上海高二數(shù)學(xué)矩陣及其運(yùn)算

1、矩陣及其運(yùn)算23324123m32441 n矩陣的概念5121281 、形如 1 、3638363232128m14 2 這樣的矩形數(shù)表叫做矩陣n4稱為 行向量 ； 垂直方向排列的2、 在矩陣中，水平方向排列的數(shù)組成的向量a1,a2,b1數(shù)組成的向量b2稱為列向量；由m個行向量與n個列向量組成的矩陣稱為m n階bn矩陣，m n階矩陣可記做Amn,如矩陣1為2 1階矩陣，可記做A21；矩陣351 21 2836 38 36為3 3階矩陣，可記做A3 3。有時矩陣也可用A、B等字母表示。23 21 283、矩陣中的每一個數(shù)叫做矩陣的 元素，在一個m n階矩陣Amn中的第i （i m）行第51 21

2、 28j （ j n ）列數(shù)可用字母aij 表示，如矩陣36 38 36 第 3 行第 2 個數(shù)為a32 21 。23 21 284、 當(dāng)一個矩陣中所有元素均為0 時， 我們稱這個矩陣為零矩陣 。 如 0 0 0 為一個 2 3000階零矩陣。5、 當(dāng)一個矩陣的行數(shù)與列數(shù)相等時，這個矩陣稱為方矩陣 ， 簡稱 方陣 ， 一個方陣有n51 21 282 3 m行 （列）， 可稱此方陣為n 階方陣 ， 如矩陣 36 38 36 、32 4 均為三階方陣。23 21 284 1n在一個n階方陣中，從左上角到右下角所有元素組成對角線，如果其對角線的元素均為1,其余元素均為零的方陣，叫做單位矩陣。如矩陣0

3、 0為2階單位矩陣,1矩陣000 01 0為3階單位矩陣。0 16、如果矩陣A與矩陣B的行數(shù)和列數(shù)分別相等，那么A與B叫做同階矩陣；如果矩陣A與矩陣B是同階矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)它們對應(yīng)位置的元素都相等時，那么矩陣A與矩陣B叫做相等的矩陣，記為A Bo7、對于方程組2x3x4x3y mz 12y 4z 2中未知數(shù)x,y,z的系數(shù)按原來的次序排列所得的矩陣 y nz 4我們叫做方程組的2系數(shù)矩陣；而矩陣3412叫做方程組的增4廣矩陣應(yīng)用舉例:例1、已知矩陣2x a 2b，B2a t2 且 A B , y求a、b的值及矩陣A。例2、寫出下列線性方程組的增廣矩陣:“、2x 3y 1“、4x y 6；x 2y

4、 3z 2x 3y 2z 52x y z例3、已知線性方程組的增廣矩陣,寫出其對應(yīng)的方程組:（1）21 245例4、已知矩陣sinsincoscos為單位矩陣，且，-的值。矩陣的基本變換:（ 1 ）互換矩陣的兩行或兩列；（ 2）把某一行同乘（除）以一個非零的數(shù)；（ 3）某一行乘以一個數(shù)加到另一行。顯然， 通過以上三個基本變換，可將線性方程組的系數(shù)矩陣變成單位矩陣，這時增廣矩陣的最后一個列向量給出了方程組的解。應(yīng)用舉例：4x 3y z 5例 1、用矩陣變換的方法解三元一次方程組7x 2y z 4 的解。5x 2y 3z 8例2、運(yùn)用矩陣變換方法解方程組：ax 3y 2 （a、b為常數(shù)）2x y

5、b課堂練習(xí)：用矩陣變換方法解下列問題：（ 1 ）若方程組x y 2的解 x 與 y 相等，求k 的值。（k 1）x （k 1）y 43x 2y z 0（ 3）解方程組：x y 2z 55x 7y 8z 1矩陣運(yùn)算（對從實(shí)際問題中抽象出來的矩陣，我們經(jīng)常將幾個矩陣聯(lián)系起來，討論它們是否相等，它們在什么條件下可以進(jìn)行何種運(yùn)算，這些運(yùn)算具有什么性質(zhì)等問題，這是下面所要討論的主要內(nèi)容. ）1 相等定義 如果兩個矩陣A aij， Bbij滿足：j mnjsp（1） 行、列數(shù)相同，即m s, n p；（2）對應(yīng)元素相等，即 aij =bj （i =1,2,，m； j=1,2,，n）,則稱矩陣A與矩陣B相等

6、，記作A=Bm n 矩陣相等，等價于元素之間的m n 個等式 . ）例如，矩陣A=a11a21a12a22a13 ，B=3 0a232 1那么A=B,當(dāng)且僅當(dāng)a11 =3， a12 =0，a13=-5 ， a21=-2 ，a22=1， a23=4C=c11c21c12c22因?yàn)锽, C這兩個矩陣的列數(shù)不同，所以無論矩陣C中的元素Cii, C12, C21, C22取什么數(shù)都不會與矩陣B相等.2 加法定義設(shè) A aij ， Bbij是兩個 m n 矩陣，則稱矩陣mnspa11b11a12b12a1nb1nC=a21b21a22b22a2nb2nam1bm1am2bm2amnbmn為A與B的和，記

7、作C=A+B= aij bij（由定義可知，只有行數(shù)、列數(shù)分別相同的兩個矩陣，才能作加法運(yùn)算. ）同樣，我們可以定義矩陣的減法：D=A-B=A+（- B）= aij bij稱 D 為 A 與 B 的差 .例 1 設(shè)矩陣A=320514，B=023341，求A+B，A- B.(0, 2)，(-, )，求 sin的值。22,0，ctan tan例 2、矩陣 A cos cos0，B 0tan1tan矩陣加法滿足的運(yùn)算規(guī)則是什么 設(shè)A B C。都是m n矩陣，不難驗(yàn)證矩陣的加法滿足以下運(yùn)算規(guī)則1 .加法交換律：A+B=B+A;2 .加法結(jié)合律：(A+B)+ C=A+(C);3 .零矩陣滿足：A+OA

8、;4 .存在矩陣-A，滿足：AA=A+(-A)=O3.數(shù)乘定義設(shè)矩陣A ajmn，為任意實(shí)數(shù)，則稱矩陣C Cjmn為數(shù) 與矩陣A的數(shù)乘，其 中 Cjaj (i 1,2, ,m; j 1,2, n)，記為C= A(由定義可知，數(shù) 乘一個矩陣A，需要用數(shù) 去乘矩陣A的每一個元素.特別地，當(dāng) =-1時，A=-A，得到A的負(fù)矩陣.)31 7例3設(shè)矩陣A= 4 0 5，用2去乘矩陣A，求2A.260數(shù)乘矩陣滿足的運(yùn)算規(guī)則是什么對數(shù)k, l和矩陣A= a。，B=. 滿足以下運(yùn)算規(guī)則:j m n /j m n1 .數(shù)對矩陣的分配律：k(A+B)=kA+kB；2 .矩陣對數(shù)的分配律：(k+l) A=kA+lA

9、 ；3 .數(shù)與矩陣的結(jié)合律：(kl )A=k(lA)=l (kA);4 .數(shù)1與矩陣滿足：1A=A3例 4 設(shè)矩陣A= 51240 ， B= 86132 ，求3A-2 B.74乘法矩陣乘積的定義設(shè)A=aij 是一個 m s 矩陣，B=bij 是一個 s n 矩陣 ， 則稱 m n 矩陣C=Cij為矩陣A與B的乘積，記作C=AB其中Cj =abj+ai2b2j+s+aisbsj =aikbkj (i =1,2, , mi j =1,2,，n).k1(由矩陣乘積的定義可知：)(1)只有當(dāng)左矩陣A的列數(shù)等于右矩陣B的行數(shù)時，AB才能作乘法運(yùn)算AB(2)兩個矩陣的乘積AB亦是矩陣，它的行數(shù)等于左矩陣A

10、的行數(shù)，它的列數(shù)等于右矩陣 B 的列數(shù)；(3)乘積矩陣AB中的第i行第j列的元素等于A的第i行元素與B的第j列對應(yīng)元素的乘積之和，故簡稱行乘列的法則2例 6 設(shè)矩陣A= 4310 ， B= 98 ，計算AB.7 105例 7設(shè)矩陣A=12 42， B= 212 ,求AB和BA1由例6、例7可知，當(dāng)乘積矩陣AB有意義時，BA不一定有意義；即使乘積矩陣 AB和 BA有意義時，AB和BA也不一定相等.因此，矩陣乘法不滿足交換律，在以后進(jìn)行矩 陣乘法時，一定要注意乘法的次序，不能隨意改變.在例6中矩陣A和B都是非零矩陣(A OB Q，但是矩陣A和B的乘積矩陣AB是一 個零矩陣(ABQ ,即兩個非零矩陣

11、的乘積可能是零矩陣.因此，當(dāng)AB=Q不能得出 A和B中至少有一個是零矩陣的結(jié)論.一般地，當(dāng)乘積矩陣ABAC且A。時，不能消去矩陣A,而彳#到B=C這說明矩陣乘法也不滿足消去律.那么矩陣乘法滿足哪些運(yùn)算規(guī)則呢矩陣乘法滿足下列運(yùn)算規(guī)則:1 .乘法結(jié)合律：(AB C=A (BC ；(1)(a a2 Lan) b ；(2)bna2Lan(hbn)。例9、已知矩陣A f(x) , B x 1 x , C2a，若人=8。求函數(shù)f(x)在1,2上的2 .左乘分配律：A (B+Q =AB+AC最小值.例10:將下列線性方程組寫成矩陣乘法的形式2x y 3z 12x y 1(1)；(2) 4x 2y 3z 1。

12、4x 3y 72x y 4z 1例11：若AB BA,矩陣B就稱為與A可變換，設(shè)A0* 1 ,求所有與a可交換的矩陣B。課堂練習(xí)與課后作業(yè)、選擇題1、“兩個矩陣的行數(shù)和列數(shù)相等”是“兩個矩陣相等”的（）A、充分不必'要條件B、必要不充分條件是G充要條件D既不充分又不必要條件2、用矩陣與向量的乘法的形式表示方程組力：2其中正確的是（）2 c 21 xB、132 y143、若A20 ,且2A 3X B ,則矩陣X534、點(diǎn)A （1, 2）在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是 5、已知00a是一個正三角形的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)所組成的矩陣，那么 a+b=. 0 2b6、若點(diǎn)A（也,魚）在矩陣cos

13、 sin對應(yīng)的變換作用下得到的點(diǎn)為（1, 0）,那么 22sin cos7、若點(diǎn)A在矩陣A的坐標(biāo)2對應(yīng)的變換作用下下得到的點(diǎn)為（2, 4）,那么點(diǎn)2為.8、已知Acos1sincossin1,B <2 若 A=B 那么 + B .219、設(shè)A為二階矩陣，其元素滿足,a。 aji 0i=1 , 2, j=1 , 2,且 a偌 a21 2,那么矩陣A=.1 u ,且 A B ,那么 A+AB= v 311、一個線性方程組滿足，系數(shù)矩陣為單位矩陣，解為 1行3列的矩陣（1,2, 1）,那么 該線性方程組為。12、計算:若矩陣Acos60sin60sin60，B cos6032 ，貝 U AB1213、計算:3 4 25 4 6 二.2 2 114.線性方程組x y 6 0對應(yīng)的系數(shù)矩陣是 ,增廣矩陣是3x 5y 4 0215、已知矩陣 A 1 , B ( 1,2), C 3 0 ,則(AB)C.1 23二、簡答題1 .已知A 1 0 ,分別計算A2、A3 ,猜測An(n 2, n N*);2 .將下列線性方程組寫成矩陣形式，并用矩陣變換的方法求解3x 2y 11 02x