最新201X版 第1章1.31.3.4

1、1.3.4三角函數(shù)的應(yīng)用1.會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.(重點(diǎn))2.體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.(難點(diǎn))小組合作型三角函數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用已知電流IAsin(t)A0，0，|在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖1­3­15.圖1­3­15(1)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求IAsin(t)的解析式；(2)如果t在任意一段秒的時(shí)間內(nèi)，電流IAsin(t)都能取得最大值和最小值，那么的最小正整數(shù)值是多少？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48582061】【精彩點(diǎn)撥】可先由圖象確定電流I的解析式，再由函數(shù)的性質(zhì)確定的值【自主解答】(1)由圖知，A300.，T，150.I300sin(

2、150t)由為第一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，150·0，所求解析式為I300sin，t0，)(2)由題意T，即，300，所求的最小正整數(shù)值是943.1三角函數(shù)模型在物理中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)、電流強(qiáng)度、單擺、彈簧振子等隨時(shí)間變化的問題，解決這類問題必須要清楚振幅、頻率、周期、初相、相位的實(shí)際意義和表示方法2將圖形語言轉(zhuǎn)化成符號(hào)語言，根據(jù)圖形信息利用待定系數(shù)法，求函數(shù)模型yAsin(x)中的未知參數(shù)后，再由解析式及性質(zhì)解決具體問題再練一題1彈簧振子以O(shè)點(diǎn)為平衡位置，在B，C間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，B，C相距20 cm，某時(shí)刻振子處在B點(diǎn)，經(jīng)0.5 s振子首次達(dá)到C點(diǎn)求：(1)振動(dòng)的振幅、周期和頻率；(2)振

3、子在5 s內(nèi)通過的路程及這時(shí)位移的大小【解】(1)設(shè)振幅為A，則2A20(cm)，A10(cm)設(shè)周期為T，則0.5(s)，T1(s)，f1(Hz)(2)振子在1T內(nèi)通過的距離為4A，故在t5 s內(nèi)通過的路程為5T，即s5×4A20A20×10 cm200 cm2 m.5 s末物體處在B點(diǎn)，所以它相對(duì)平衡位置的位移為10 cm.三角函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用如圖1­3­16所示，游樂場(chǎng)中的摩天輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每轉(zhuǎn)動(dòng)一圈需要12分鐘，其中心O距離地面，半徑為40米，如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時(shí)間的變化而變化，以你登上摩天輪的時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，請(qǐng)回

4、答下列問題：圖1­3­16(1)求出你與地面的距離y(米)與時(shí)間t(分鐘)的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)你第4次距離地面時(shí)，用了多長(zhǎng)時(shí)間？【精彩點(diǎn)撥】.【自主解答】(1)可以用余弦函數(shù)來表示該函數(shù)的關(guān)系式，由已知，可設(shè)y40.540cos t，t0，由周期為12分鐘可知，當(dāng)t6時(shí)，摩天輪第1次到達(dá)最高點(diǎn)，即此函數(shù)第1次取得最大值，所以6，即.所以y40.540cost(t0)(2)設(shè)轉(zhuǎn)第1圈時(shí)，第t0分鐘時(shí)距地面，由60.540.540cost0，得cost0，所以t0或t0，解得t0t8分鐘時(shí)，第2次距地面，故第4次距離地面時(shí)，用了12820(分鐘)解三角函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟再

5、練一題2如圖1­3­17，某地一天從614時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)yAsin(x)b.圖1­3­17(1)求這一天614時(shí)的最大溫差；(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式【解】(1)由圖可知：這段時(shí)間的最大溫差是20 ；(2)從圖可以看出：從614是yAsin(x)b的半個(gè)周期的圖象，1468，T16.T，.y10sin20.將點(diǎn)(6，10)代入得：sin1，2k，kZ，2k，kZ，取，y10sin20(6x14)探究共研型三角函數(shù)的數(shù)據(jù)擬合問題探究1在利用已收集到的數(shù)據(jù)解決實(shí)際問題時(shí)，我們首先要對(duì)數(shù)據(jù)如何處理？【提示】先畫樣本數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖，通過分析其變化趨

6、勢(shì)確定合適的函數(shù)模型探究2當(dāng)散點(diǎn)圖具有什么特征時(shí)，可以用正(余)弦函數(shù)模型來解決實(shí)際問題【提示】當(dāng)散點(diǎn)圖具有波浪形的特征時(shí)，便可考慮應(yīng)用正(余)弦函數(shù)模型來解決實(shí)際問題某“帆板”集訓(xùn)隊(duì)在一海濱區(qū)域進(jìn)行集訓(xùn)，該海濱區(qū)域的海浪高度y(米)隨著時(shí)間t(0t24，單位：小時(shí))而周期性變化，每天各時(shí)刻t的浪高數(shù)據(jù)的平均值如下表：t(時(shí))03691215182124y(米)(1)試在圖中描出所給點(diǎn)；(2)觀察圖，從yatb，yAsin(t)b，yAcos(t)中選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的解析式；(3)如果確定在一天內(nèi)的7時(shí)至19時(shí)之間，當(dāng)浪高不低于時(shí)才進(jìn)行訓(xùn)練，試安排恰當(dāng)?shù)挠?xùn)練時(shí)間圖1&#

7、173;3­18【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】(1)描出所給點(diǎn)如圖所示：(2)由(1)知選擇yAsin(t)b較合適令A(yù)0，0，|.由圖知，A，b1，T12，所以.把t0，y1代入y1，得0.故所求擬合模型的解析式為yt1(0t24)(3)由yt1，則sint，則2k2k(kZ)，即12k1t12k7(kZ)，注意到t0，24，所以0t7，或11t19，或23t24.再結(jié)合題意可知，應(yīng)安排在11時(shí)到19時(shí)訓(xùn)練較恰當(dāng)用三角函數(shù)解決實(shí)際問題的關(guān)鍵在于如何把實(shí)際問題三角函數(shù)模型化，而散點(diǎn)圖起了關(guān)鍵的作用.解決這類題目的步驟如下：(1)搜集實(shí)際問題的數(shù)據(jù)，作出“散點(diǎn)圖”；(2)觀察散點(diǎn)圖，用三角函

8、數(shù)模型擬合散點(diǎn)圖，得到函數(shù)模型；(3)通過圖象或解析式研究函數(shù)的性質(zhì)；(4)用得到的性質(zhì)解決提出的實(shí)際問題.再練一題3某港口的水深y(m)是時(shí)間t(0t24，單位：h)的函數(shù)，下面是水深數(shù)據(jù)：t/h03691215182124y/m根據(jù)上述數(shù)據(jù)描出的曲線如圖1­3­19所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)yAsin tb的圖象圖1­3­19(1)試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出yAsin tb的表達(dá)式；(2)一般情況下，船舶航行時(shí)，船底離海底的距離不少于4.5 m時(shí)是安全的，如果某船的吃水深度(船底與水面的距離)為7 m，那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該船

9、欲當(dāng)天安全離港，則在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過多長(zhǎng)時(shí)間？(忽略進(jìn)出港所用的時(shí)間)【解】(1)由擬合曲線可知，函數(shù)yAsin tb在一個(gè)周期內(nèi)由最大變到最小需936(h)，此為半個(gè)周期，函數(shù)的最小正周期為12 h，因此，12，.又當(dāng)t0時(shí)，y10；當(dāng)t3時(shí)，取最大值13.b10，A13103.所求函數(shù)表達(dá)式為y3sin x10.(2)由于船的吃水深度為7 m，船底與海底的距離不少于4.5 m，故船舶在航行時(shí)水深y應(yīng)大于等于74.511.5(m)由擬合曲線可知，一天24 h，水深y變化兩個(gè)周期令y3sin x10， 可得sin x.2kx2k(kZ)，12k1x12k5(kZ)取k0，則1x5；取

10、k1，則13x17；取k2時(shí)，則25x29(不合題意)從而可知，該船在1點(diǎn)到5點(diǎn)或者13點(diǎn)到17點(diǎn)兩個(gè)時(shí)間段可安全進(jìn)港；船舶要在一天之內(nèi)在港口停留時(shí)間最長(zhǎng)，就應(yīng)從凌晨1點(diǎn)進(jìn)港，而下午的17點(diǎn)前離港，在港內(nèi)停留的時(shí)間最長(zhǎng)為16個(gè)小時(shí).1電流I隨時(shí)間t變化的關(guān)系式是IAsin t，t0，)，若10 rad/s，A5，則電流I變化的周期是_，當(dāng)t s時(shí)，電流I_.【解析】由已知得I5sin 10t，T.當(dāng)t s時(shí)，I9sin 10·5sin .【答案】2據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，某種商品一年內(nèi)每件出廠價(jià)在7千元的基礎(chǔ)上，按月呈f(x)Asin(x)bA0，0，|的模型波動(dòng)(x為月份)，已知3月份達(dá)到最高

11、價(jià)9千元，7月份價(jià)格最低為5千元，根據(jù)以上條件可確定f(x)的解析式為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48582062】【解析】由題意，可得A2，b7，周期T2×(73)8，f(x)2sin7.當(dāng)x3時(shí)，y9，2sin79，即sin1.|<，.f(x)2sin7(1x12，xZ)【答案】f(x)2sin7(1x12，xZ)3某地一天內(nèi)的溫度變化曲線滿足yx25)15，則在一天內(nèi)，該地的最大溫差是_【解析】因?yàn)楹瘮?shù)yx25)15的振幅為A3，可以判斷該地的最大溫差是2A6.【答案】64一物體相對(duì)于某一固定位置的位移y(cm)和時(shí)間t(s)之間的一組對(duì)應(yīng)值如下表所示：t0y則可近似地描述該物體的位移y和時(shí)間t之間關(guān)系的一個(gè)三角函數(shù)為_【解析】由樣本數(shù)據(jù)可知，T，且該物體的位移y和時(shí)間t之間的位置關(guān)系近似的用yAcos t來表示又A，.yt.【答案】y0.4cos t5彈簧上掛的小球作上下振動(dòng)，它在時(shí)間t(s)內(nèi)