圓錐曲線專題——四邊形面積最值問題解析版

1、圓錐曲線專題一四邊形面積最值問題X2 V*US楠園F 1但:匕U的焦點(diǎn)分別為尸1（-1叫、尸式1則，右祖映交了物于點(diǎn)兒 才 療且福 2AFi.（I ）試求楠國的方程；n ）過曰、Fa分別作互相垂直的兩直線與橢圓分另怏于口一已MN四點(diǎn)（如圖所示）城水四邊形mWEH面枳的最大值.:- i.，I ）由題意/瓦瓦| =2 2廠.川£。）,vlK- 2而言三為dF】的中高-3,62 -2即橢圓方程為彳+占 1- ,lB1xj（n）當(dāng)直線。b與工軸垂直時(shí)，|。均=2同理當(dāng)MN與工軸垂直時(shí).也有四邊形DMEN的面積為IDE - MN2=4.a C_DEMN此時(shí)mn = 2a = 2調(diào)，四邊形DME

2、N的面積為=4.乙當(dāng)直線DE,MN均與工軸不垂直時(shí),設(shè)。E:y-k任一1）,代入橢國方程.消去y得： （2 + 做2）X2 + 6k2工+（3好 6）= 0.設(shè)。（I1，山）.君（£2，力），則r5 4，5 / k + 1所以，|力一工2|= V(Zl + ?2) 421 工2=;、2 + 3/：-_(/+1)所以,|0E =，£中歷一切=J ,4、得同理MM =2 + 32 - 3H32.瓦DE- MN所以，四邊形的面積So儼+ 1) 41 + l) 24y+2 6位十2)十I?a 124 (2 + u)4令 t£=Pd ,得 $= = 4"13 +

3、613 + 6u96當(dāng)上=±1時(shí)內(nèi)=2,S=充，且S是以“為自變量的增函數(shù)，所以£ WS<4.（;96練上可知即四邊形DMEN面積的最大值為工最小值為在平面直用坐標(biāo)系中，已知圓G的方程為。-1尸+/=9,ISG的方程為O+D2+t；=1f動(dòng)圓。與圖G內(nèi)切且與圓Q外切.求動(dòng)圓圓心c的軌跡E的方程：已知?dú)鈪^(qū)。）與。a0）為平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn),過a0）點(diǎn)的直線與軌跡互交于乂，8兩點(diǎn)，求四邊形.如3。面積的最大值.令，=募"之1,有$ =T_ = 二：由函數(shù)*=3，+1在口+©單調(diào)遞增 尋71引174/24有期4-益4,敕3 =_ <6;四邊形一打哨。

4、面枳的最大值為6.，3+1 3r+lt223.已知橢圓工 1 1的左、右焦點(diǎn)分別為Fi , F2 .過Fi的直線交橢圓于B, D兩 32點(diǎn)，過F2的直線交橢圓于A, C兩點(diǎn)，且AC BD ,垂足為P . （ I ）設(shè)P點(diǎn)的2 2坐標(biāo)為（xo, yo）,證明：-y0 1 ;3 2（II）求四邊形ABCD的面積的最小化解析 】)因?yàn)闄E圓的半焦距£ /3-2 = 1.并且AC1.HD知,點(diǎn)P在以線段Fl F為fl徑的圓上，故.十 . ”才：. y$ 一： ¥：1=1 所以7十下 (5 1 .Q 七 & q L(2)( i)當(dāng)BD的維率存在H &f。時(shí)BD的方程為7

5、t.代人橢則方程;卜；二1 ,井化篩得因?yàn)? '與UD垂直11相交F點(diǎn)兒故AC的斜率為所以1"力1 1八(24驍工+ 1產(chǎn)(3工+2乂2尤鋪24+1>_ 96,3K+訂十(2嚴(yán)+ 3汴一藥 一? fad當(dāng)k2 = 1時(shí).匕式取”=:(ii)當(dāng)HD的斜率A = U或斜率不存在時(shí).四邊形ABCD的面積S=4.綠上，叫邊脛A/3C/)的面枳的累小低為，二4.平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P(x, y)與兩定點(diǎn)A(-2, 0), B(2,0)連線的斜率之積等于。，若點(diǎn)P4的軌跡為曲線E,過點(diǎn)Q( 6,0)直線l交曲線E于M, N兩點(diǎn).5(I )求曲線E的方程，并證明： MAN是一定值;(II)若四

6、邊形AMBN的面積為S,求S的最大值試題解析：(I)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x, y),當(dāng)x 2時(shí)，由條件得:y yx 2 x 21x2o2)一士，化簡得土+y2 1(x442曲線E的方程為，+ y2 1(x2),4分4(說明：不寫x 2的扣1分)由題可設(shè)直線MN的方程為x = h-，聯(lián)立方程組可得5X -ky- -,5，化簡得:4-y = 14 r小 12(十4獷-設(shè) A"/。,則 r > 二* * + y, = - ' -25a2+4)5(A2 +4)”工“),則、4AM AN(4 +2,丹> -(卜 +1)%此 十一#(月十%)16 cH二 025所以MAN 900

7、，所以MAN的大小為定值(n)1S - I AB | | yiy2|2 |2 2| x(yi y2)2 4yiy212k25(k4)4 64_225(k4)c 25k2 64 (k2 4)2,2,、,2k 4 t,(t 4), k t 4,25t 362f(t)25t 36t2f (t)225t2 2t(25t 36)t425t 72t3Qt 4, f (t) 0 y f(t)在 4,上單調(diào)遞減.f(t)f(4)100 3616由t 4 ,得K=0 ,此時(shí)S有最大值16 5.已知圓。C：(x 1)2 y2 8, C( 1,0)動(dòng)圓與。C相切且過定點(diǎn)B(1,0);(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡E方程；(

8、2)過點(diǎn)D(0,t) ,1 t 1傾斜角為45的直線l與軌跡E交于M,N兩點(diǎn)，求B,C,M,N四點(diǎn)圍成的四邊形面積的最大值。(I )解：設(shè)動(dòng)圓圓心為P ,則PBPC 242 ,所以動(dòng)圓圓心是以B,C為焦點(diǎn)2的橢圓，方程為y2 1022(H )設(shè) l : y x t ,代入y221 得：3x2 4tx 2t22 0 ,設(shè) M(x1,y1),N(X2, y2)16t2x1 x212(2t24t3x1 x2一 2 一2t2 23SMANB1 acI21ABi y V22)0x1V(Xi x2)2 4XiX2 ,222、t、.2,32.6（62t）-6 '3233B,C,M,N四點(diǎn)圍成的四邊形

9、面積的最大值為 型。 3 壁r4sss886已范橢圓C；與十鼻=1（“ a的篙心率為邛.且經(jīng)過點(diǎn)j四邊形財(cái)NPQ的（T 臚J四個(gè)頂點(diǎn)都在摘EIC上，對角線所在直線的斜率為-1 ,且MN MQ , PN - PQ.（I ）求橢圓C的方程； n）求酗b MNPQBK的財(cái)值口'£ _必（I）根痣題意得一：.13 解得口 =、? 二必十. 2所的隨國方程為三十 / L（3分）（口）因?yàn)镸N = MQ , PN = PQ ,所以對角線AfF垂直平分線段NQ設(shè)/UP /V Q所在直線方程分別為9I m.y = e + Ti* （工1,的）* Q，羽）. 中點(diǎn)尸（小珈）由 J -'

10、 得 4h" + tiriz + 3rF 3 （）.I y = i+n人.? /i=i 口3n3ns 3令 ZX 4H _ 12n- > 0,得 nr < 4.tl + zs , mi .4:則 nq=q6 一央廣一（一物產(chǎn),6（4 -巧=2/6（4 - m2）同理MP- .所以$甌娜j MP NQ3t/（4 a） （& ?。┯忠?yàn)閤a = *' :ri,所以NQ中點(diǎn)尸（ ?隔< n） .£4 鼻 鼻 /出點(diǎn)月在直線MP上，得”二一2他.所以%g速第_出片r4 = MP |ATQ|%/q -牘 q 0 - 2因?yàn)镮0d< 4.斫以I）

11、<m < 1.所以當(dāng)m 。時(shí)一四邊形就NPQ面積的最大值為& .他分）22/ 萬、fn7已知脯國C： * 1（口 力過點(diǎn)（1,當(dāng)卜高，又為修，過橢國的右焦點(diǎn)F 作垂直于/軸的直法與橢圓相交于乩6兩點(diǎn)直線k9=皿-瓜與橢圓交于C 兩 點(diǎn),與線段A B相交計(jì)隔（與乩B不重合），（I ）求橢國C的方程；（H）當(dāng)直茂與國工，+ / 1相切時(shí)，四邊形A CBD的面積是否有最大值?若有，求出最 大值及對應(yīng)直線1的方程，若沒有,說明理由.蟠左-1 1-H- = 1a2 21r 1）由題意得1f / ，解得« = 2聞=1.1= 1 ,丁廳I a3 =必十d 9.橢國的方程為&#

12、163;+靖 L ； £口）設(shè)eg.酊）.口的，的）（由已知再AB 6 ,當(dāng)"I 0時(shí),不符合題或；I司當(dāng)Ef 0時(shí)，由直線，與園> + /= 1相切，可得:1.即,L 皿+口/聯(lián)立工，2. + ；肖玄a可得（e，+可）/ -+ 2tram + n* 1 =叫2mn -F y 2mr2mn /2m2m2 + 12 2th1 + 1 r12|m| 5四郵畫方=k AB - xy-x2 -上2 m + 1當(dāng)且僅當(dāng)m 士* 時(shí)上三害號(hào)成立,此時(shí)n 上*. 22二對應(yīng)的直線方程為，&+與-*第=。或v。工沏、用=讓8.平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓M: x2+ y2=

13、 1 （a>b>0）右焦點(diǎn)的直線x+yV3 a b1=0父M于A, B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為2.求M的方程；（2）C,D為M上的兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對角線CDLAB,求四邊形ACBD 面積的最大值.自主解答(1)設(shè) A(xi, yi), B(x2, y2), P(xo, yo), nt.x2 置/x2 y2 / y2 yi/則尹 b2=1，尹b2=1，x2 xi=T，,“r/曰 b2 x2 + x1y2-y1由此可行 a2y2 + y1 ;-x2二二以 a2=2b2又由題意知，M嗎右弓點(diǎn)為陣 所以M的方程為x + y=1.6 3yo 11.因?yàn)?xi + x2=2

14、x0, yi + y2 = 2yo,q=2,所xo 40),故a2一 b2 = 3.因此 a2 = 6, b2= 3.x+y0(2)由 K 一6+ 3一1，解得x二4,33 ，x=。，4/6或y他.因此AB|=W.由題意可設(shè)直線CD的方程為y=x+n竽<n<V3 ,設(shè) C(X3, y3), D(X4,y=x+ n,y4).由余匕得 3x2 + 4nx+ 2n2 6 = 0.-2nj2 9-n2于是X3,4一.因?yàn)橹本€CD的斜率為1,所以|CD|=d2|x4 X3|n2.9-n2.1由已知，四邊形ACBD的面積S=習(xí)CD|AB= 當(dāng)n=0時(shí)，S取得最大值，最大值為 駕6所以四邊形ACBD面積的最大值3 為世如圖，巳知離心率為引橢圓嘮+ /1（°>6>0）經(jīng)過點(diǎn)（1,亨遍口尸。院殖均 不與橢圓四個(gè)頂點(diǎn)重合的橢圓C的一個(gè)內(nèi)接四邊形.（I）求桶圓。的方程；（D ）若”砧=試判斷。PQRS的山和彘片定值， * fi., 定值,求出該定值;若不為定值,請說明理由.8二 4