高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用Word版

1、數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用知識(shí)要點(diǎn)：1數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問(wèn)題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷。2所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：（1）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（2）函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（3）曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（4）以幾何元素和幾何條件為背景建立起來(lái)的概念，如三角函數(shù)等；（5）所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。如等式。3縱觀多年來(lái)的高考試題，巧

2、妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”。4數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見(jiàn)的如在解方程和解不等式問(wèn)題中，在求函數(shù)的值域、最值問(wèn)題中，在三角函數(shù)解題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，要爭(zhēng)取胸中有圖見(jiàn)數(shù)想圖，以開(kāi)拓自己的思維視野?？键c(diǎn)一：利用數(shù)形結(jié)合的方法解決有關(guān)方程和不等式問(wèn)題：【例題分析】 例1. 若關(guān)于的方程的兩根都在區(qū)間(1，3）內(nèi)，求的取值范圍。解：由的圖象可知，要使兩根都在區(qū)間（1，3）內(nèi)，只需，同時(shí)成立，

3、解得，故說(shuō)明：，其圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根，根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)可以得出對(duì)應(yīng)的方程情況。其他函數(shù)和方程也可以類(lèi)似得出解決的方法。 例2. 已知，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為（ ） A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)解：判斷方程的根的個(gè)數(shù)就是判斷圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)圖象，易知兩圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程有2個(gè)實(shí)根，選B。說(shuō)明：數(shù)形結(jié)合法可以解決一些既不是無(wú)理方程，也不是二次或三次方程的其他方程或不等式，也就是超越方程或者不等式。例如本例題中的方程?？键c(diǎn)二：利用數(shù)形結(jié)合法解決有關(guān)最大值最小值的問(wèn)題 例3. 如果實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（ ） A. B. C. D. 解：等式有明顯

4、的幾何意義，它表示坐標(biāo)平面上的一個(gè)圓，圓心為，半徑，（如圖），而則表示圓上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）的連線的斜率，如此一來(lái)，該問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為如下幾何問(wèn)題：動(dòng)點(diǎn)在以（2，0）為圓心，以為半徑的圓上移動(dòng)，求直線的斜率的最大值，由下圖可見(jiàn)，當(dāng)點(diǎn)在第一象限，且與圓相切時(shí)，的斜率最大，經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算，得最大值為。 例4. 已知滿足的最大值與最小值。解：對(duì)于二元函數(shù)在限定條件下求最值問(wèn)題，常采用構(gòu)造直線的截距的方法來(lái)求之。 令，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在橢圓上求一點(diǎn)，使過(guò)該點(diǎn)的直線斜率為3，且在軸上的截距最大或最小，由圖形知，當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，有最大截距與最小截距。 由，得，故的最大值為13，最小值為。例5. 求函數(shù)的值

5、域。幾何法：的形式類(lèi)似于斜率公式，表示過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率。 由于點(diǎn)在單位圓上（見(jiàn)下圖） 顯然， 設(shè)過(guò)的圓的切線方程為，則有，解得 即 函數(shù)值域?yàn)榭键c(diǎn)三：利用數(shù)形結(jié)合法解決其它問(wèn)題： 例6. 若集合，集合，且，則的取值范圍為_(kāi)。解：，顯然，表示以（0，0）為圓心，以3為半徑的圓在軸上方的部分，（如圖），而則表示一條直線，其斜率，縱截距為，由圖形易知，欲使，即是使直線與半圓有公共點(diǎn)，顯然的最小逼近值為，最大值為，即 例7. 點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，它到其中一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2，為的中點(diǎn)，表示原點(diǎn)，則（ ）A. B. C. 4D. 8解：（1）設(shè)橢圓另一焦點(diǎn)為，（如下圖），則而又注意到各為的中點(diǎn)是的中位線 （

6、2）若聯(lián)想到第二定義，可以確定點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求中點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出，但這樣就增加了計(jì)算量，方法較之（1）顯得有些復(fù)雜。例8. 雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1、F2，雙曲線上任意一點(diǎn)P，過(guò)F2作F1PF2的平分線的垂線平分線交于M，則M的軌跡是A. 圓 B. 直線 C. 雙曲線 D. 拋物線解：如圖，PM是F1PF2的平分線，F(xiàn)2N是PM的垂線，則F2PM和NPM全等，所以F2M=MN，PF2=PN，根據(jù)雙曲線的定義PF1-PF2=2a，所以NF1=2a，而在三角形F1NF2中OM為中位線，所以：|OM|=a，所以M點(diǎn)的軌跡為以原點(diǎn)為圓心a為半徑的圓。說(shuō)明：數(shù)形結(jié)合法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的

7、關(guān)鍵是要找到數(shù)學(xué)量的幾何意義或者幾何圖形的性質(zhì)，然后根據(jù)題意構(gòu)造幾何圖形，實(shí)現(xiàn)代數(shù)和幾何的相互了解。【模擬試題】一. 選擇題： 1. 方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)為（ ） A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè) 2. 函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 3. 設(shè)命題甲：，命題乙：，則甲是乙成立的（ ） A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件 C. 充要條件D. 不充分也不必要條件 4. 若不等式的解集為，且，則的值為（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4 5. 若時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 6. 定義在上的函數(shù)在上為增函數(shù)，

8、且函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為，則（ ）A. B. C. D. 二. 填空題： 7. 若對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，則，由小到大依次為_(kāi)。 8. 若關(guān)于的方程有四個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)。 9. 函數(shù)的最小值為_(kāi)。 10. 若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是。三. 解答題：11. 若方程在上有唯一解，求的取值范圍。12. 若不等式的解集為，且，求的取值范圍。13. 設(shè)，試求下述方程有解時(shí)的取值范圍： 【試題答案】一. 選擇題： 1. C解：畫(huà)出在同一坐標(biāo)系中的圖象即可。確定lgx=1的解為x=10，y=lgx在(0，+)內(nèi)遞增，所以和的圖象應(yīng)該有三個(gè)交點(diǎn)。2. D解：畫(huà)出的圖象。 情形

9、1：情形2：3. A解：命題甲：，命題乙：-3，由甲可以得出乙，反之不成立4. B解：畫(huà)出的圖象，依題意，從而，由5. C解：令，若，兩函數(shù)圖象如下圖（一）所示，顯然當(dāng)時(shí)，要使，只需使，即。 綜上可知，當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)恒成立 若，兩函數(shù)圖象如右圖（二）所示，顯然當(dāng)時(shí)，不等式恒不成立。 6. A解：的圖象是由的圖象向左平移2個(gè)單位而得到的，又知的圖象關(guān)于直線（即軸）對(duì)稱(chēng)，故可推知，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，由在上為增函數(shù)，可知在上為減函數(shù)，依此易比較函數(shù)值的大小。二. 填空題： 7. 解： 由知，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，又為二次函數(shù)，其圖象是開(kāi)口向上的拋物線，由的圖象，易知的大小。8. 解： 設(shè)畫(huà)出兩函數(shù)圖

10、象示意圖，要使方程有四個(gè)不相等實(shí)根，只需使9. 解：最小值為對(duì)，聯(lián)想到兩點(diǎn)的距離公式，它表示點(diǎn)到（1，0）的距離；表示點(diǎn)到點(diǎn)（3，3）的距離，于是表示動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)（1，0），（3，3）的距離之和，結(jié)合圖形，易得。 10. 解：表示傾角為，縱截距為的直線族，而則表示以（0，0）為圓心，以1為半徑的圓在軸上方的部分（包括圓與軸的交點(diǎn)）如下圖所示，顯然，欲使直線與半圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，只需直線的縱截距，即三. 解答題： 11. 解：原方程等價(jià)于則上述不等式組在上只有一個(gè)解。 令在同一坐標(biāo)系內(nèi)，畫(huà)出它們的圖象。 其中注意，當(dāng)且僅當(dāng)兩函數(shù)的圖象在0，3）上有唯一公共點(diǎn)時(shí)，原方程有唯一解，由下圖可見(jiàn)，當(dāng)或時(shí)，原方程有唯一解，因此的取值范圍為 說(shuō)明：一般地，研究方程時(shí)，需先將其作等價(jià)變形，使之簡(jiǎn)化，再利用函數(shù)圖象的直觀性研究方程的解的情況。 12. 解：令，其中表示以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓在軸的上方的部分（包括圓與軸的交點(diǎn)），如下圖所示，表示過(guò)原點(diǎn)的直線系，不等式的解即是兩函數(shù)圖象中半圓在直線上