2012江西數(shù)學中考研討資料數(shù)學邏輯

1、真誠為您提供優(yōu)質(zhì)參考資料，若有不當之處，請指正。數(shù)學邏輯一 、 數(shù)學邏輯1.邏 輯邏輯一詞譯自英文“Logic”，源于希臘文 “Logos”，原意“詞”、“思想”、“理性”，在日常生活中，“邏輯”是一個多義詞，既指事物發(fā)展規(guī)律，又指思維規(guī)律，也指邏輯科學。中學數(shù)學中的邏輯，主要指形式邏輯，也部分涉及辯證邏輯。形式邏輯是一門以思維形式及其規(guī)律為主要研究對象，同時涉及一些簡單邏輯方法的科學。辯證邏輯是關(guān)于思維的辯證發(fā)展規(guī)律的科學，是唯物辯證法在思維領(lǐng)域的應用，從本質(zhì)上說，辯證邏輯和唯物辯證法是一致的，唯物辯證法的基本規(guī)律也就是辯證邏輯的規(guī)律。2.思 維思維是指人腦對客觀事物間接的和概括的認識過程；

2、通過這種認識，可以把握事物的一般屬性和本質(zhì)屬性。思維有兩個基本特點：間接性和概括性。間接性主要指思維是人腦對于客觀事物的間接認識過程。所謂間接認識，就是以其他事物作為媒介，借助于已有的知識和經(jīng)驗，去認識那些沒有直接感知過的或者難以直接感知的事物，預見和推測事物的發(fā)展過程。概括性主要指思維是人腦對于客觀事物的概括認識過程。所謂概括認識，就是以大量已知事實為依據(jù)，在已有知識經(jīng)驗的基礎上，舍去某類事物的個別特點，抽出其共性的東西，從而得出這類事物的一般特性，發(fā)現(xiàn)事物間的科學規(guī)律。3.思維的具體過程：（1）發(fā)現(xiàn)問題是解決問題的起點，也是解決問題的歸宿。問題就是矛盾；發(fā)現(xiàn)問題就是發(fā)現(xiàn)矛盾；（2）明確問題

3、，就是發(fā)現(xiàn)問題之后，經(jīng)過進一步分析，從一系列矛盾中，找出其主要矛盾。明確問題有兩個基本要求：一是理清問題的癥結(jié)之所在；二是準確地把問題表述出來。即在解答數(shù)學題中，表掘，弄清題目意思，分辨條件、問題（或結(jié)論），發(fā)掘題中概念的特征或圖形的性質(zhì)；（3）提出假設，就是明確問題之后，提出解決問題的原則、方案、途徑和方法； （4）檢驗假設，就是驗證提出的假設的真實性，檢驗假設通常有兩條途徑：一是在實踐活動中檢驗，如通過畫圖、測量、實驗等檢驗；二是在思維活動中去檢驗，如通過間接推理來檢驗假設。檢驗獲得成功，就可以對所考察的問題作出相應的正確結(jié)論。4.思維的常用方法：（1）分析和綜合在思維中把事物的整體分解為

4、部分，把復雜事物分解為簡單要素，把完整的過程分解為各個階段，并分別加以研究的思維方法叫分析；把事物的各個部分、各個方面、各種要素、各個階段連接為整體進行考察的思維方法叫綜合（2）比較和分類確定有關(guān)事物的共同點和不同點的思維方法叫比較；根據(jù)事物的共同性和差異性，把具有相同屬性的事物歸于一類，把不同屬性的事物歸入不同的類的思維方法叫分類（3）抽象、概括和具體化把各種事物的共同屬性抽取出來加以考察的思維方法叫抽象；把抽象出來的事物的共同屬性聯(lián)合起來加以考察的思維方法叫概括；把抽象、概括中獲得的概念和理論運用于實際，以恰當?shù)膶嵗齺碚f明概念，解釋理論的思維方法叫具體化（4）系統(tǒng)化把各種有關(guān)材料歸入某種一

5、定的順序，納入某種一定的體系的思維方法叫系統(tǒng)化（5）類比、歸納和演繹類比、歸納和演繹都從屬于數(shù)學推理。推理是從一個或幾個已知判斷，推出另一個新判斷的思維形式。推理可分為直接推理（是指只有一個前提的推理）和間接推理（是指兩個或兩個以上前提組成的推理）。類比推理、歸納推理和演繹推理均屬于間接推理范疇。由特殊場合的知識推出特殊場合的知識思維形式，叫類比推理。具體地說，它是根據(jù)兩個（或兩類）事物的某些相同的性質(zhì)，推測它們在別的性質(zhì)上也可能相同的推理形式。（特別注意：類比推理所引出的結(jié)論不一定真實。）由特殊場合的知識推出一般原理的思維形式，叫歸納推理。有完全歸納法和不完全歸納法兩種常見形式。完全歸納法是

6、指研究了某類事物中的每一個對象，然后概括出這類事物的一般性結(jié)論。因而由正確的前提必能得出正確的結(jié)論；不完全歸納法是指通過對某類事物中的部分對象的研究，概括出這類事物的一般性結(jié)論。前提和結(jié)論未必有必然的聯(lián)系。因此由不完全歸納法得到的結(jié)論，只有或然的性質(zhì)，結(jié)論是否正確還需要經(jīng)過理論的證明和實踐的檢驗。由一般原理推出特殊場合知識的思維形式，叫演繹推理?？煞譃橹毖匀握摵图傺灾毖匀握摗Ｖ毖匀握?，是從兩個直言判斷（其中一個必為全稱判斷）得出第三個判斷的演繹推理。第一個判斷提供了一般的原理叫做三段論的大前提；第二個判斷提出一個特殊場合的情形，叫做小前提；綜合這兩個判斷，得到反映一般原理與特殊場合聯(lián)系的

7、判斷，即為第三個判斷，叫做結(jié)論。例1.凡平行四邊形（M）的對角線互相平分（P）（大前提），正方形（S）是平行四邊形（M）（小前提）；所以，正方形（S）的對角線互相平分（P）（結(jié)論）。假言直言三段論，是從一個假言判斷和一個直言判斷得出第三個判斷的演繹推理。有肯定式和否定式兩種；肯定式是從肯定假言前提的條件，從而肯定它的后件推理；否定式是從否定假言前提的后件，從而否定它的前件的推理。例2.若兩角是對頂角，則這兩個角相等。角所以BOD。例3. 若兩角不相等，則這兩個角不是對頂角。 BOD，所以角5.思維的基本規(guī)律在形式邏輯中，概念、判斷和推理三種基本的思維形式要準確地運用概念和判斷，進行推理或證明，

8、必須遵守同一律、矛盾律、排中律和充足理由律等四條基本規(guī)律（1）同一律.在同一時間內(nèi)，從同一方面，思考或者議論同一事物的過程中，必須始終保持同一的認識。（2）矛盾律.在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷，不能同真。（3）排中律.在同一思維過程中，兩個互相否定的概念或判斷，必然一個是真的。排中律是反證法的邏輯基礎。（4）充足理由律.任何一個真實的判斷，必然有充足的理由二、數(shù)學概念概念是人們對客觀事物的一種認識，是反映客觀事物的本質(zhì)的思維形式。概念不同于感覺，感覺是具體的、直接的，概念是抽象的、概括的。抽象性和概括性是概念不同于感覺的重要特征。1.概念的內(nèi)涵和外延內(nèi)涵：概念所反映的對象本質(zhì)的總和（概

9、念所反映的對象的質(zhì)的方面）叫做概念的內(nèi)涵。外延：概念所反映的對象的總和（概念所反映的對象的數(shù)量，或?qū)ο蟮姆秶┙凶龈拍畹耐庋印?.定義、劃分、判斷、命題及其定理定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法，也就是通過指出概念所反映的事物本質(zhì)，來說明概念的邏輯方法。劃分是揭示概念外延的邏輯方法，也就是通過把一個屬概念劃分為若干種概念來明確概念的邏輯方法。判斷是對客觀事物的一種認識，是對客觀事物有所肯定或否定的思維形式。命題是做出判斷時思維活動的過程，通過語言、文字或符號而表達的數(shù)學判斷，也可以理解為，可以判斷正確或判斷錯誤的句子叫做命題?！懊}”由“題設”和“結(jié)論”兩部分組成。正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫假

10、命題。數(shù)學中的定義、定理、公式、性質(zhì)、法則都是數(shù)學命題。對于同一素材可以做出四個命題：原命題、逆命題、否命題、逆否命題。互逆或互否的兩個命題的真實性并非一致，既可以兩個同真也可以同假，也可以一真一假；兩個互互為逆否的兩個命題的真實性是一致的，同真或同假（現(xiàn)在初中不講“否命題”和“逆否命題”）。數(shù)學命題有真有假，凡是經(jīng)過邏輯證明確認其真實性的命題，叫做定理。一些定理是由某一定理直接推得的，它的真實性只需稍加思索就能確定，不需要詳細論證，這樣的定理叫做推論關(guān)系。如果一個定理的逆命題也是真命題，那么這個逆命題就是原定理的逆定理。這兩個定理互逆的。公理是數(shù)學中最基本的命題，它們在理論形式上，是邏輯推論

11、的大前提，是數(shù)學需要作為自己出發(fā)點的少數(shù)思想上的規(guī)定，其真實性不是由邏輯證明來確定的而是不證自明的。3.充分條件、必要條件和充要條件如果命題“A”為真，即A（命題中的假設）就叫做使B（結(jié)論）成立的充分條件。如果命題“”為真，（原命題中的題設的否題設）為真，那么A（原命題中的題設）就叫做使B（原命題中的結(jié)論的否結(jié)論）成立的必要條件。如果命題“A”為真，那么A就叫做使B成立的充分必要條件，或者簡稱為充要條件；這時B也是A成立的充要條件。4.同一原理當一個命題的條件和結(jié)論都唯一存在，它們所指的概念是同一概念時，這個命題和它的逆命題等效，這個道理叫做同一原理。同一原理是間接證明方法中同一法的邏輯根據(jù)。

12、三、數(shù)學證明證明是引用一些真實的命題，來確定某一命題真實性的思維形式。證明由論題、論據(jù)和論證三部分組成。論題是指需要確定其真實性的那些命題。（通常寫的“已知”、“求證”、“證明”中的“求證”部分）論據(jù)是指被用來作為證明的理由。數(shù)學中的公理、定義、定理、推論、公式、性質(zhì)等，都可以作為證明的論據(jù)。論證就是證明的過程。是指從論據(jù)推出論題的過程，它表明論據(jù)和論題必然的邏輯聯(lián)系。證明過程其實也是推理過程，就是把論據(jù)作為推理的前提，應該用正確的推理形式推出論題的過程。證明的過程在思維的過程中，可以從不同的角度出發(fā)，從而得出不同的證明方法，則有演繹證法與歸納證法、分析法與綜合法及直接證法與間接證法。1.演繹

13、證法與歸納證法任何證明都是特殊形式的推理，因此按推理的方法，證明可分為演繹證法與歸納證法兩種。用演繹證明來證明論題的方法，叫做演繹證法（三段論）例4. 在菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊CD，AD的中點。求證：AE=CF。用歸納推理來證明論題的方法，叫做歸納證法。歸納證法可分為完全歸納法和不完全歸納法兩種。完全歸納法又稱枚舉歸納法。通過對命題條件的一切可能情形的論證，從而確定命題真實性的證明方法。枚舉歸納法應用于證明這樣的命題，當條件的性質(zhì)或關(guān)系發(fā)生變化時，其證明的理由也隨之有所不同。其步驟是先對命題條件的一切可能情形逐一加以論證，然后總括起來斷言命題普遍成立。在應用此法時，必須把各種可能情形

14、作適當?shù)姆诸?，注意做到不遺漏、不重復。例5.將17分解成若干個自然數(shù)之和，使它們的積最大。例6.求函數(shù) 在不完全歸納法，通過對命題條件的一部分進行研究，從而推斷命題的一般結(jié)論的論證法。它所得到的結(jié)論有時是不可靠的。因此，常常成為“猜想”，猜想則必須用其它方法去證明它或者推翻它。若猜想具有遞推性，我們就能將內(nèi)部成立的結(jié)論推廣到一般。例7.在三角形ABC的內(nèi)部有點P,Q,R，與三角形兩個頂點B,C圍成一個凸多邊形，試比較這個凸多邊形的周長和三角形ABC的周長的大小。例8.法國數(shù)學家費馬提出一個計算素數(shù)的公式： 。同時有人提出： 也是素數(shù)計算公式。請問這兩個公式正確嗎？2.分析法與綜合法對于一個命題

15、的證明，不論用演繹法還是用歸納法，都有一個然后思維的方法問題，根據(jù)思維時推理序列的不同方向，證明方法可分為分析法和綜合法兩種。分析法是從特征的結(jié)論出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達到命題的已知條件。綜合法是從命題的已知出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理最后達到待證的結(jié)論。例9.在 DE=b, BE=c.求證:一元二次方程分析法的特點是探果索因，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”。其逐步推理實際上尋找它的充分條件；綜合法的特點是由因?qū)Ч?，即從“已知”逐步推向“未知”，其逐步推理實際上是尋找它的必要條件。但是分析法書寫顯得冗長，有點別扭，而綜合法表述流暢。我們可以采用先用“分析法”尋找解題思路，再用“綜

16、合法”有條理的表述解題過程。3.直接證法與間接證法直接證法是從命題的條件出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理、直接推斷結(jié)論的真實性。我們平時證題多數(shù)采用此法，不再舉例。有些命題用直接證法比較困難，有的在待定的場合甚至找不到證明的依據(jù)。這時可以證明它的反論題(與原論題相矛盾的判斷)是假的，或考證它的等效命題，結(jié)果也能間接地達到目的。這種不是從正面證明論題真實性的方法叫做間接證法。間接證法有反證法和同一法兩種。反證法的邏輯依據(jù)是排中律;兩個互相矛盾的判斷不能都是假的。應用反證法證明數(shù)學命題的一般步驟是:（1）分清命題的條件和結(jié)論；（2）作出否定命題的結(jié)論，與命題結(jié)論相矛盾的假設；（3）由命題的條件所作

17、的假定，應用正確的推理方法導出矛盾的結(jié)果，通常是指：推出結(jié)果與已知的公理、定義或定理矛盾；推出結(jié)果與已知條件矛盾；推出結(jié)果與所作的假設矛盾；推出互相矛盾的結(jié)果。（4）斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在所作的與命題結(jié)論 相矛盾的假設不真，于是原結(jié)論成立，從而間接證明了命題為真。如果與命題結(jié)論相矛盾的方面只有一種情況，這時只要將這種情況予以否定，命題即被證明。這種反證法，又稱歸謬法 。如果與命題結(jié)論相矛盾的方面不止一種情況。這時就需要將它們一一予以否定，命題才能得證，這種反證法，又稱窮舉法。反證法常用于證明如下類型的命題：一個數(shù)學分支的某些起始命題；否定性命題；唯一性命題；以“至多”、“至少”、“無窮”等形式 出現(xiàn)的命題。例10