高中數(shù)學選修2-1新教學案：3.1.4空間向量的正交分解及其坐標表示W(wǎng)ord版

1、3.1.4 空間向量的正交分解及其坐標表示【教學目標】1掌握空間向量基本定理及其推論，理解空間任意一個向量可以用不共面的三個已知向量線性表示，而且這種表示是唯一的；2在簡單問題中，會選擇適當?shù)幕讈肀硎救我豢臻g向量.【重點】空間向量的基本定理及其推論.【難點】 空間向量基本定理唯一性的理解. 【創(chuàng)設情景】平面向量基本定理的內(nèi)容及其理解：如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，使. 【預習提綱】（根據(jù)以下提綱，預習教材第 92 頁第 94 頁）1.空間向量的分向量的概念：如圖.設是空間三個兩兩垂直的向量,且有公共起點.對于空間任意一個向量,設點為點在所確

2、定的平面上的正投影.由平面向量基本定理可知,在,所確定的平面上,存在實數(shù),使得 .而在所確定的平面上,由平面向量基本定理可知,存在有序實數(shù)對,使得.由此可知,如果是空間三個兩兩垂直的向量,那么,對于空間任一向量,存在一個有序實數(shù)組,使得.我們稱為向量在上的分向量. 探究：在空間中，如果用任意三個不共面向量代替兩兩垂直的微向量，能得出類似的結論嗎？2.空間向量的基本定理及基底的概念：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在有序實數(shù)組，使得.由此可知， 若三向量不共面，那么所有空間向量組成的集合就是.我們把叫做空間的一個基底，都叫做基向量.空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底.如果

3、空間一個基底的三個基向量兩兩互相垂直，那么這個基底叫做正交基底.特別地，當一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱這個基底為單位正交基底，通常用 表示.3.空間向量的坐標的定義：設為空間向量的一個單位正交基底,以公共起點為原點,分別以的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系.對于任意一個空間向量,一定可以把它平移,使它的起點與原點重合,得到向量.由空間向量基本定理,存在有序實數(shù)組,使得.我們把稱作向量在單位正交基底下的坐標,記作.【基礎練習】【典型例題】OA/CMED/B/ADB例1 如圖，在正方體中，點E是AB與OD的交點,M是OD/與CE的交點，試分別用向量表示和【審題要津】解：；

4、.【方法總結】例2 如圖，已知空間四邊形，其對角線，分別是對邊的中點，點在線段上，且，用基底向量表示向量【審題要津】解： 【方法總結】 1O為平面上的定點，A、B、C是平面上不共線的三點，若( -)·(+2)=0，則DABC是（）A以AB為底邊的等腰三角形 B以BC為底邊的等腰三角形C以AB為斜邊的直角三角形 D以BC為斜邊的直角三角形2P是ABC所在平面上一點，若，則P是ABC的（）A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心3在四邊形ABCD中，且·0，則四邊形ABCD是（ ）A 矩形 B 菱形 C直角梯形 D等腰梯形4已知，、的夾角為，則以，為鄰邊的平行四邊形的一條對角線長為（）A B C D5O是平面上一定點,A,B,C是平面上不共線的三個點,動點P滿足，則P的軌跡一定通過ABC的( ) A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心6設平面向量=(2，1)，=(，-1)，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（ ）A B C D7若上的投影為 。8向量，且A，B，C三點共線，則k 9在直角坐標系xoy中，已知點A(0,1)和點B(-3,4)，若點C在AOB的平分線上且|=2,則=10在