最新201X版 必考部分 第2章 章末分層突破

1、章末分層突破自我校對加法減法實數(shù)與向量的積向量的數(shù)量積垂直平行長度夾角平行垂直合成與分解 平面向量的線性運(yùn)算、減法和向量數(shù)乘的綜合運(yùn)算通常叫作向量的線性運(yùn)算.2.向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是一個向量.因此對它們的運(yùn)算法則、運(yùn)算律的理解和運(yùn)用要注意大小、方向兩個方面.3.向量共線定理和平面向量基本定理是進(jìn)行向量合成與分解的核心，是向量線性運(yùn)算的關(guān)鍵所在，常應(yīng)用它們解決平面幾何中的共線問題、共點(diǎn)問題.4.題型主要有證明三點(diǎn)共線、兩線段平行、線段相等、求點(diǎn)或向量的坐標(biāo)等.如圖2­1，在ABC中，點(diǎn)M是AB邊的中點(diǎn)，E是中線CM的中點(diǎn)，AE的延長線交BC于F.MHAF交BC于H.求證：.圖2

2、73;1【精彩點(diǎn)撥】選擇兩不共線向量作基底，然后用基底向量表示出，與即可證得.【規(guī)范解答】設(shè)a，b，則ab，22ab2a2bab，bba2ba2bbab.綜上，得.再練一題1.如圖2­2，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M在AB的延長線上，且BMAB，點(diǎn)N在BC上，且BNBC，求證：M，N，D三點(diǎn)共線. 【導(dǎo)學(xué)號：00680063】圖2­2【證明】設(shè)e1，e2，則e2.e2，e1，e2e1.又e2e133，向量與共線，又M是公共點(diǎn)，故M，N，D三點(diǎn)共線.平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積是由物理問題中的做功問題引入的，向量數(shù)量積的結(jié)果是一個數(shù)量，根據(jù)定義式可知，當(dāng)向量夾角為銳角、鈍角

3、和直角時，其結(jié)果分別為正值、負(fù)值和零，零向量與任何一個向量的數(shù)量積均為零.平面向量的數(shù)量積是向量的核心內(nèi)容，通過向量的數(shù)量積考查向量的平行、垂直等關(guān)系，利用向量的數(shù)量積可以計算向量的夾角和長度.非零向量a，b滿足(ab)(2ab)，(a2b)(2ab)，求a，b的夾角的余弦值.【精彩點(diǎn)撥】【規(guī)范解答】由解得所以|a|b|a·b，所以cos .再練一題2.如圖2­3所示，在平行四邊形ABCD中，APBD，垂足為P，且AP3，則·_.圖2­3【解析】··()····()·2·.A

4、PBD，·0.·|cosBAP|2，·2|22×918.【答案】18向量的坐標(biāo)運(yùn)算.引入向量的坐標(biāo)表示后，向量的運(yùn)算完全化為代數(shù)運(yùn)算，實現(xiàn)數(shù)與形的統(tǒng)一.2.向量的坐標(biāo)運(yùn)算是將幾何問題代數(shù)化的有力工具，它是轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法的具體體現(xiàn).3.通過向量坐標(biāo)運(yùn)算主要解決求向量的坐標(biāo)、向量的模、夾角判斷共線、平行、垂直等問題.已知三個點(diǎn)A(2,1)，B(3,2)，D(1,4).(1)求證：ABAD；(2)若四邊形ABCD為矩形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)以及矩形ABCD兩對角線所夾銳角的余弦值.【精彩點(diǎn)撥】(1)證明·0.(2)利用求點(diǎn)

5、C的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)形式的夾角公式求兩對角線所夾銳角的余弦值.【自主解答】(1)證明：A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)，(1,1)，(3,3).·1×(3)1×30，即ABAD.(2)，四邊形ABCD為矩形，.設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則(x1，y4)，解得點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,5).從而(2,4)，(4,2)，且|2，|2，·8816，設(shè)與的夾角為，則cos ，矩形ABCD的兩條對角線所夾銳角的余弦值為.再練一題3.設(shè)a(1,2)，b(2，3)，又c2ab，damb，若c與d的夾角為45°，求實數(shù)m的值.【解】a(1,2)，b(2，3)，c2a

6、b2(1,2)(2，3)(0,1)，damb(1,2)m(2，3)(12m,23m)，c·d0×(12m)1×(23m)23m.又|c|1，|d|，cos 45°，化簡得5m28m30，解得m1或m.平面向量的應(yīng)用，向量的加減運(yùn)算遵循平行四邊形法則或三角形法則，數(shù)乘運(yùn)算和線段平行之間、數(shù)量積運(yùn)算和垂直、夾角、距離問題之間聯(lián)系密切，因此用向量方法可以解決平面幾何中的相關(guān)問題.2.向量在解析幾何中的應(yīng)用，主要利用向量平行與垂直的坐標(biāo)條件求直線的方程.3.在物理中的應(yīng)用，主要解決力向量、速度向量等問題.如圖2­4所示，P是正方形ABCD的對角線BD上

7、一點(diǎn)，四邊形PECF是矩形，求證：圖2­4(1)PAEF；(2)PAEF.【精彩點(diǎn)撥】可分別以BC，BA所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系后，用坐標(biāo)法來證明.【規(guī)范解答】(1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為1，|，則A(0,1)，P，E，F(xiàn)，.因為|22221，|22221，所以|2|2，故PAEF.(2)因為·0，所以，故PAEF.再練一題4.已知三個點(diǎn)A(2,1)，B(3,2)，D(1,4).(1)求證：ABAD；(2)要使四邊形ABCD為矩形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求矩形ABCD的兩對角線所夾的銳角的余弦值.【解】(1)證明：A(2,1)，B(3,2)，

8、D(1,4)，(1,1)，(3,3)，·1×(3)1×30，即ABAD.(2)四邊形ABCD為矩形，.設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則(1,1)，(x1，y4)，解得C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,5).從而(2,4)，(4,2)，|2，|2，·與的夾角為，則cos ，矩形ABCD的兩條對角線所夾的銳角的余弦值為.數(shù)形結(jié)合思想平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算的定義及運(yùn)算法則、運(yùn)算律的推導(dǎo)中都滲透了數(shù)形結(jié)合思想.向量的坐標(biāo)表示的引入，使向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)和形緊密地結(jié)合在一起.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想可解決三點(diǎn)共線，兩條線段(或射線、直線)平行、垂直，夾角、距離、面積等問題.如圖

9、2­5所示，以ABC的兩邊AB，AC為邊向外作正方形ABGF，ACDE，M為BC的中點(diǎn)，求證：AMEF.圖2­5【精彩點(diǎn)撥】要證AMEF，只需證明·用，表示，將用，表示，然后通過向量運(yùn)算得出·0.【規(guī)范解答】因為M是BC的中點(diǎn)，所以()，又，所以·()·()(····)(0··0)(··)|cos(90°BAC)|cos(90°BAC)0，所以，即AMEF.再練一題5.如圖2­6，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始

10、位置在(0,1)，此時圓上一點(diǎn)P的位置在(0,0)，圓在x軸上沿正向滾動.當(dāng)圓滾動到圓心位于(2,1)時，的坐標(biāo)為_.圖2­6【解析】設(shè)A(2,0)，B(2,1)，由題意知劣弧長為2，ABP2.設(shè)P(x，y)，則x21×cos2sin 2，y11×sin1cos 2，的坐標(biāo)為(2sin 2,1cos 2).【答案】(2sin 2,1cos 2)1.已知向量，則ABC()A.30°B.45°C.60° D.120°【解析】因為，所以·.又因為·|·|cosABC1×1×cosABC，所以cosABC.又0°ABC180°，所以ABC30°.故選A.【答案】A2.已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，則m()A.8B.6C.6D.8【解析】法一：因為a(1，m)，b(3，2)，所以ab(4，m2).因為(ab)b，所以(ab)·b0，所以122(m2)0，解得m8.法二：因為(ab)b，所以(ab)·b0，即a·bb232m32(2)2162m0，解得m8.【