的代數(shù)式是2(2k1)答案：B10把正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排序，則從2 018到2 020的箭頭方向依次為()A BC D解析：由2 0184×5042，而an4n是每一個下邊不封閉的正方形左上頂點的數(shù)，故應(yīng)選D.答案：D11用數(shù)學(xué)歸納法證明123n2，則當nk1時左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上()Ak2B(k1)2C.D(k21)(k22)(k1)2解析：當nk時，左端123k2，當nk1時，左端123k2(k21)(k22)(k1)2.故當nk1時，左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上(k21)(k22)(k1)2，故應(yīng)選D.答案：D12若k棱柱有f(k)個對角面，則k1棱柱的對角面的個數(shù)為(

7、)A2f(k) Bf(k)k1Cf(k)k Df(k)2解析：如圖所示是k1棱柱的一個橫截面，顯然從k棱柱到k1棱柱，增加了從Ak1發(fā)出的對角線k2條，即相應(yīng)對角面k2個，以及A1Ak棱變?yōu)閷蔷€(變?yōu)橄鄳?yīng)的對角面)故f(k1)f(k)(k2)1f(k)k1.答案：B二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中的橫線上)13已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明12時，若已假設(shè)nk(k2為偶數(shù))時命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證n_時等式成立解析：nk為偶數(shù)，下一個偶數(shù)為nk2.答案：k214在數(shù)列an中，a11，且Sn，Sn1,2S1成等差數(shù)列，則S2，S3，S4分別為_，猜想

8、Sn_.解析：S11,2Sn1Sn2S1.當n1時，2S2S123，S2；當n2時，2S3S22，S3；當n3時，2S4S32，S4.猜想Sn.答案：、15設(shè)f(n)，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)“假設(shè)nk時成立”后，f(k1)與f(k)的關(guān)系是f(k1)f(k)·_.解析：當nk時，f(k)；當nk1時，f(k1)，所以應(yīng)乘·.答案：·16. 有以下四個命題：(1)2n>2n1(n3)(2)2462nn2n2(n1)(3)凸n邊形內(nèi)角和為f(n)(n1)(n3)(4)凸n邊形對角線條數(shù)f(n)(n4)其中滿足“假設(shè)nk(kN，kn0)時命題成立，則當nk1時命

9、題也成立”但不滿足“當nn0(n0是題中給定的n的初始值)時命題成立”的命題序號是_解析：當n取第一個值時經(jīng)驗證(2)，(3)，(4)均不成立，(1)不符合題意，對于(4)假設(shè)nk(kN，kn0)時命題成立，則當nk1時命題不成立所以(2)(3)正確答案：(2)(3)三、解答題(本大題共有6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明對于整數(shù)n0，An11n2122n1能被133整除證明：(1)當n0時，A011212133能被133整除(2)假設(shè)nk時，Ak11k2122k1能被133整除當nk1時，Ak111k3122k311·11k21

10、22·122k111·11k211·122k1(12211)·122k1.11·(11k2122k1)133·122k1.nk1時，命題也成立根據(jù)(1)(2)，對于任意整數(shù)n0，命題都成立18(12分)設(shè)xn是由x12，xn1(nN)定義的數(shù)列，求證：xn<.證明：(1)當n1時，x12<1，不等式成立(2)假設(shè)當nk(k1)時，不等式成立，即xk<，那么，當nk1時，xk1.由歸納假設(shè)，xk<，則<，>.xk>，<.xk1<.即xk1<.當nk1時，不等式xn<成立綜

11、上，得xn<(nN)19(12分)證明：tan ·tan 2tan 2·tan 3tan(n1)·tan nn(n2，nN)證明：(1)當n2時，左邊tan ·tan 2，右邊2·22tan ·tan 2左邊，等式成立(2)假設(shè)當nk(k2，kN)時等式成立，即tan ·tan 2tan 2·tan 3tan(k1)·tan kk.當nk1時，tan ·tan 2tan 2·tan 3tan(k1)·tan ktan k·tan(k1)ktan k·

12、tan(k1)k1tan(k1)·tan ktan(k1)tan k(k1)，所以當nk1時，等式也成立由(1)和(2)知，當n2，nN時等式恒成立20(12分)數(shù)列an滿足Sn2nan(nN)(1)計算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項公式an；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想解析：(1)當n1時，a1S12a1，a11.當n2時，a1a2S22×2a2，a2.當n3時，a1a2a3S32×3a3，a3.當n4時，a1a2a3a4S42×4a4，a4.由此猜想an(nN)(2)證明：當n1時，a11，結(jié)論成立假設(shè)nk(k1且kN*)時，結(jié)論成立

13、，即ak，那么nk1(k1且kN)時，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1.2ak12ak，ak1.這表明nk1時，結(jié)論成立，所以an(nN)21(13分)在平面內(nèi)有n條直線，每兩條直線都相交，任何三條直線不共點，求證：這n條直線分平面為個部分證明：(1)當n1時，一條直線把平面分成兩部分，而f(1)2，所以命題成立(2)假設(shè)當nk(k1)時命題成立，即k條直線把平面分成f(k)個部分則當nk1時，即增加一條直線l，因為任何兩條直線都相交，所以l與k條直線都相交，有k個交點；又因為任何三條直線不共點，所以這k個交點不同于k條直線的交點，且k個交點也互不相同，如此k個交點把直線l分成k1段，每一段把它所在的平面區(qū)域分為兩部分，故新增加了k1個平面部分所以f(k1)f(k)k1k1.所以當nk1時命題也成立由(1)(2)可知當nN時，命題成立，即平面上通過同一點的n條直線分平面為個部分22(13分)設(shè)x1>0，x11，且xn1，nN.用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果0<x1<1，則xn<xn1.證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果0<x1