第5章克里格法

1、 克里金法概述克里金法概述 線性克里金法線性克里金法簡單克里金簡單克里金普通克里金普通克里金泛克里金法泛克里金法 非線性克里金法非線性克里金法對數(shù)正態(tài)克里金法對數(shù)正態(tài)克里金法指示克里金法指示克里金法析取克里金法析取克里金法 協(xié)同克里金法協(xié)同克里金法1 1、克里金法概念及種類、克里金法概念及種類概念：概念：又稱為又稱為空間局部估計(jì)空間局部估計(jì)或或空間局部插值法空間局部插值法,克里金法是建立在變異函數(shù)理論克里金法是建立在變異函數(shù)理論及結(jié)構(gòu)分析基礎(chǔ)上，在有限區(qū)域內(nèi)對區(qū)域化變量的取值進(jìn)行線性無偏最優(yōu)估及結(jié)構(gòu)分析基礎(chǔ)上，在有限區(qū)域內(nèi)對區(qū)域化變量的取值進(jìn)行線性無偏最優(yōu)估計(jì)的一種方法。計(jì)的一種方法。 主要類

2、型：主要類型： 簡單克里金法簡單克里金法 普通克里金法普通克里金法 Ordinary Kriging 泛克里金法泛克里金法 Universal Kriging 對數(shù)正態(tài)克里金法對數(shù)正態(tài)克里金法 Logistic Normal Kriging 指示克里金法指示克里金法 Indicator Kriging 概率克里金概率克里金 Probability Kriging 析取克里金法析取克里金法 Disjuctive Kriging 協(xié)同克里金法協(xié)同克里金法 Co-KrigingniiivxZxZ1*)()( 設(shè)設(shè)x為研究區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)為研究區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)0)()(*xZxZEvv待估點(diǎn)的估計(jì)待估點(diǎn)的估計(jì)

3、值值克里金估計(jì)量克里金估計(jì)量權(quán)重系數(shù)權(quán)重系數(shù)待估點(diǎn)待估點(diǎn)影響范圍內(nèi)影響范圍內(nèi)的的有效樣本值有效樣本值（1）無偏估計(jì)）無偏估計(jì)（2）最優(yōu)估計(jì)）最優(yōu)估計(jì)的求解imin)()()()(2*xZxZExZxZVarvvvv顯然，估計(jì)的好壞顯然，估計(jì)的好壞取決于權(quán)重系數(shù)取決于權(quán)重系數(shù)i（1）數(shù)據(jù)檢查（2）模型擬合（3）模型診斷（4）模型比較 當(dāng)區(qū)域化變量Z(x)的EZ(x)=m已知，則稱為簡單克里金法 若Z(x)的EZ(x)未知，則稱為普通克里金法設(shè)區(qū)域化變量設(shè)區(qū)域化變量Z(x)滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，其數(shù)學(xué)期望為常數(shù)滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，其數(shù)學(xué)期望為常數(shù)m，協(xié)方差函數(shù)，協(xié)方差函數(shù)C(h)和變異函數(shù)和變異函數(shù) (

4、 (h h) )存在且平穩(wěn)。存在且平穩(wěn)。 現(xiàn)要估計(jì)中心點(diǎn)在現(xiàn)要估計(jì)中心點(diǎn)在x0 的待估塊段的待估塊段V 的均值的均值ZV(x)， ZV(x)表達(dá)式為表達(dá)式為 由于由于 EZ(x)=m已知已知令令 Y(x)=Z(x)-m則則 EY(x)=EZ(x)-m= EZ(x)-m=0待估塊段新待估值待估塊段新待估值dxxZvxZvv)(1)(設(shè)在待估塊段V附近有n個樣點(diǎn)xi(i=1,2,n),其觀測值為Z(xi) (i=1,2,n)，則觀測值新變量為：Y(xi)=Z(xi)-mY(V)的估計(jì)值Yv*是Y(xi) (i=1,2,n)的線性組合，則目標(biāo)：找出一組權(quán)重系數(shù)目標(biāo)：找出一組權(quán)重系數(shù) ，使得，使得Yv

5、*成為成為Y(V) 的線性、無偏、最優(yōu)估計(jì)量的線性、無偏、最優(yōu)估計(jì)量), 2 , 1(nii則估計(jì)Z(V)的問題轉(zhuǎn)化為估計(jì)Y(V)的問題在滿足以下兩個條件時(shí)，Yv*是Y(V)的線性、無偏、最優(yōu)估計(jì)量。（1）無偏性）無偏性 由于由于 所以所以 則則 Yv* 不需要任何條件即是不需要任何條件即是Y(V)的無偏估計(jì)量。（2）最優(yōu)性）最優(yōu)性 在滿足無偏條件下，可推導(dǎo)估計(jì)方差公式為：在滿足無偏條件下，可推導(dǎo)估計(jì)方差公式為：為使估計(jì)方差最小，需對上式求為使估計(jì)方差最小，需對上式求i的偏導(dǎo)數(shù)并令其為0整理得簡單整理得簡單克里金克里金方程組：方程組：用矩陣表示為：用矩陣表示為：將簡單將簡單克里金克里金方程組表

6、達(dá)式帶入估計(jì)方差表達(dá)式得方程組表達(dá)式帶入估計(jì)方差表達(dá)式得簡單簡單克里金克里金估計(jì)方差表達(dá)式：估計(jì)方差表達(dá)式：從簡單從簡單克里金克里金方程組的方程組的n個方程中便可求得個方程中便可求得n個權(quán)重系數(shù)個權(quán)重系數(shù)i，則，則YV(x)的簡單的簡單克里金克里金估計(jì)量為：估計(jì)量為：簡單簡單克里金克里金法的估計(jì)精度在很大程度上依賴于法的估計(jì)精度在很大程度上依賴于m值的準(zhǔn)確度，但是通常情值的準(zhǔn)確度，但是通常情況下很難正確估計(jì)況下很難正確估計(jì)m值，從而導(dǎo)致簡單值，從而導(dǎo)致簡單克里金克里金估計(jì)精度降低。估計(jì)精度降低。 簡單克里金法計(jì)算示例：簡單克里金法計(jì)算示例：設(shè)某一區(qū)域氣溫?cái)?shù)據(jù)滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，協(xié)方差函數(shù)和變異函

7、數(shù)存在，所有采設(shè)某一區(qū)域氣溫?cái)?shù)據(jù)滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)存在，所有采樣數(shù)據(jù)的均值為樣數(shù)據(jù)的均值為16.08度，并將均值作為此區(qū)域化變量的數(shù)學(xué)期望值，將所有度，并將均值作為此區(qū)域化變量的數(shù)學(xué)期望值，將所有采樣數(shù)據(jù)剔除數(shù)學(xué)期望值后擬合的變異函數(shù)模型為球狀模型，如下所示。采樣數(shù)據(jù)剔除數(shù)學(xué)期望值后擬合的變異函數(shù)模型為球狀模型，如下所示?，F(xiàn)用簡單克里金方法根據(jù)五個已知點(diǎn)的氣溫?cái)?shù)據(jù)來估算0點(diǎn)處的氣溫值設(shè)區(qū)域化變量設(shè)區(qū)域化變量Z(x)滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，其數(shù)學(xué)期望為滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，其數(shù)學(xué)期望為m，為未知常數(shù)，協(xié)方，為未知常數(shù)，協(xié)方差函數(shù)差函數(shù)C(h)和變異函數(shù)和變異函數(shù)(h)存在且平穩(wěn)。現(xiàn)要估

8、計(jì)中心點(diǎn)在存在且平穩(wěn)。現(xiàn)要估計(jì)中心點(diǎn)在x0的待估塊段的待估塊段V的的均值，即均值，即設(shè)待估塊段設(shè)待估塊段V附近有附近有n個樣點(diǎn)個樣點(diǎn)xi(i =1,2,n),其觀測值為其觀測值為Z(xi) (i =1,2,n)，待，待估塊段估塊段V的真值是估計(jì)鄰域內(nèi)的真值是估計(jì)鄰域內(nèi)n個信息值的線性組合，即個信息值的線性組合，即現(xiàn)要求出權(quán)重系數(shù)現(xiàn)要求出權(quán)重系數(shù)i(i =1,2,n)，使，使Z*V(x)為為ZV(x)的無偏估計(jì)量，且估計(jì)方的無偏估計(jì)量，且估計(jì)方差最小。差最小。（1）無偏性條件）無偏性條件 由于由于若要滿足無偏性條件，需若要滿足無偏性條件，需 ，則無偏性條件為：，則無偏性條件為： 即在權(quán)系數(shù)之和為

9、即在權(quán)系數(shù)之和為1的條件下估計(jì)量是無偏的。的條件下估計(jì)量是無偏的。（2）最優(yōu)性條件）最優(yōu)性條件 即估計(jì)方差最小條件，在滿足無偏性條件下，有如下估計(jì)方差公式即估計(jì)方差最小條件，在滿足無偏性條件下，有如下估計(jì)方差公式 要求出在滿足無偏性條件要求出在滿足無偏性條件 下使得估計(jì)方差最小的權(quán)系數(shù)下使得估計(jì)方差最小的權(quán)系數(shù)i(i =1,2,n)， 這這是個求條件極值問題。是個求條件極值問題。根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法原理，建立拉格朗日函數(shù)F。求出函數(shù)F對n個權(quán)系數(shù)i的偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0，和無偏性條件聯(lián)立建立方程組。整理得普通克里金方程組將解出的將解出的i(i =1,2,n)帶入估計(jì)量帶入估計(jì)量公式得到普通公式得到

10、普通克里金克里金估計(jì)量：估計(jì)量：從普通從普通克里金克里金方程組可得：方程組可得：將此式帶入估計(jì)方差公式得將此式帶入估計(jì)方差公式得普通克里金估計(jì)方差，記為 ：普通克里金方程組和普通克里金估計(jì)方差也可用變異函數(shù)(h)表示。在在Z(x)滿足二階平穩(wěn)條件時(shí)，可采滿足二階平穩(wěn)條件時(shí)，可采用協(xié)方差或變異函數(shù)表達(dá)的普通用協(xié)方差或變異函數(shù)表達(dá)的普通克克里金里金方程組及方程組及克里金克里金估計(jì)方差計(jì)算估計(jì)方差計(jì)算式進(jìn)行求解計(jì)算；但在本證假設(shè)條式進(jìn)行求解計(jì)算；但在本證假設(shè)條件下，則只可采用變異函數(shù)的表達(dá)件下，則只可采用變異函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行求解計(jì)算。式進(jìn)行求解計(jì)算。為了書寫簡便和便于計(jì)算，普通為了書寫簡便和便于計(jì)算

11、，普通克克里金里金方程組和普通方程組和普通克里金克里金估計(jì)方差估計(jì)方差均可用矩陣形式表示。均可用矩陣形式表示。協(xié)方差函數(shù)表達(dá)的普通克里金方程組展開得引入矩陣或普通克里金方程組用矩陣形式表達(dá)為： 或權(quán)重系數(shù) 或普通克里金估計(jì)方差用矩陣表達(dá)為： 或普通克里金計(jì)算示例：普通克里金計(jì)算示例：設(shè)某一區(qū)域氣溫?cái)?shù)據(jù)滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)存在，擬合的變異函數(shù)模型為球狀模型，如下所示。數(shù)據(jù)如下，點(diǎn)的空間分布如圖所示。現(xiàn)用普通克里金方法根據(jù)已知五個點(diǎn)的氣溫?cái)?shù)據(jù)估算0點(diǎn)處的氣溫值。普通克里金法要求區(qū)域化變量Z(x)是二階平穩(wěn)或本征的，至少是準(zhǔn)二階平穩(wěn)或準(zhǔn)本征的。在此條件下，至少在估計(jì)鄰域內(nèi)有EZ(x

12、)=m（常數(shù)）。然而實(shí)際中，許多區(qū)域化變量Z(x)在估計(jì)鄰域內(nèi)是非平穩(wěn)的，即EZ(x)=m(x)，m(x)稱為漂移，這時(shí)就不能用普通克里金方法進(jìn)行估計(jì)了，而是要采用泛克里金法進(jìn)行估計(jì)。所謂泛克里金法，就是在漂移的形式EZ(x)=m(x)，和非平穩(wěn)隨機(jī)函數(shù)Z(x)的協(xié)方差函數(shù)C(h)或變異函數(shù)(h)為已知的條件下，一種考慮到有漂移的無偏線性估計(jì)量的地統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，這種方法屬于線性非平穩(wěn)地統(tǒng)計(jì)學(xué)范疇。漂移漂移：非平穩(wěn)區(qū)域化變量非平穩(wěn)區(qū)域化變量Z(x)的數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)期望，在任一點(diǎn)期望，在任一點(diǎn)x上的漂移就是該點(diǎn)上的漂移就是該點(diǎn)上區(qū)域化變量上區(qū)域化變量Z(x)的數(shù)學(xué)期望。的數(shù)學(xué)期望。漂移經(jīng)常用鄰域模型來研

13、究?？杀磉_(dá)為：在給定的以點(diǎn)x為中心的鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)，其漂移m(x)可用如下函數(shù)表示。式中，fl(x)為一已知函數(shù)；al為未知系數(shù)m(x)通常采用多項(xiàng)式形式，在二維條件下，漂移可看成坐標(biāo)x,y的函數(shù)。漲落：漲落：對于有漂移的區(qū)域化變量對于有漂移的區(qū)域化變量Z(x)，假設(shè)可分解為漂移和漲落兩，假設(shè)可分解為漂移和漲落兩部分，部分，式中，m(x) = EZ(x)為點(diǎn)x處的漂移，R(x)稱為漲落。1）基本假設(shè)假設(shè)Z(x)的增量Z(x)Z(y)具有非平穩(wěn)的數(shù)學(xué)期望m(x)m(y)和非平穩(wěn)的方差函數(shù)，即假設(shè)下式存在：2）協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)當(dāng)Z(x)=m(x)+R(x)時(shí)，Z(x)的協(xié)方差函數(shù)C(x,y)為

14、：Z(x)的變異函數(shù)(x,y)為：設(shè)Z(x)為一非平穩(wěn)區(qū)域化變量，其數(shù)學(xué)期望為m(x)，協(xié)方差函數(shù)為C(x,y)且已知，則設(shè)Z(x)的漂移m(x)可表示為如下k+1個單項(xiàng)式fl(x)(l=0,1,2,k)的線性組合。已知n個樣品點(diǎn)xi(i =1,2,n)，其觀測值為Z(xi) (i =1,2,n)，現(xiàn)要用這些樣品點(diǎn)估計(jì)鄰域內(nèi)任一點(diǎn)x的值Z(x)，Z(x)的泛克里金估計(jì)量為：為使Z*(x)為Z(x)的無偏最優(yōu)估計(jì)量，需在以下兩個條件下求解權(quán)重系數(shù)i(i =1,2,n)。1）無偏性條件）無偏性條件若要滿足無偏性條件，需則即對任一組系數(shù)a0，a1,ak等式均成立，需成立。這k+1個子式稱為無偏性條件

15、。2）最優(yōu)性條件）最優(yōu)性條件在滿足無偏性條件下，用Z*(x)估計(jì)Z(x)的泛克里金估計(jì)方差為：將無偏性條件帶入得要求出在滿足無偏性的條件下使得估計(jì)方差最小的權(quán)系數(shù)i(i =1,2,n)，需根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法原理，建立拉格朗日函數(shù)F。求出函數(shù)F對n個權(quán)系數(shù)i的偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0，和無偏性條件聯(lián)立建立如下方程組。整理得估計(jì)Z (x)的泛克里金方程組：泛克里金方程組可用矩陣表示為：其中從泛克里金方程組可得以下兩等式：將等式帶入估計(jì)方差公式可得泛克里金方差，記為：用變異函數(shù)(h)表示如下： 設(shè)某一區(qū)域氣溫是非平穩(wěn)的區(qū)域化變量，在南北方向（空間坐標(biāo)的設(shè)某一區(qū)域氣溫是非平穩(wěn)的區(qū)域化變量，在南北方向（空間坐

16、標(biāo)的y方向）上方向）上存在線性漂移，即存在線性漂移，即 。若已知其漲落滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，并且擬合的協(xié)方差函。若已知其漲落滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，并且擬合的協(xié)方差函數(shù)模型為球狀模型，如下所示。數(shù)模型為球狀模型，如下所示?，F(xiàn)用表現(xiàn)用表5 1所示數(shù)據(jù)，利用泛所示數(shù)據(jù)，利用泛克里金克里金法根據(jù)已知五個點(diǎn)的氣溫?cái)?shù)據(jù)來估算法根據(jù)已知五個點(diǎn)的氣溫?cái)?shù)據(jù)來估算0點(diǎn)點(diǎn)處的氣溫值。處的氣溫值。1、對數(shù)正態(tài)對數(shù)正態(tài)克里金克里金法法如果區(qū)域化變量經(jīng)對數(shù)變換后是正態(tài)分布或近正態(tài)分布，如果區(qū)域化變量經(jīng)對數(shù)變換后是正態(tài)分布或近正態(tài)分布，則則對區(qū)域化變量進(jìn)對區(qū)域化變量進(jìn)行精確估計(jì)的地統(tǒng)計(jì)學(xué)方法稱為對數(shù)正態(tài)克立格法。行精確估計(jì)的地統(tǒng)計(jì)

17、學(xué)方法稱為對數(shù)正態(tài)克立格法。設(shè)區(qū)域化變量設(shè)區(qū)域化變量Z(x)服從對數(shù)正態(tài)分布，在待估點(diǎn)周圍有服從對數(shù)正態(tài)分布，在待估點(diǎn)周圍有n個樣點(diǎn)個樣點(diǎn)xi(i =1,2,n),其觀測值為其觀測值為Z(xi) (i =1,2,n)，區(qū)域化變量經(jīng)對數(shù)變換后新變量為：，區(qū)域化變量經(jīng)對數(shù)變換后新變量為：Y(x)= lnZ(x)，Y(x)為正態(tài)分布。假定為正態(tài)分布。假定Y(x)滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，數(shù)學(xué)期望為滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，數(shù)學(xué)期望為m，協(xié)方，協(xié)方差函數(shù)差函數(shù)C(h)和變異函數(shù)和變異函數(shù)(h)存在且平穩(wěn)。存在且平穩(wěn)?；趯?shù)變換后的采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)基于對數(shù)變換后的采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)Y(xi) (i =1,2,n)，計(jì)算實(shí)驗(yàn)變異函數(shù)

18、并進(jìn)行變，計(jì)算實(shí)驗(yàn)變異函數(shù)并進(jìn)行變異函數(shù)模型的擬合和選擇，然后利用簡單克立格或普通克立格估計(jì)待估點(diǎn)異函數(shù)模型的擬合和選擇，然后利用簡單克立格或普通克立格估計(jì)待估點(diǎn)x處處的值的值Y*(x)。由于估計(jì)值由于估計(jì)值Y(x)是對數(shù)變換后的數(shù)值，因此是對數(shù)變換后的數(shù)值，因此對估計(jì)所得對估計(jì)所得Y*(x)需進(jìn)行反變換。需進(jìn)行反變換。實(shí)際研究中常常會需要獲取研究區(qū)內(nèi)研究對象大于某一給定閾值的概率分布，實(shí)際研究中常常會需要獲取研究區(qū)內(nèi)研究對象大于某一給定閾值的概率分布，即要獲知研究區(qū)內(nèi)任一點(diǎn)即要獲知研究區(qū)內(nèi)任一點(diǎn)x處隨機(jī)變量處隨機(jī)變量Z(x)的概率分布。的概率分布。還會碰到采樣數(shù)據(jù)中存在特異值的問題。還會碰到

19、采樣數(shù)據(jù)中存在特異值的問題。（特異值是指那些比全部數(shù)值的均值特異值是指那些比全部數(shù)值的均值或中位數(shù)高的多的數(shù)值，其既非分析誤差所致，也非采樣方法等人為誤差引起或中位數(shù)高的多的數(shù)值，其既非分析誤差所致，也非采樣方法等人為誤差引起，而是實(shí)際存在于所研究的總體之中，而是實(shí)際存在于所研究的總體之中）。指示克立格法就是為解決上述問題而發(fā)展起來的一種非參數(shù)地統(tǒng)計(jì)學(xué)方法。指示克立格法就是為解決上述問題而發(fā)展起來的一種非參數(shù)地統(tǒng)計(jì)學(xué)方法。指示克立格法不必去掉重要而實(shí)際存在的高值數(shù)據(jù)的條件下處理各種不同現(xiàn)象指示克立格法不必去掉重要而實(shí)際存在的高值數(shù)據(jù)的條件下處理各種不同現(xiàn)象，并能夠給出某點(diǎn)，并能夠給出某點(diǎn)x處隨

20、機(jī)變量處隨機(jī)變量Z(x)的概率分布。的概率分布。設(shè)一區(qū)域化變量Z(x)，對于任意給定的閾值z，引入指示函數(shù)I(x, z)，表達(dá)式如下：指示克立格法步驟如下：（1）確定一閾值，根據(jù)指示函數(shù)將原數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為0或1；（2）利用轉(zhuǎn)換的數(shù)據(jù)計(jì)算指示變異函數(shù)，并進(jìn)行擬合；（3）建立指示克立格方程組，計(jì)算待估點(diǎn)值。若把指示函數(shù)看做一普通區(qū)域化變量，也可直接由簡單或普通克立格方法來計(jì)算待估點(diǎn)的值。若選擇多個閾值則需重復(fù)以上步驟。析取克立格法析取克立格法：假設(shè)已知任意區(qū)域化變量（假設(shè)已知任意區(qū)域化變量（Z , Z ）及（）及（Z0, Z ）二維概）二維概率分布條件下，對待估點(diǎn)的值或待估點(diǎn)值超過給定閾值的概率進(jìn)行估

21、計(jì)率分布條件下，對待估點(diǎn)的值或待估點(diǎn)值超過給定閾值的概率進(jìn)行估計(jì)的一種非線性地統(tǒng)計(jì)方法。的一種非線性地統(tǒng)計(jì)方法。估值步驟估值步驟：設(shè)區(qū)域化變量設(shè)區(qū)域化變量Z(x)在待估點(diǎn)在待估點(diǎn)x0周圍有周圍有n個樣點(diǎn)個樣點(diǎn)xi(i =1,2,n),其觀測其觀測 值為值為Z(xi) (i =1,2,n)，將原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)數(shù)據(jù)將原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)數(shù)據(jù)對每個新變量對每個新變量Y(xi)(i=1,2,n) 計(jì)算埃爾米特多項(xiàng)式的值。計(jì)算埃爾米特多項(xiàng)式的值。計(jì)算埃爾米特多項(xiàng)式系數(shù)，用埃爾米特多項(xiàng)式來擬合正態(tài)變形函數(shù)。計(jì)算埃爾米特多項(xiàng)式系數(shù)，用埃爾米特多項(xiàng)式來擬合正態(tài)變形函數(shù)。計(jì)算待估點(diǎn)析取克立格值計(jì)算待估點(diǎn)

22、析取克立格值1、協(xié)同區(qū)域化變量理論協(xié)同區(qū)域化變量理論協(xié)同克立格法協(xié)同克立格法：是多元地統(tǒng)計(jì)學(xué)研是多元地統(tǒng)計(jì)學(xué)研究的基本方法，建立在協(xié)同區(qū)域化究的基本方法，建立在協(xié)同區(qū)域化變量理論基礎(chǔ)之上，利用多個區(qū)域變量理論基礎(chǔ)之上，利用多個區(qū)域化變量之間的互相關(guān)性，通過建立化變量之間的互相關(guān)性，通過建立交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)模交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)模型型，用易于觀測和控制的變量對不用易于觀測和控制的變量對不易觀測的變量進(jìn)行局部估計(jì)。易觀測的變量進(jìn)行局部估計(jì)。協(xié)同區(qū)域化：協(xié)同區(qū)域化：在統(tǒng)計(jì)意義及空間在統(tǒng)計(jì)意義及空間位置上均具有某種程度相關(guān)性，并位置上均具有某種程度相關(guān)性，并且定義于同一空間域中的區(qū)

23、域化變且定義于同一空間域中的區(qū)域化變量。量。協(xié)同區(qū)域化變量可用一組K個相關(guān)的區(qū)域化變量 表示。觀測前它是K維區(qū)域化變量的向量，即一個隨機(jī)場，觀測后，協(xié)同區(qū)域化變量是一個空間點(diǎn)函數(shù)，可以把 看成是上述K維向量的一個實(shí)現(xiàn)。滿足二階平穩(wěn)假設(shè)的協(xié)同區(qū)域化變量應(yīng)滿足二階平穩(wěn)假設(shè)的協(xié)同區(qū)域化變量應(yīng)滿足：滿足：（1）每一個協(xié)同區(qū)域化變量的數(shù)學(xué)期望存在且平穩(wěn)：（2）交叉協(xié)方差函數(shù)存在，且平穩(wěn)：滿足內(nèi)蘊(yùn)假設(shè)的協(xié)同區(qū)域化變量應(yīng)滿足內(nèi)蘊(yùn)假設(shè)的協(xié)同區(qū)域化變量應(yīng)滿足：滿足：（1）每一個協(xié)同區(qū)域化變量增量的數(shù)學(xué)期望為0：（2）對于協(xié)同區(qū)域化變量，交叉變異函數(shù)存在且平穩(wěn)。即（1）交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)性質(zhì)交叉協(xié)方差函

24、數(shù)和交叉變異函數(shù)性質(zhì)1)當(dāng)當(dāng)k=k 時(shí)，交叉協(xié)方差函數(shù)轉(zhuǎn)化為協(xié)方差函數(shù)，交叉變異函數(shù)轉(zhuǎn)化為變異函時(shí)，交叉協(xié)方差函數(shù)轉(zhuǎn)化為協(xié)方差函數(shù)，交叉變異函數(shù)轉(zhuǎn)化為變異函數(shù)。即數(shù)。即2)交叉變異函數(shù)性質(zhì)交叉變異函數(shù)性質(zhì) 交叉變異函數(shù)關(guān)于交叉變異函數(shù)關(guān)于k和和k 對稱，對稱，即即 交叉變異函數(shù)關(guān)于交叉變異函數(shù)關(guān)于h和和-h對稱，即對稱，即 在普通克立格法中變異函數(shù)總是大于等于在普通克立格法中變異函數(shù)總是大于等于0，但交叉變異函數(shù)可以有負(fù)值。，但交叉變異函數(shù)可以有負(fù)值。3)交叉交叉協(xié)方差協(xié)方差函數(shù)函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)交叉協(xié)方差函數(shù)交叉協(xié)方差函數(shù)關(guān)于關(guān)于h和和-h不對稱不對稱，即即 ，但，但 當(dāng)當(dāng)h0 時(shí)時(shí)， k和和k

25、順序順序不能隨意顛倒，不能隨意顛倒，即即當(dāng)當(dāng)h=0 時(shí)時(shí)，交叉，交叉協(xié)方差轉(zhuǎn)化為直接協(xié)方差協(xié)方差轉(zhuǎn)化為直接協(xié)方差。4）交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)具有以下關(guān)系：5）同一點(diǎn)兩個變量點(diǎn)對點(diǎn)協(xié)同區(qū)域化變量的相關(guān)系數(shù)為：（2）交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)計(jì)算公式交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)計(jì)算公式設(shè)在點(diǎn)x和x+h處，分別測得兩個區(qū)域化變量的觀測值 Zk(x)、Zk(x) 、 Zk(x+h)、Zk(x+h) ，則交叉協(xié)方差函數(shù)計(jì)算公式為:交叉變異函數(shù)計(jì)算公式為：（3）交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)計(jì)算示例交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)計(jì)算示例采用表5 1、圖5 1所示的氣溫和海拔高度數(shù)據(jù)，以h=0,h1,4

26、為例，交叉協(xié)方差和交叉變異計(jì)算過程如下：（1）協(xié)同克立協(xié)同克立金金估計(jì)量估計(jì)量1)無偏性條件2)最優(yōu)性條件 對對F求偏導(dǎo)數(shù)并令其為零，得協(xié)同克立格線性方程組：求偏導(dǎo)數(shù)并令其為零，得協(xié)同克立格線性方程組：根據(jù)協(xié)同克立格方程組，協(xié)同克立格方差為：根據(jù)協(xié)同克立格方程組，協(xié)同克立格方差為：若有多個變量，則求解若有多個變量，則求解 的協(xié)同克立格方程組為：的協(xié)同克立格方程組為：協(xié)同克立格方差為：協(xié)同克立格方差為：要使協(xié)同克立格方程組具有唯一解的條件是：要使協(xié)同克立格方程組具有唯一解的條件是：設(shè)某一區(qū)域有兩個協(xié)同區(qū)域化變量：氣溫設(shè)某一區(qū)域有兩個協(xié)同區(qū)域化變量：氣溫u、海拔高程、海拔高程v，均滿足二階平穩(wěn)假，均滿足二階平穩(wěn)假設(shè)和內(nèi)蘊(yùn)假設(shè)，其中氣溫是所要估計(jì)的主變量。現(xiàn)在估計(jì)鄰域內(nèi)共有設(shè)和內(nèi)蘊(yùn)假設(shè)，其中氣溫是所要估計(jì)的主變量。現(xiàn)在估計(jì)鄰域內(nèi)共有5個信息個信息樣品，如圖樣品，如圖5 1所示。假定所示。假定1、2、3號點(diǎn)上有氣溫值，而號點(diǎn)上有氣溫值，而5個點(diǎn)上均有次要變個點(diǎn)上均有次要變量海拔高程值，數(shù)據(jù)如表量海拔高程值，數(shù)據(jù)如表5 6所示?，F(xiàn)擬利用協(xié)同克立格法估計(jì)所示。現(xiàn)擬利用協(xié)同克立格法估計(jì)0號點(diǎn)的氣號點(diǎn)的氣溫值。溫值。估值過程中，氣溫協(xié)方差估值過程中，氣溫協(xié)方差C(ui,uj)根據(jù)簡單克立根據(jù)簡單克立金金法計(jì)算示例的球狀模型法計(jì)算示例的球狀模型計(jì)算，海拔高程協(xié)方差計(jì)算，海拔高程協(xié)