立足數(shù)學(xué)概念 夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1、立足數(shù)學(xué)概念 夯實(shí)數(shù)學(xué)根底 立足數(shù)學(xué)概念 夯實(shí)數(shù)學(xué)根底 【摘要】概念是思維的根本單位，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識中最根底的一局部，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解、掌握，直接影響到學(xué)生后續(xù)的命題學(xué)習(xí)和解題能力。在實(shí)際的教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)概念教學(xué)既要表達(dá)概念的本質(zhì)和外延，還應(yīng)該注重概念的聯(lián)系和運(yùn)用。本文從概念的引入、概念的形成、概念的理解、概念的表達(dá)和概念的運(yùn)用等五方面，結(jié)合自己的日常教學(xué)，談?wù)剬?shù)學(xué)概念教學(xué)的一些具體做法，以期拋磚引玉。 【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)概念；課程教學(xué)；方法指導(dǎo) 數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的根底，是人們從數(shù)學(xué)對象的眾多屬性中，抽象出其本質(zhì)屬性概括而成的。正確的理解概念是學(xué)好數(shù)學(xué)命題，掌握數(shù)學(xué)方法和提高數(shù)學(xué)解題

2、能力的根底。許多學(xué)生的數(shù)學(xué)成績不理想，都和沒弄清根底概念有關(guān)。一些教師在教學(xué)時，也往往無視了數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，讓學(xué)生對概念死記硬背。這樣做不能讓學(xué)生真正掌握概念，不利于其數(shù)學(xué)思維的開展。筆者認(rèn)為，要打好數(shù)學(xué)根底，應(yīng)在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)上下功夫，應(yīng)注重以下五個方面： 1 注重?cái)?shù)學(xué)概念的引入 從概念學(xué)習(xí)的心理過程劃分，數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)可分為概念獲得、概念在知覺水平的應(yīng)用、概念表征、概念在思維水平的應(yīng)用四個階段。其中，概念獲得是概念學(xué)習(xí)的初步階段，而概念的引入又是概念獲得的初始階段，對概念學(xué)習(xí)的影響不言而喻。 某些老師在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，引入的過程過于簡單，且只注重形式定義分析，在概念的表達(dá)上花費(fèi)太多的時間。更

3、有甚者，對定義也是匆匆?guī)н^的，而將主要精力放在對相關(guān)題型的講解上。其實(shí)，有效地引入概念是講好概念的前提。 波利亞認(rèn)為，學(xué)習(xí)最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)。好的概念引入情景能讓學(xué)生經(jīng)歷一遍發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新的過程，促進(jìn)他們在獲得概念的同時，培養(yǎng)自己的創(chuàng)新思維。對于不同的概念要采用不同的引入方法。 1.1 結(jié)合實(shí)際例子引入概念。 概念的形成是一個漸進(jìn)的過程，要引導(dǎo)學(xué)生從大量的實(shí)例中感知概念。在數(shù)學(xué)中，有些概念是具體事物的抽象，在教學(xué)中就可啟發(fā)學(xué)生聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)例引入概念。比方“數(shù)軸的教學(xué)，讓學(xué)生從溫度計(jì)中抽象出其代數(shù)圖形，進(jìn)而分析其特征，得出數(shù)軸的概念。再比方“圓的概念引出前，可以讓學(xué)生聯(lián)想生活中常見的太陽、奧

4、運(yùn)五環(huán)旗、圓狀跑道等數(shù)學(xué)原形，讓學(xué)生用圓規(guī)在紙上畫圓，也可以用準(zhǔn)備好的定長的線繩，將一端固定，而另一端帶有粉筆并繞固定端旋轉(zhuǎn)一周，從而引導(dǎo)同學(xué)們自己發(fā)現(xiàn)圓的形成過程，進(jìn)而總結(jié)出圓的特點(diǎn)：圓上任意一點(diǎn)到圓心的距離相等，從而且猜測出圓的概念。這種通過提供現(xiàn)實(shí)原型引入概念的做法，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生從感性認(rèn)識入手，逐步上升到理性認(rèn)識，形成正確的概念。 1.2 運(yùn)用類比方式引入概念。 有些概念是學(xué)生已掌握概念的開展，在教學(xué)中可根據(jù)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，利用學(xué)生已有知識同化新概念。這樣讓學(xué)生既穩(wěn)固了舊概念，又將新概念納入自己的知識結(jié)構(gòu)中去。如一元二次方程的教學(xué)，就用類比方法將之與一元一次方程聯(lián)系起來

5、，啟發(fā)學(xué)生自主觀察歸納，類比一元一次方程得出一元二次方程的概念。數(shù)學(xué)的一些概念和規(guī)律，理論性強(qiáng)而且比擬抽象，如果把它與學(xué)生熟悉的相關(guān)實(shí)體進(jìn)行比擬，幫助學(xué)生理解概念、掌握規(guī)律，學(xué)生就會對它產(chǎn)生極大的興趣，主動思考。事實(shí)上，每一個數(shù)學(xué)概念都不是孤立存在的，把概念置于它所在的相應(yīng)系統(tǒng)中進(jìn)行比擬，不但能深刻理解概念，還有利于開展概念。 1.3 通過觀察歸納引入概念。 在概念形成的過程中，教師也可通過給出一些具體的概念例子，讓學(xué)生觀察分析，從中抽象出本質(zhì)屬性，得到概念。比方矩形和菱形的教學(xué)，先給出平行四邊形，從邊、角、對角線入手，歸納概括出菱形、矩形本質(zhì)的屬性。這樣一來，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律、概括概念，能

6、最大限度地激活其思維活動。如果單純的把概念給出，略去概念的產(chǎn)生過程，這樣學(xué)生在學(xué)習(xí)的感知階段就顯得貧乏或突然，對概念很難理解也不愿意去理解。 1.4 利用設(shè)置問題引入概念。 設(shè)置一些疑問，可以激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，并使之轉(zhuǎn)變?yōu)閺?qiáng)烈的求知欲。比方負(fù)數(shù)概念的教學(xué)，就可以讓學(xué)生思考如果“算術(shù)數(shù)減法中“不夠減的問題，怎么表示。如果沒法表示，數(shù)學(xué)運(yùn)算就會進(jìn)入死胡同。進(jìn)而引入負(fù)有理數(shù)的概念。從而使數(shù)的外延擴(kuò)展到有理數(shù)，又比方為了解決正方形面積求邊長的問題，必須引入開平方運(yùn)算及無理數(shù)的概念，從而使數(shù)的外延再次擴(kuò)展到實(shí)數(shù)范圍。 皮亞杰提出“認(rèn)識是一種以已有知識和經(jīng)驗(yàn)為根底的主動的建構(gòu)活動。因此，雖然概念引入的方

7、式多種多樣，但都要建立在學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平和知識結(jié)構(gòu)的根底上才能較順利的引入，否那么會讓學(xué)生感到不知所云。 2 注重?cái)?shù)學(xué)概念的形成 注重?cái)?shù)學(xué)概念形成過程，符合學(xué)生的一般認(rèn)識規(guī)律。數(shù)學(xué)概念的形成是整個數(shù)學(xué)概念教學(xué)極為重要的一個環(huán)節(jié)。假設(shè)我們在這一環(huán)節(jié)無視概念的形成過程，直接將一些新的數(shù)學(xué)概念灌輸給學(xué)生，那么不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的形成，從而阻礙了學(xué)生學(xué)習(xí)能力的開展。所以，我們要重視數(shù)學(xué)概念的形成過程，最好的方法是注重知識體系的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)會歸納概念的形成過程。因?yàn)楦拍钍欠从晨陀^事物的本質(zhì)屬性，而客觀事物又是相互聯(lián)系的，而數(shù)學(xué)概念之間也必然存在這種關(guān)系，因此在數(shù)學(xué)概念教學(xué)時應(yīng)抓住這個規(guī)律來講解概念。例

8、如“二次根式、最簡二次根式等概念，它們在一章中是相對集中，環(huán)環(huán)相扣的，這就要求概念之間逐層遞進(jìn)，缺一不可。又例如“絕對值、算術(shù)平方根和完全平方數(shù)等概念，雖然它們不在一個章節(jié)中且比擬分散，但有一個共同點(diǎn)：它們都是非負(fù)數(shù)，都分別大于或等于0，即：|a|0，a0，a20。所以，我們應(yīng)注重概念之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生理清脈絡(luò)，建立概念體系，促使學(xué)生做到舉一反三、觸類旁通。 3 注重?cái)?shù)學(xué)概念的理解 對概念的掌握不是一次性完成的，有些概念需要較長的過程才能逐步深入理解掌握。因?yàn)閿?shù)學(xué)概念都是較為抽象的，所以要抓住其本質(zhì)特征，從感知到理解。既要讓學(xué)生理解概念的內(nèi)涵，掌握其結(jié)構(gòu)特征，又要了解概念的外延，知道它與其他

9、相關(guān)概念間的聯(lián)系與區(qū)別。理解了概念的內(nèi)涵與外延，才算真正理解了概念。理解概念的方法有很多種。 3.1 注重概念中的關(guān)鍵字。 學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的不熟悉，往往表現(xiàn)在對概念中關(guān)鍵字的理解模糊不清。這就要求在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵字。比方初中階段函數(shù)概念的教學(xué)，學(xué)生對于在某個變化過程中的2個變量，x和y，對于每一個確定的x的值，y都有唯一的值和它對應(yīng)。學(xué)生對于唯一這個關(guān)鍵字不太理解，教師可以多舉幾個例子便于學(xué)生理解，可以從特殊到一般，具體到抽象，從而對初中階段函數(shù)描述性概念的理解。 3.2 用數(shù)形結(jié)合的方法描述概念。 很多數(shù)學(xué)概念都可以用數(shù)形結(jié)合的方法講解，讓學(xué)生直觀感受、便于理解且加深了印象。比方四邊形中的平

10、行四邊形、矩形、菱形、正方形就可以用圓圈圖來表示，以幫助學(xué)生理解。函數(shù)的圖像也有助于我們理解函數(shù)的性質(zhì)。但要注意的是，不能過分地運(yùn)用圖像，尤其是特例的圖像，這樣勢必會造成以偏概全的結(jié)果。比方，在函數(shù)的教學(xué)中，過分使用圖像來理解函數(shù)，會讓學(xué)生只記住特殊函數(shù)的圖像，忘記了函數(shù)的本質(zhì)是一種對應(yīng)關(guān)系。 3.3 在概念域的命題網(wǎng)絡(luò)中理解概念。 對于一個數(shù)學(xué)概念，局部學(xué)生對概念的理解不可能一蹴而就，而是要經(jīng)歷：實(shí)踐認(rèn)識再實(shí)踐再認(rèn)識的過程，這是個正確與錯誤搖擺不定的過程，更是一個對概念理解不斷深化的過程。比方，學(xué)生剛接觸二次函數(shù)的概念時，只能從形式上判斷某一函數(shù)是否為二次函數(shù)。但當(dāng)他們學(xué)習(xí)了其圖像、研究了函

11、數(shù)的性質(zhì)后就能根據(jù)a得出圖像的開口方向，由a、b確定圖像的對稱軸，由a、b、c給出圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)。這時對二次函數(shù)的概念自是記憶深刻，能脫口而出了。這種通過后續(xù)知識學(xué)習(xí)讓學(xué)生回過頭來再對概念進(jìn)行加深理解，遵循了“循環(huán)反復(fù)，螺旋上升的學(xué)習(xí)原那么。 4 注重?cái)?shù)學(xué)概念的表達(dá) 在描述數(shù)學(xué)概念時，可以使用語言文字方式外，還可以使用符號語言和圖形語言。數(shù)學(xué)符號是表達(dá)數(shù)學(xué)概念的一種獨(dú)特方式，對學(xué)生理解和形成數(shù)學(xué)概念起著極大的作用，它把學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念的思維過程簡約化、明確化。許多數(shù)學(xué)概念的定義就是用數(shù)學(xué)符號來表達(dá)，如用“+、-、×、÷等表示運(yùn)算符號；“=、等表示關(guān)系符號；用字母表示運(yùn)算，像

12、“2=a2-2ab+b2等。數(shù)學(xué)符號的含義不同使概念進(jìn)一步抽象，使學(xué)生在學(xué)習(xí)時容易產(chǎn)生錯誤假象，例如“Cos=Cos45°-Cos30°，他們把余弦函數(shù)概念的符號“Cos看成一個數(shù)，這就要求我們教師在教學(xué)過程中加以提醒。而數(shù)學(xué)概念有時還需要用圖形來表示。有些數(shù)學(xué)概念本身就是圖形，例如“由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形，即“，結(jié)合圖形可以使學(xué)生對“三角形的概念有一個更加直觀和清晰的認(rèn)識。有些數(shù)學(xué)概念也可以用圖形來表示，比方y(tǒng)=x-1的圖像，從而數(shù)形結(jié)合把數(shù)學(xué)概念更形象化、數(shù)量化。所以，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時，往往把符號語言和圖形語言結(jié)合起來。 5 注重?cái)?shù)學(xué)概念的運(yùn)

13、用 概念的形成是一個由個別到一般的過程，而概念的運(yùn)用那么是一個由一般到個別的過程，它們是學(xué)生掌握概念的兩個階段【4】。因此，獲得概念和理解概念后，還應(yīng)及時加強(qiáng)練習(xí)以穩(wěn)固概念。通過運(yùn)用概念解決實(shí)際問題，可以加深學(xué)生對概念的掌握，概念的應(yīng)用應(yīng)該由淺入深，先直接應(yīng)用再變式應(yīng)用。先選擇一些簡單的、緊扣概念的練習(xí)來幫助學(xué)生掌握概念的內(nèi)涵和外延，再轉(zhuǎn)換問題的表達(dá)方式、改變問題的條件和結(jié)論，用一些諸如一題多解、一題多變、一題多用等變式訓(xùn)練深化對概念的理解。習(xí)題中的反例和錯解也可以從側(cè)面強(qiáng)化穩(wěn)固概念。既要全方位的練習(xí)、又要抓住關(guān)鍵重點(diǎn)，這樣才能到達(dá)學(xué)以致用的目標(biāo)，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)。 ?數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)?指出“正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)根底知識的前提，因此做好數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵