1常微分方程地基本概念

1、第十三章常微分方程簡介本章介紹微分方程的有關概念及某些簡單微分方程的解法.微分方程是包含未知函數(shù)及其導數(shù)的方程.由微分方程能夠求出未知函數(shù)的解析表達式,從而掌握所研究的客觀現(xiàn)象的變化規(guī)律和開展趨勢.因此,掌握這方面的知識,用之分析解決問題是非常重要的.由于在大多數(shù)情況下,微分方程很難求出初等解即解的形式是初等函數(shù)那么,就需要研究解的存在理論,借助計算機求出微分方程的數(shù)值解.本章的內容,僅僅包含常微分方程的一些最初步的知識,特殊的一階和局部二階微分方程的初等解法；最后一節(jié)討論微分方程的簡單應用.§1常微分方程的根本概念像過去我們研究其他許多問題一樣,首先通過具體實際例子來引入微分方程的

2、概念.1.1兩個實例例1.1設某一平面曲線上任意一點x, y處的切線斜率等于該點處橫坐標的2倍,且曲線通過點1,2,求該曲線的方程.解平面上的曲線可由一元函數(shù)來表示設所求的曲線方程為y fx,根據導數(shù)的幾何意義,由題意得 崇2x這是一個含未知函數(shù)y fx的導數(shù)的方程.另外,由題意,曲線通過點1,2,所以,所求函數(shù)y fx還滿足y|x1泄=2x.從而得到?dx2x'?y 1x=1 = 2o(1.1)(1.2)為了解出y fx,我們只要將1.1的兩端積分,得y 2xdx 2孝 C x2 C , 22我們說y x2 C對于任意常數(shù)C都滿足方程1.1.再由條件1.2,將yg 2代入y x2 C

3、,即2 12 C C 1.故所求曲線的方程為y x2 1.再看一個例子：例1.2設質點以勻加速度a作直線運動,且t 0時s 0, v V0.求質點運動的位移與時間t的關系.解 這是一個物理上的運動問題.設質點運動的位移與時間的關系為s s(t) o那么由二階導數(shù)的物理意義,知舷 a,這是一個含有二階導數(shù)的方程.dtSt應滿足問題再由題意共產0,因此,S3V lt= 0= v0(1.3)(1.4)要解這個問題,我們可以將1.3兩邊連續(xù)積分兩次,即ds -一 at C1,1.5dtt2s a tdt Gdt C2 ,即 s ay Cit C2,1.6其中C1Q2為任意常數(shù)由條件1.4,由于s|t

4、0 0,代入1.6,得C2 0;再由 v|t 0 V0,代入1.5,得 C1 V0 0 故得s野V0t為所求.卜面我們將通過分析這兩個具體的例子,給出微分方程的一些根本概念.1.2微分方程的根本概念總結所給出的兩個具體的例子,我們看到：1例1.1的式和例1.2的式都是含有未知函數(shù)的導數(shù)的等式例1 含一階導數(shù),例2含二階導數(shù)；2通過積分可以解出滿足這等式的函數(shù)；3所求函數(shù)除滿足等式外,還滿足約束條件例 1中的2式和例2中的2式初始條件：例1有一個初始條件,例2有兩個初始條件.由此,我們得到如下的概念.1微分方程的概念定義1.1 含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程稱為微分方程.未知函數(shù) 是一元函數(shù)的方

5、程叫做 常微分方程；未知函數(shù)是多元函數(shù)的方程,叫做偏微分方 程.注1方程中強調含有未知函數(shù)的導數(shù).因此,它是反映未知函數(shù)、未知函 數(shù)的導數(shù)與自變量之間關系的方程在微分方程中未知函數(shù)幾自變量可以不單獨出現(xiàn),但必須出現(xiàn)未知函數(shù)的導數(shù).2微分方程中的自變量由問題而定.如 dy 2x的自變量是x,小 at2 dxdt的自變量是t , dx x y的自變量是y.dy3微分方程中只含一個自變量的叫常微分方程.例如,x3y x2y xy 3x2是常微分方程；y xex不是微分方程;222-2 T 0是偏微分方程本章不研究.xyz2微分方程的階定義1.2 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)叫做微分方程

6、的 階.例如,dy 2x是一階微分方程； dxd2SLd-4 a是二階微分方程； dt2x3yx2y xy 3x2是三階微分方程；yxn是一階微分方程；一般地,F(x,y,y ) 0是一階微分方程的一般形式 是F(x, y, y , ,y(n) 0,(1.7)其中F是個n 2變量的函數(shù).這里必須指出,在方程(1.7)中,y是必須出現(xiàn) 的,而x,y,y, ,y(n1)等變量那么可以不出現(xiàn).例如n階微分方程y1 0中,除y外,其他變量都沒有出現(xiàn).如果能從方程(1.7)中解出最高階導數(shù),得微分方程y(n)= f(x,y,y?L ,y(n-1).(1.8)以后我們討論的微分方程都是已解出最高階導數(shù)的方

7、程或能解出最高階導數(shù)的 方程,且(1.8)式右端的函數(shù)f在所討論的范圍內連續(xù).3微分方程的解定義1.3 如果把某函數(shù)y(x)代入微分方程,能使方程成為恒等式,那么稱此函數(shù)為微分方程的 解.確切地說,設函數(shù)y (x)在區(qū)間I上有n階連續(xù)導數(shù), 如果在區(qū)間I上,Fx,j (x),j (x),L ,j(x)o 0,那么函數(shù)y(x)就叫做微分方程(1.7)在區(qū)間I上的解.例如y x2 C是52x的解；dxy x2 1也是電2X的解；dxt2dss a Cit C2是當at2的解；2dts a- Vot也是史at2的解. 2dt定義1.4(通解、特解)如果微分方程的解中含有任意常數(shù),且任意常數(shù)的個數(shù)與微

8、分方程的階數(shù)相同,這樣的解叫做微分方程的 通解.確定了通解中任意 常數(shù),就得到了微分方程的 特解.如,是通解.,是特解.注(1)微分方程的解有三種形式：顯式解 y *)或* g(y);隱式解 由方程(x,y) 0確定的函數(shù)關系(通積分)；參數(shù)方程形式的解 ?x=j(t).?y= y (t)(2)微分方程的通解：是指含有任意常數(shù),且任意常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同的解.(3)微分方程的通解也不一定能包含它的一切解.如y2 y2 1 0的通解為y sin(x C),但y1也是微分方程的解,但它不包含在通解中,由于無論C取何值都得不到y(tǒng) 1.4微分方程的初始條件在例1.1中,當x 1時y 2,通常記為

9、y|x1 2或f2;ds -在例1.2中,當t 0時s 0即s|t0 0,當t 0時而 V.即s|t0 V0這些用來確定任意常數(shù)的條件為初始條件.一般來說,一階微分方程F (x, y, y ) 0有一個初始條件y1x x° y0 ；二階微分方程F(x, y, y , y ) 0有兩個初始條件y |x %y0與 y |x x0y1；n二階微分方程F x, y, y ,y0有n個初始條件5初值問題求微分方程滿足初始條件的特解,稱為初值問題.如例1.1中的、；例1.2中的、.般一階微分方程的初值問題記作(1.9)(1.10)?F(x, y, yy二 0加=%= y°'二階

10、微分方程的初值問題記作F(x, y,y ¥y ?= 0y|x=xo= y°yx=x0= yi6微分方程解的幾何意義常微分方程的特解的圖形為一條曲線,叫做微分方程的 積分曲線；微分方程的通解的圖形是以C為參數(shù)的曲線族,且同一自變量x對應的曲線 上的點處處切線的斜率相同.初值問題1.9的解的幾何意義是微分方程通過點x.,y.的那條積分曲線.初值問題1.10的解的幾何意義是微分方程通過點x.,y.且在該點的斜率為yi的那條積分曲線.例1.3 驗證：函數(shù)x C1 coskt C2sin kt1.11是微分方程d2x dt2k2x 0(1.12)的解.解求出所給函數(shù)1.10的導數(shù)(1

11、.13)dx,八., ,八,kC1sin kt kC2coskt, dtd-2xk2C1cosktk2C2sinktk2(C1cosktC2sin kt)dt及x的表達式代入方程1.11得k2(C1coskt C2 sin kt) + k2(C1coskt C2 sin kt) 0函數(shù)1.10及其導數(shù)代入方程1.11后成為一個恒等式,因此函數(shù)1.10是微分方 程1.11的解.例1.4 函數(shù)1.10當k 0時是微分方程1.11的通解,求滿足初始條件dxX|t0 A, dt的特解.解 將條件“t 0時,x A代入1.10式得C1 Ao, , dx .,將條件“t 0時,0代入(1.12)式,得dt

12、C2 00把C1C2的值代入1.10式,就得所求的特解為x Acoskt.練習13.11 .選擇題：(1)微分方程吧2叱y ex是二dx dx(A)齊次的；(B)線性的；(C)常系數(shù)的；(D)二階的d 2y(2)微分萬程d-y y 0的通解是dx(A) y Asin x ;(B) y B cosx ;(C) y sin x Bcosx ;(D) y Asin x B cosx.(3)以下方程中是一階微分方程的有 22457(A)x(y) 2yy x0;(B) (y)5(y ) yx 02 222 .(C)(xy )dx (xy )dy0;(D) xy y y 0.(4)以下等式中是微分方程的有

13、 (A) uv uv (uv);(C)業(yè)ex如上；dxdx2.填空題：(1)方程(y )2 3y 6 9是(B) y ex sin x ;(D) y 3y 4y 0.階微分方程.(2)方程xy y ln y的通解是(3)方程y 3y 4y 8的通解是.(4)方程y x sin x的通解是.(5)設y1 ex, y ex x是線性微分方程y p(x)y q(x)的兩個特解,那么該方程的通解為(6)函數(shù)ye2x, y xe2x所滿足的二階常系數(shù)齊次線性微分方程為3 .指出以下微分方程的階數(shù)：(1) x(y)2 2yyx0;(2)(y )3 5(y )4 y5 x60;3 3)xy 2yx2y 0;(4)(x2y2)dx (x2 y2)dy0.4 .驗證微分方程后所列的函數(shù)是否為微分方程的解,是否是通解.一、.-2 ,、2八(1) xy 2y , y 5x ；(2)(y) y xy y 0 , y cx;(3) y y 0 , y 3sinx 4cosx ；x(4) y 2y y 0 , y xe ;22(5) (x