高中數(shù)學必修4教案三角恒等變換Word版

1、第三章 三角恒等變換本章教材分析本章知識框圖 本章學習的主要內(nèi)容是兩角和與差的正弦、余弦和正切公式,以及運用這些公式進行簡單的恒等變換.變換是數(shù)學的重要工具,也是數(shù)學學習的主要對象之一.在本冊第一章,學生接觸了同角三角函數(shù)公式.在本章,學生將運用向量方法推導兩角差的余弦公式,由此出發(fā)導出其他的三角變換公式,并運用這些公式進行簡單的三角恒等變換.三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學變換的結(jié)合點上.通過本章學習,使學生在學習三角恒等變換的基本思想和方法的過程中,發(fā)展推理能力和運算能力,并體會三角恒等變換的工具性作用,學會它們在數(shù)學中的一些應用. 本章內(nèi)容安排按兩條線進行,一條明線是建立公式,學習變換;一

2、條暗線就是發(fā)展推理能力和運算能力,并且發(fā)展能力的要求不僅僅體現(xiàn)在學習變換過程之中,也體現(xiàn)在建立公式的過程之中.因此在本章教學中,教師要特別注意恰時恰點地提出問題,引導學生用對比、了解、化歸的觀點去分析、處理問題,使學生能依據(jù)三角函數(shù)式的特點,逐漸明確三角函數(shù)恒等變換不僅包括式子的結(jié)構形式變換,還包括式子中角的變換,以及不同三角函數(shù)之間的變換,強化運用數(shù)學思想方法指導設計變換思路的意識. 突出數(shù)學思想方法的教學,在類比、推廣、特殊化等一般邏輯思考方法上進行引導,本章不僅關注使學生得到和(差)角公式,而且還特別關注公式推導過程中體現(xiàn)的數(shù)學思想方法.例如,在兩角差的余弦公式這一關鍵性問題的解決中體現(xiàn)

3、了數(shù)形結(jié)合思想以及向量方法的應用;從兩角差的余弦公式推出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,在這個過程中,始終引導學生體會化歸思想;在應用公式進行恒等變換的過程中,滲透了觀察、類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法,特別是充分發(fā)揮了“觀察”“思考”“探究”等欄目的作用,對學生解決問題的一般思路進行引導,這對學生養(yǎng)成科學的數(shù)學思考習慣能起到積極的促進作用.另外,還在適當?shù)臅r候?qū)θ亲儞Q中的數(shù)學思想方法作了明確的總結(jié).例如,在旁白中有“倍是描述兩個數(shù)量之間關系的,2是的二倍,4是2的二倍,這里蘊含著換元的思想”等,都是為了加強思想方法而設置的. 兩角和與差的正弦、余弦、正切

4、公式和二倍角公式是歷屆高考考查的“重點”和“熱點”,在高考中占有重要的地位,主要考查對這十一個公式的正用、逆用、變形用,考查對公式的熟練掌握程度和靈活運用能力,其考查難度屬低檔,這就要求我們不要過分引導學生去挖掘一些特殊的變化技巧,應把主要精力放在學生掌握數(shù)學規(guī)律和通性通法上. 教師在教學中,要注意控制好難度.因為近幾年的高考中對三角部分的考查難度降低,但教材中部分習題卻有一定難度,因此教師要把握好難度.本章教學時間約需8課時,具體分配如下(僅供參考):節(jié) 次標 題課 時3.1.1兩角差的余弦公式1課時3.1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式2課時3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式1課時

5、3.2簡單的三角恒等變換2課時本章復習2課時3.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 兩角差的余弦公式整體設計教學分析 本節(jié)是以一個實際問題做引子,目的在于從中提出問題,引入本章的研究課題.在用方程的思想分析題意,用解直角三角形的知識布列方程的過程中,提出了兩個問題:實際問題中存在研究像tan(45+)這樣的包含兩個角的三角函數(shù)的需要;實際問題中存在研究像sin與tan(45+)這樣的包含兩角和的三角函數(shù)與、45單角的三角函數(shù)的關系的需要.以實例引入課題也有利于體現(xiàn)數(shù)學與實際問題的了解,增強學生的應用意識,激發(fā)學生學習的積極性,同時也讓學生體會數(shù)學知識產(chǎn)生、發(fā)展的過程. 本節(jié)首先引導

6、學生對cos(-)的結(jié)果進行探究,讓學生充分發(fā)揮想象力,進行猜想,給出所有可能的結(jié)果,然后再去驗證其真假.這也展示了數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展的具體過程,最后提出了兩種推導證明“兩角差的余弦公式”的方案.方案一,利用單位圓上的三角函數(shù)線進行探索、推導,讓學生動手畫圖,構造出-角,利用學過的三角函數(shù)知識探索存在一定的難度,教師要作恰當?shù)囊龑?方案二,利用向量知識探索兩角差的余弦公式時,要注意推導的層次性:在回顧求角的余弦有哪些方法時,了解向量知識,體會向量方法的作用;結(jié)合有關圖形,完成運用向量方法推導公式的必要準備;探索過程不應追求一步到位,應先不去理會其中的細節(jié),抓住主要問題及其線索進行探索,然后再

7、反思,予以完善;補充完善的過程,既要運用分類討論的思想,又要用到誘導公式. 本節(jié)是數(shù)學公式的教學,教師要遵循公式教學的規(guī)律,應注意以下幾方面:要使學生了解公式的由來;使學生認識公式的結(jié)構特征,加以記憶;使學生掌握公式的推導和證明;通過例子使學生熟悉公式的應用,靈活運用公式進行解答有關問題.三維目標1.通過讓學生探索、猜想、發(fā)現(xiàn)并推導“兩角差的余弦公式”,了解單角與復角的三角函數(shù)之間的內(nèi)在了解,并通過強化題目的訓練,加深對兩角差的余弦公式的理解,培養(yǎng)學生的運算能力及邏輯推理能力,提高學生的數(shù)學素質(zhì).2.通過兩角差的余弦公式的運用,會進行簡單的求值、化簡、證明,體會化歸思想在數(shù)學當中的運用,使學生

8、進一步掌握了解的觀點,自覺地利用了解變化的觀點來分析問題,提高學生分析問題、解決問題的能力.3.通過本節(jié)的學習,使學生體會探究的樂趣,認識到世間萬物的了解與轉(zhuǎn)化,養(yǎng)成用辯證與了解的觀點看問題.創(chuàng)設問題情境,激發(fā)學生分析、探求的學習態(tài)度,強化學生的參與意識,從而培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力和代換、演繹、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法.重點難點教學重點:通過探究得到兩角差的余弦公式.教學難點:探索過程的組織和適當引導.課時安排1課時教學過程導入新課思路1.(問題導入)播放多媒體,出示問題,讓學生認真閱讀課本引例.在用方程的思想分析題意,用解直角三角形的知識布列方程的過程中,提出了兩個問題:實際問題中存

9、在研究像tan(45+)這樣的包含兩個角的三角函數(shù)的需要;實際問題中存在研究像sin與tan(45+)這樣的包含兩角和的三角函數(shù)與、45單角的三角函數(shù)的關系的需要.在此基礎上,再一般化而提出本節(jié)的研究課題進入新課. 思路2.(復習導入)我們在初中時就知道cos45=,cos30=,由此我們能否得到cos15=cos(45-30)=?這里是不是等于cos45-cos30呢？教師可讓學生驗證,經(jīng)過驗證可知,我們的猜想是錯誤的.那么究竟是個什么關系呢？cos(-)等于什么呢？這時學生急于知道答案,由此展開新課:我們就一起來探討“兩角差的余弦公式”.這是全章公式的基礎.推進新課新知探究提出問題請學生猜

10、想cos(-)=?利用前面學過的單位圓上的三角函數(shù)線,如何用、的三角函數(shù)來表示cos(-)呢？利用向量的知識,又能如何推導發(fā)現(xiàn)cos(-)=?細心觀察C(-)公式的結(jié)構,它有哪些特征？其中、角的取值范圍如何？如何正用、逆用、靈活運用C(-)公式進行求值計算？ 活動:問題,出示問題后,教師讓學生充分發(fā)揮想象能力嘗試一下,大膽猜想,有的同學可能就首先想到cos(-)=cos-cos的結(jié)論,此時教師適當?shù)狞c撥,然后讓學生由特殊角來驗證它的正確性.如=60,=30,則cos(-)=cos30=,而cos-cos=cos60-cos30=,這一反例足以說明cos(-)cos-cos. 讓學生明白,要想說

11、明猜想正確,需進行嚴格證明,而要想說明猜想錯誤,只需一個反例即可. 問題,既然cos(-)cos-cos,那么cos(-)究竟等于什么呢？由于這里涉及的是三角函數(shù)的問題,是-這個角的余弦問題,我們能否利用單位圓上的三角函數(shù)線來探究呢？圖1如圖1,設角的終邊與單位圓的交點為P1,POP1=,則POx=-.過點P作PM垂直于x軸,垂足為M,那么OM就是角-的余弦線,即OM=cos(-),這里就是要用角、的正弦線、余弦線來表示OM.過點P作PA垂直于OP1,垂足為A,過點A作AB垂直于x軸,垂足為B,過點P作PC垂直于AB,垂足為C.那么,OA表示cos,AP表示sin,并且PAC=P1Ox=.于是

12、,OM=OB+BM=OB+CP=OAcosa+APsina=coscos+sinsin,所以,cos(-)=coscos+sinsin. 教師引導學生進一步思考,以上的推理過程中,角、-是有條件限制的,即、-均為銳角,且,如果要說明此結(jié)果是否對任意角、都成立,還要做不少推廣工作,并且這項推廣工作的過程比較繁瑣,由同學們課后動手試一試.圖2 問題,教師引導學生,可否利用剛學過的向量知識來探究這個問題呢?如圖2,在平面直角坐標系xOy內(nèi)作單位圓O,以Ox為始邊作角、,它們的終邊與單位圓O的交點分別為A、B,則=(cos,sin),=(cos,sin),AOB=-. 由向量數(shù)量積的定義有=|cos(

13、-)=cos(-), 由向量數(shù)量積的坐標表示有 =(cos,sin)(cos,sin)=coscos+sinsin, 于是,cos(-)=coscos+sinsin. 我們發(fā)現(xiàn),運用向量工具進行探究推導,過程相當簡潔,但在向量數(shù)量積的概念中,角-必須符合條件0-,以上結(jié)論才正確,由于、都是任意角,-也是任意角,因此就是研究當-是任意角時,以上公式是否正確的問題.當-是任意角時,由誘導公式,總可以找到一個角0,2),使cos=cos(-),若0,則=cos=cos(-).若,2,則2-0,且=cos(2-)=cos=cos(-).由此可知,對于任意角、都有cos(-)=coscos+sinsin

14、(C(-) 此公式給出了任意角、的正弦、余弦值與其差角-的余弦值之間的關系,稱為差角的余弦公式,簡記為C(-).有了公式C(-)以后,我們只要知道cos、cos、sin、sin的值,就可以求得cos(-)的值了. 問題,教師引導學生細心觀察公式C(-)的結(jié)構特征,讓學生自己發(fā)現(xiàn)公式左邊是“兩角差的余弦”,右邊是“這兩角的余弦積與正弦積的和”,可讓學生結(jié)合推導過程及結(jié)構特征進行記憶,特別是運算符號,左“-”右“+”.或讓學生進行簡單填空,如:cos(A-B)=_,cos(-)=_等.因此,只要知道了sin、cos、sin、cos的值就可以求得cos(-)的值了. 問題,對于公式的正用是比較容易的

15、,關鍵在于“拆角”的技巧,而公式的逆用則需要學生的逆向思維的靈活性,特別是變形應用,這就需要學生具有較強的觀察能力和熟練的運算技巧.如cos75cos45+sin75sin45=cos(75-45)=cos30=,cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin.討論結(jié)果:略.應用示例思路1例1 利用差角余弦公式求cos15的值. 活動:先讓學生自己探究,對有困難的學生教師可點撥學生思考題目中的角15,它可以拆分為哪些特殊角的差,如15=45-30或者15=60-45,從而就可以直接套用公式C(-)計算求值.教師不要包辦,充分讓學生自己獨立完成,在學生的具體操作下,體會公式的結(jié)構

16、,公式的用法以及把未知轉(zhuǎn)化為已知的數(shù)學思想方法.對于很快就完成的同學,教師鼓勵其換個角度繼續(xù)探究.解:方法一:cos15=cos(45-30)=cos45cos30sin45sin30=方法二:cos15=cos(60-45)=cos60cos45sin60sin45= 點評:本題是指定方法求cos15的值,屬于套用公式型的,這樣可以使學生把注意力集中到使用公式求值上.但是仍然需要學生將這個非特殊角拆分成兩個特殊角的差的形式,靈活運用公式求值.本例也說明了差角余弦公式也適用于形式上不是差角,但可以拆分成兩角差的情形.至于如何拆分,讓學生在應用中仔細體會.變式訓練1.不查表求sin75,sin1

17、5的值.解:sin75=cos15=cos(45-30)=cos45cos30sin45sin30=sin15=點評:本題是例題的變式,比例題有一定的難度,但學生只要細心分析,利用相關的誘導公式,不難得到上面的解答方法.2.不查表求值:cos110cos20sin110sin20.解:原式=cos(110-20)=cos90=0.點評:此題學生一看就有似曾相識而又無從下手的感覺,需要教師加以引導,讓學生細心觀察,再結(jié)合公式C(-)的右邊的特征,逆用公式便可得到cos(110-20).這就是公式逆用的典例,從而培養(yǎng)了學生思維的靈活性.例2 已知sin=,(,),cos=,是第三象限角,求cos(

18、-)的值. 活動:教師引導學生觀察題目的結(jié)構特征,聯(lián)想到剛剛推導的余弦公式,學生不難發(fā)現(xiàn),欲求cos(-)的值,必先知道sin、cos、sin、cos的值,然后利用公式C(-)即可求解.從已知條件看,還少cos與sin的值,根據(jù)誘導公式不難求出,但是這里必須讓學生注意利用同角的平方和關系式時,角、所在的象限,準確判斷它們的三角函數(shù)值的符號.本例可由學生自己獨立完成.解:由sin=,(,),得cos=又由cos=,是第三象限角,得sin=所以cos(-)=coscos+sinsin= 點評:本題是直接運用公式C(-)求值的基礎練習,但必須思考使用公式前應作出的必要準備.特別是運用同角三角函數(shù)平方

19、關系式求值時,一定要弄清角的范圍,準確判斷三角函數(shù)值的符號.教師可提醒學生注意這點,養(yǎng)成良好的學習習慣.變式訓練已知sin=,(0,),cos=,是第三象限角,求cos(-)的值.解:當,)時,且sin=,得cos=,又由cos=,是第三象限角,得sin=.所以cos(-)=coscos+sinsin=.當(0,)時,且sin=,得cos=,又由cos=,是第三象限角,得sin=所以cos(-)=coscos+sinsin= 點評:本題與例2的顯著的不同點就是角的范圍不同.由于(0,),這樣cos的符號可正、可負,需討論,教師引導學生運用分類討論的思想,對角進行分類討論,從而培養(yǎng)學生思維的嚴密

20、性和邏輯的條理性.教師強調(diào)分類時要不重不漏.思路2例1 計算:(1)cos(-15);(2)cos15cos105sin15sin105;(3)sinxsin(x+y)cosxcos(x+y). 活動:教師可以大膽放給學生自己探究,點撥學生分析題目中的角-15,思考它可以拆分為哪些特殊角的差,如-15=15-30或-15=45-60,然后套用公式求值即可.也可化cos(-15)=cos15再求值.讓學生細心觀察(2)(3)可知,其形式與公式C(-)的右邊一致,從而化為特殊角的余弦函數(shù).解:(1)原式=cos15=cos(45-30)=cos45cos30sin45sin30=(2)原式=cos

21、(15-105)=cos(-90)=cos90=0.(3)原式=cosx-(x+y)=cos(-y)=cosy. 點評:本例重點是訓練學生靈活運用兩角差的余弦公式進行計算求值,從不同角度培養(yǎng)學生正用、逆用、變形用公式解決問題的能力,為后面公式的學習打下牢固的基礎.例2 已知cos=,cos(+)=,且、(0, ),求cos的值. 活動:教師引導學生觀察題目中的條件與所求,讓學生探究、+、之間的關系,也就是尋找已知條件中的角與所求角的關系.學生通過探究、討論不難得到=(+)-的關系式,然后利用公式C(-)求值即可.但還應提醒學生注意由、的取值范圍求出+的取值范圍,這是很關鍵的一點,從而判斷sin

22、(+)的符號進而求出cos.解:、(0,),+(0,).又cos=,cos(+)=,sin=sin(+)=又=(+)-,cos=cos(+)cos+sin(+)sin= 點評:本題相對于例1難度大有提高,但是只要引導適當,學生不難得到=(+)-的關系式,繼而運用公式解決.但值得注意的是+的取值范圍確定,也是很關鍵的,這是我們以后解題當中常見的問題.變式訓練1.求值:cos15+sin15.解:原式=cos15+sin15)=(cos45cos15+sin45sin15)=cos(45-15)= cos30=.2.已知sin+sin=,cos+cos=,求cos(-)的值.解:(sin+sin)

23、2=()2,(cos+cos)2=()2,以上兩式展開兩邊分別相加得2+2cos(-)=1,cos(-)=. 點評:本題又是公式C(-)的典型應用,解決問題的關鍵就是將已知中的兩個和式兩邊平方,從而得到公式C(-)中coscos和sinsin的值,即可求得cos(-)的值,本題培養(yǎng)了學生綜合運用三角函數(shù)公式解決問題的能力.3.已知銳角、滿足cos=,tan(-)=,求cos.解:為銳角,且cos=,得sin=.又0,0,-.又tan(-)= 0,cos(-)=.從而sin(-)=tan(-)cos(-)=.cos=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=.知能訓練課本本節(jié)練習.解答:1.(1)cos(-)=coscos+sinsin=sin.(2)cos(2-)=cos2cos+sin2sin=cos.2.3.4.課堂小結(jié)1.先由學生自己思考、回顧公式的推導過程,觀察公式的特征,特別要注意公式既可正用、逆用,還可變用及掌握