激光原理 第3章 激光器的輸出特性

1、光電與信息工程學(xué)院光電與信息工程學(xué)院http:/朱朱 莉莉 莉莉福建師范大學(xué)光電與信息工程學(xué)院福建師范大學(xué)光電與信息工程學(xué)院（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院2第第3 3章章 激光器的輸出特性激光器的輸出特性3.1 光學(xué)諧振腔的衍射理論光學(xué)諧振腔的衍射理論3.2 對(duì)稱共焦腔內(nèi)外的光場(chǎng)分布對(duì)稱共焦腔內(nèi)外的光場(chǎng)分布3.3 高斯光束的傳播特性高斯光束的傳播特性3.4 穩(wěn)定球面腔的光束傳播特性穩(wěn)定球面腔的光束傳播特性3.5 激光器的輸出功率激光器的輸出功率3.6 激光器的線寬極限激光器的線寬極限3.7 激光光束質(zhì)量的品質(zhì)

2、因子激光光束質(zhì)量的品質(zhì)因子M2（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院3引引 言言 諧振腔作用：諧振腔作用：倍增激光增益介質(zhì)的受激放大作用長(zhǎng)倍增激光增益介質(zhì)的受激放大作用長(zhǎng)度以形成光的高亮度；提高了光源發(fā)光的方向性；度以形成光的高亮度；提高了光源發(fā)光的方向性；由于激光器諧振腔中分立的振蕩模式的存在，大大由于激光器諧振腔中分立的振蕩模式的存在，大大提高了輸出激光的單色性，實(shí)現(xiàn)了高度的相干性，提高了輸出激光的單色性，實(shí)現(xiàn)了高度的相干性，改變了輸出激光的光束結(jié)構(gòu)及其傳輸特性。改變了輸出激光的光束結(jié)構(gòu)及其傳輸特性。 本章從諧振

3、腔的衍射理論開始研究激光輸出的高斯本章從諧振腔的衍射理論開始研究激光輸出的高斯光束傳播特性，激光器的輸出功率以及激光器輸出光束傳播特性，激光器的輸出功率以及激光器輸出的線寬極限。的線寬極限。 （第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院43.1 3.1 光學(xué)諧振腔的衍射理論光學(xué)諧振腔的衍射理論 惠更斯提出了關(guān)于子波的概念，認(rèn)為波面上每一惠更斯提出了關(guān)于子波的概念，認(rèn)為波面上每一點(diǎn)可看作次球面子波的波源，下一時(shí)刻新的波前形狀點(diǎn)可看作次球面子波的波源，下一時(shí)刻新的波前形狀由次級(jí)子波的包絡(luò)面所決定。由次級(jí)子波的包絡(luò)面所決定。 菲

4、涅耳引入干涉的概念，補(bǔ)充了惠更斯原理，認(rèn)為菲涅耳引入干涉的概念，補(bǔ)充了惠更斯原理，認(rèn)為子波源所發(fā)的波應(yīng)該是相干的，空間光場(chǎng)是各子波干子波源所發(fā)的波應(yīng)該是相干的，空間光場(chǎng)是各子波干涉疊加的結(jié)果。涉疊加的結(jié)果。1 惠更斯惠更斯-基爾霍夫衍射公式基爾霍夫衍射公式 基爾霍夫近一步用格林函數(shù)方法求解波動(dòng)方程，得基爾霍夫近一步用格林函數(shù)方法求解波動(dòng)方程，得到菲涅耳到菲涅耳-基爾霍夫衍射公式?；鶢柣舴蜓苌涔?。（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院5圖圖3-1 惠更斯惠更斯-菲涅菲涅耳原理耳原理設(shè)波陣面設(shè)波陣面 上任一源點(diǎn)上任一源

5、點(diǎn) 的光場(chǎng)復(fù)的光場(chǎng)復(fù)振幅為振幅為 ，則空間任一觀察點(diǎn)，則空間任一觀察點(diǎn)P的光場(chǎng)復(fù)振幅的光場(chǎng)復(fù)振幅 由下列積分式計(jì)由下列積分式計(jì)算：算： P) ( Pu)(Pu)cos1 ()( 4)(dsePuikPuik式中式中 為源點(diǎn)為源點(diǎn) 與觀察點(diǎn)與觀察點(diǎn)P P之間的距離；之間的距離； 為源點(diǎn)為源點(diǎn) 處處的波面法線的波面法線 與與 的夾角；的夾角； 為光波矢的大小，為光波矢的大小， 為光波長(zhǎng)；為光波長(zhǎng)； 為源點(diǎn)為源點(diǎn) 處的面元。處的面元。 PPnPP/2kPds（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院62 光學(xué)諧振腔的自再現(xiàn)模積

6、分方程光學(xué)諧振腔的自再現(xiàn)模積分方程p 自再現(xiàn)模概念自再現(xiàn)模概念 起因：起因：由于反射鏡的有限大小，它在對(duì)光束起反射作由于反射鏡的有限大小，它在對(duì)光束起反射作用的同時(shí)，還會(huì)引起光波的衍射效應(yīng)用的同時(shí)，還會(huì)引起光波的衍射效應(yīng) ，引起反射回來(lái)，引起反射回來(lái)的光束的強(qiáng)度減弱的光束的強(qiáng)度減弱. 特點(diǎn)特點(diǎn)1：當(dāng)反射次數(shù)足夠多時(shí)（大約三百多次反射）當(dāng)反射次數(shù)足夠多時(shí)（大約三百多次反射）光束的橫向場(chǎng)分布便趨于穩(wěn)定，分布不再受衍射的影光束的橫向場(chǎng)分布便趨于穩(wěn)定，分布不再受衍射的影響。響。 特點(diǎn)特點(diǎn)2：場(chǎng)分布在腔內(nèi)往返傳播一次后能夠場(chǎng)分布在腔內(nèi)往返傳播一次后能夠“再現(xiàn)再現(xiàn)”出來(lái)，反射只改變光的強(qiáng)度大小，而不改變光

7、的強(qiáng)度出來(lái)，反射只改變光的強(qiáng)度大小，而不改變光的強(qiáng)度分布。分布。（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院7自再現(xiàn)模：自再現(xiàn)模：這種穩(wěn)態(tài)場(chǎng)經(jīng)一次往返后，唯一的變化是，這種穩(wěn)態(tài)場(chǎng)經(jīng)一次往返后，唯一的變化是，鏡面上各點(diǎn)的場(chǎng)振幅按同樣的比例衰減，各點(diǎn)的相位發(fā)鏡面上各點(diǎn)的場(chǎng)振幅按同樣的比例衰減，各點(diǎn)的相位發(fā)生同樣大小的滯后。這個(gè)穩(wěn)定的橫向場(chǎng)分布，就是激光生同樣大小的滯后。這個(gè)穩(wěn)定的橫向場(chǎng)分布，就是激光諧振腔的自再現(xiàn)模。諧振腔的自再現(xiàn)模。 p自再現(xiàn)模積分方程自再現(xiàn)模積分方程圖圖3-2 鏡面上場(chǎng)分布的計(jì)算示鏡面上場(chǎng)分布的計(jì)算示意圖意

8、圖圖圖(3-2)所示為一個(gè)圓形鏡的平所示為一個(gè)圓形鏡的平行平面腔，鏡面行平面腔，鏡面 和和 上分別上分別建立了坐標(biāo)建立了坐標(biāo) 和和 。利用。利用上式由鏡面上式由鏡面 上的光場(chǎng)分布可上的光場(chǎng)分布可以計(jì)算出鏡面以計(jì)算出鏡面M上的場(chǎng)分布函數(shù)，上的場(chǎng)分布函數(shù)，即任意一個(gè)觀察點(diǎn)的光場(chǎng)強(qiáng)度。即任意一個(gè)觀察點(diǎn)的光場(chǎng)強(qiáng)度。MMyx yx M（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院8圖圖3-2 3-2 鏡面上場(chǎng)分布的鏡面上場(chǎng)分布的計(jì)算示意圖計(jì)算示意圖 假設(shè)假設(shè) 為經(jīng)過(guò)為經(jīng)過(guò)q q次渡越后次渡越后在某一鏡面上所形成的場(chǎng)分布，在某一鏡面上所

9、形成的場(chǎng)分布， 表示光波經(jīng)過(guò)表示光波經(jīng)過(guò)q q+1+1次渡越后，到達(dá)次渡越后，到達(dá)另一鏡面所形成的光場(chǎng)分布，則另一鏡面所形成的光場(chǎng)分布，則 與與 之間應(yīng)滿足如下的迭之間應(yīng)滿足如下的迭代關(guān)系：代關(guān)系： ) , (yxuq1ququ),(1yxuq)cos1 () , (4),(1dseyxuikyxuMikqq 考慮對(duì)稱開腔的情況，按照自再現(xiàn)模的概念，除了一個(gè)考慮對(duì)稱開腔的情況，按照自再現(xiàn)模的概念，除了一個(gè)表示振幅衰減和相位移動(dòng)的常數(shù)因子以外，表示振幅衰減和相位移動(dòng)的常數(shù)因子以外， 應(yīng)能夠?qū)?yīng)能夠?qū)?再現(xiàn)出來(lái)，兩者之間應(yīng)有關(guān)系：再現(xiàn)出來(lái)，兩者之間應(yīng)有關(guān)系： 1ququqquu1（第（第1章）章）

10、福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院9 綜合上兩式可得綜合上兩式可得:)cos1 () , (4),()cos1 () , (4),(dseyxuikyxudseyxuikyxuikMikMqq 簡(jiǎn)化：簡(jiǎn)化：對(duì)于一般的激光諧振腔來(lái)說(shuō)，腔長(zhǎng)對(duì)于一般的激光諧振腔來(lái)說(shuō)，腔長(zhǎng)L與反射鏡曲與反射鏡曲率半徑率半徑R通常都遠(yuǎn)大于反射鏡的線度通常都遠(yuǎn)大于反射鏡的線度a，而，而a又遠(yuǎn)大于光波又遠(yuǎn)大于光波長(zhǎng)長(zhǎng) 。對(duì)上式做兩點(diǎn)近似可得到自再現(xiàn)模所滿足的積分。對(duì)上式做兩點(diǎn)近似可得到自再現(xiàn)模所滿足的積分方程方程： ) , () , ,(),(dsyxuyxy

11、xKyxuqmnmn 其中其中 ，稱為積，稱為積分方程的核。分方程的核。) , ,() , ,(2) , ,(yxyxikyxyxikeLieLikyxyxK（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院10 和和 的下標(biāo)表示該方程存在一系列的不連續(xù)的的下標(biāo)表示該方程存在一系列的不連續(xù)的本征函數(shù)解與本征值解，這說(shuō)明在某一給定開腔中，可本征函數(shù)解與本征值解，這說(shuō)明在某一給定開腔中，可以存在許多不同的自再現(xiàn)模。以存在許多不同的自再現(xiàn)模。 mnumnp積分方程解的物理意義積分方程解的物理意義 本征函數(shù)本征函數(shù) 的模代表對(duì)稱開腔任一

12、鏡面上的光場(chǎng)的模代表對(duì)稱開腔任一鏡面上的光場(chǎng)振幅分布，幅角則代表鏡面上光場(chǎng)的相位分布。它振幅分布，幅角則代表鏡面上光場(chǎng)的相位分布。它表示的是在激光諧振腔中存在的穩(wěn)定的橫向場(chǎng)分布，表示的是在激光諧振腔中存在的穩(wěn)定的橫向場(chǎng)分布，就是自再現(xiàn)模，通常叫做就是自再現(xiàn)模，通常叫做“橫模橫模”，m、n稱為橫稱為橫模序數(shù)。模序數(shù)。mnu（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院11圖圖3-3 橫模光斑示意圖橫模光斑示意圖 用用TEMmnq來(lái)表示激光模式，來(lái)表示激光模式，TEM代表橫電磁波代表橫電磁波(transverse electro

13、-magnetic wave)的簡(jiǎn)寫，的簡(jiǎn)寫，m、n分別代表在截面的分別代表在截面的x、y軸方向出現(xiàn)的節(jié)線數(shù)，為橫模軸方向出現(xiàn)的節(jié)線數(shù)，為橫模序數(shù)；序數(shù)；q代表在代表在z軸上出現(xiàn)的節(jié)線數(shù)，為縱模序數(shù)軸上出現(xiàn)的節(jié)線數(shù)，為縱模序數(shù)方形鏡方形鏡圓形鏡圓形鏡（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院12本征值本征值 和單程衍射損耗、單程相移和單程衍射損耗、單程相移mn本征值本征值 的模反映了自再現(xiàn)模在腔內(nèi)單程渡越時(shí)所的模反映了自再現(xiàn)模在腔內(nèi)單程渡越時(shí)所引起的功率損耗引起的功率損耗mn2122121mnmnqqqqquuuuu損耗

14、損耗 包括衍射損耗和幾何損耗，主要是衍射損耗，包括衍射損耗和幾何損耗，主要是衍射損耗，稱為單程衍射損耗，定義為稱為單程衍射損耗，定義為（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院13本征值幅角與自再現(xiàn)模腔內(nèi)單程渡越后所引起的總相本征值幅角與自再現(xiàn)模腔內(nèi)單程渡越后所引起的總相移有關(guān)。移有關(guān)。 qqqquuuuargargarg11自再現(xiàn)模在對(duì)稱開腔中單程渡越所產(chǎn)生的總相移定義自再現(xiàn)模在對(duì)稱開腔中單程渡越所產(chǎn)生的總相移定義為為 argargarg1qquu自再現(xiàn)模在對(duì)稱開腔中的單程總相移一般并不等于由自再現(xiàn)模在對(duì)稱開腔中的單程

15、總相移一般并不等于由腔長(zhǎng)腔長(zhǎng)L所決定的幾何相移，它們的關(guān)系為所決定的幾何相移，它們的關(guān)系為 mnmnkLkLargarg單程附加相移單程附加相移（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院143. 光學(xué)諧振腔諧振頻率和激光縱模光學(xué)諧振腔諧振頻率和激光縱模1,2,3, 22qqLqcLcLqcckqkLmnmnq222222p 諧振條件、駐波和激光縱模諧振條件、駐波和激光縱模光波在腔內(nèi)往返一周的總相移應(yīng)等于光波在腔內(nèi)往返一周的總相移應(yīng)等于2 的整數(shù)倍，即的整數(shù)倍，即只有某些特定頻率的光才能滿足諧振條件只有某些特定頻率的光才能

16、滿足諧振條件 每個(gè)每個(gè)q值對(duì)應(yīng)一個(gè)駐波，稱之為：縱模，值對(duì)應(yīng)一個(gè)駐波，稱之為：縱模，q為縱模序數(shù)。為縱模序數(shù)。諧振腔的諧振頻率主要決定于縱模序數(shù)。諧振腔的諧振頻率主要決定于縱模序數(shù)。（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院15p 縱模頻率間隔縱模頻率間隔LcLcLqcqqqmnmnq2221圖圖(3-4) 腔中允許的縱模數(shù)腔中允許的縱模數(shù)腔內(nèi)兩個(gè)相鄰縱模頻率之差稱為縱模的頻率間隔腔內(nèi)兩個(gè)相鄰縱模頻率之差稱為縱模的頻率間隔舉例舉例1：10cm腔長(zhǎng)的腔長(zhǎng)的He-Ne激光器可能出現(xiàn)的縱模數(shù)激光器可能出現(xiàn)的縱模數(shù)（一種，單縱模

17、）（一種，單縱模）舉例舉例2：30cm腔長(zhǎng)的腔長(zhǎng)的He-Ne激光器可能出現(xiàn)的縱模數(shù)激光器可能出現(xiàn)的縱模數(shù)（三種，多縱模）（三種，多縱模）Hzvq9105 . 1Hzvq9105 . 0HzvF9105 . 1（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院16LyYLxXeYHXHCuYXnmmnmn2,2;)()(222其中本征值近似解：本征值近似解：2)1(nmkLimne1 共焦腔鏡面上的場(chǎng)分布共焦腔鏡面上的場(chǎng)分布3.2 對(duì)稱共焦腔內(nèi)外的光場(chǎng)分布對(duì)稱共焦腔內(nèi)外的光場(chǎng)分布p 方形鏡面共焦腔自再現(xiàn)模積分方程的解析解方形鏡面共

18、焦腔自再現(xiàn)模積分方程的解析解22)(,LLRL及設(shè)方鏡每邊長(zhǎng)為設(shè)方鏡每邊長(zhǎng)為2a，共焦腔的腔長(zhǎng)為，共焦腔的腔長(zhǎng)為L(zhǎng)，光波波，光波波長(zhǎng)為長(zhǎng)為，并把，并把x，y坐標(biāo)的原點(diǎn)選在鏡面中心而以坐標(biāo)的原點(diǎn)選在鏡面中心而以(x，y)來(lái)表示鏡面上的任意點(diǎn)，則在來(lái)表示鏡面上的任意點(diǎn)，則在近軸情況近軸情況下下 ，積分方程有，積分方程有本征函本征函數(shù)近似解析解：數(shù)近似解析解： （第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院17Hm(X)和和Hn(Y)均為厄密多項(xiàng)式，其表示式為：均為厄密多項(xiàng)式，其表示式為：1)(0XHXXH2)(124)(22XX

19、H2) 1()(XmmXmmedXdeXHp 方形鏡面上自再現(xiàn)模場(chǎng)的特征方形鏡面上自再現(xiàn)模場(chǎng)的特征（1）振幅分布）振幅分布)()()()(222YFXFuIYFXFCunmmnmnnmmnmn2222)()(,)()(YnnXmmeYHYFeXHXF令令 , 則有則有（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院18圖圖(3(3-5-5) )畫出了畫出了m m = 0= 0，1 1，2 2和和n n = 0= 0，1 1的的 的變化曲線，同時(shí)還畫出了相應(yīng)的光振動(dòng)的鏡面光強(qiáng)分布的變化曲線，同時(shí)還畫出了相應(yīng)的光振動(dòng)的鏡面光強(qiáng)分布

20、 YYFXXFnm)()(及圖圖(3-5) 的變化曲線及相應(yīng)的光強(qiáng)分布的變化曲線及相應(yīng)的光強(qiáng)分布YYFXXFnm)()(及 激光模式的符號(hào)：激光模式的符號(hào)：TEMmnq，TEM00是基是基橫模。橫模。 m、n的數(shù)值正好分的數(shù)值正好分別等于光強(qiáng)在別等于光強(qiáng)在x，y方方向上的節(jié)線向上的節(jié)線(光強(qiáng)為零光強(qiáng)為零的線的線)數(shù)目，而且數(shù)目，而且m、n的數(shù)值越大，光場(chǎng)也的數(shù)值越大，光場(chǎng)也越向外擴(kuò)展。越向外擴(kuò)展。 （第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院19Lyxsss22LyxeCu220000基橫?；鶛M模TEM00場(chǎng)分布為場(chǎng)分布為

21、鏡面上基模的鏡面上基模的“光斑有效截面半徑光斑有效截面半徑”（2 2）相位分布）相位分布: : 由于由于 為實(shí)函數(shù)共焦腔反射鏡面本為實(shí)函數(shù)共焦腔反射鏡面本身構(gòu)成光場(chǎng)的一個(gè)等相位面。身構(gòu)成光場(chǎng)的一個(gè)等相位面。),(yxmn（3 3）單程衍射損耗：）單程衍射損耗： ，但是在討論激光器單，但是在討論激光器單橫模的選取時(shí)必須考慮單程衍射損耗橫模的選取時(shí)必須考慮單程衍射損耗 012mnmn（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院20(1)2(1)2arg1(1)2222mnmnmnmnqi kLm nmnqmnmnmnkLcqm

22、nqccLeLL 22qnmqLc圖圖(3-6) 方形鏡共焦腔的振蕩頻譜方形鏡共焦腔的振蕩頻譜（4）單程相移與諧振頻率：）單程相移與諧振頻率：共焦腔的共焦腔的頻率間隔頻率間隔共焦腔諧振頻率的共焦腔諧振頻率的簡(jiǎn)并性簡(jiǎn)并性：只要保證：只要保證2q+m+n+1）不變不變,對(duì)應(yīng)的諧振頻率是可以相同的對(duì)應(yīng)的諧振頻率是可以相同的.頻率相等的模式頻率相等的模式增益相同，導(dǎo)致多模振蕩，使輸出光束質(zhì)量變壞。增益相同，導(dǎo)致多模振蕩，使輸出光束質(zhì)量變壞。諧振頻率諧振頻率：（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院21縱模序數(shù)縱模序數(shù)q是決定諧

23、振頻率的主要成分是決定諧振頻率的主要成分q表示光波在腔內(nèi)往返一個(gè)來(lái)回所經(jīng)歷的振動(dòng)次數(shù)。表示光波在腔內(nèi)往返一個(gè)來(lái)回所經(jīng)歷的振動(dòng)次數(shù)。由于激光器諧振腔長(zhǎng)是激光波長(zhǎng)的由于激光器諧振腔長(zhǎng)是激光波長(zhǎng)的104105倍，即倍，即q的數(shù)量級(jí)為的數(shù)量級(jí)為104105。實(shí)際的激光振蕩中實(shí)際的激光振蕩中m、n的數(shù)值都在的數(shù)值都在10以內(nèi)，即以內(nèi)，即qm+n，考慮到這一點(diǎn)后則有：，考慮到這一點(diǎn)后則有：對(duì)于圓形鏡共焦腔：對(duì)于圓形鏡共焦腔：qLcmnq21(21)22mnqcqmnL（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院222 共焦腔中的行波場(chǎng)

24、與腔內(nèi)外的光場(chǎng)分布共焦腔中的行波場(chǎng)與腔內(nèi)外的光場(chǎng)分布 腔內(nèi)的光場(chǎng)腔內(nèi)的光場(chǎng): 可以通過(guò)基爾霍夫衍射公式計(jì)算由鏡面可以通過(guò)基爾霍夫衍射公式計(jì)算由鏡面M1上的場(chǎng)分布在腔內(nèi)造成的行波求得，行波被反射鏡上的場(chǎng)分布在腔內(nèi)造成的行波求得，行波被反射鏡M2反射產(chǎn)生傳播方向相反的另一列行波，兩列行波在腔內(nèi)反射產(chǎn)生傳播方向相反的另一列行波，兩列行波在腔內(nèi)迭加成駐波。該駐波場(chǎng)就是腔內(nèi)光場(chǎng)分布。迭加成駐波。該駐波場(chǎng)就是腔內(nèi)光場(chǎng)分布。 腔外的光場(chǎng)腔外的光場(chǎng): 則就是腔內(nèi)沿一個(gè)方向傳播的行波透過(guò)則就是腔內(nèi)沿一個(gè)方向傳播的行波透過(guò)鏡面的部分。即行波函數(shù)乘以鏡面的透射率鏡面的部分。即行波函數(shù)乘以鏡面的透射率t。求空間場(chǎng)分布

25、的關(guān)鍵是：求空間場(chǎng)分布的關(guān)鍵是：求出鏡面場(chǎng)分布生成的行波求出鏡面場(chǎng)分布生成的行波在任意空間點(diǎn)的表達(dá)式。在任意空間點(diǎn)的表達(dá)式。 （第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院23如圖如圖3-7所示，將鏡面場(chǎng)分布所示，將鏡面場(chǎng)分布式式(3-18)代入基爾霍夫衍射代入基爾霍夫衍射公式公式式式(3-1)可得：可得：圖圖3-7 計(jì)算腔內(nèi)外光場(chǎng)分布的計(jì)算腔內(nèi)外光場(chǎng)分布的示意圖示意圖zyxiwyxywHxwHCzyxussnsmmnmn,exp12exp 212212,222222222( , , )(1)21(1)()2mnLxyx y

26、 zkLmn12arctanarctan12LzLzLz2（引入無(wú)綱參量（引入無(wú)綱參量 ）（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院243.3 高斯光束的傳播特性高斯光束的傳播特性基橫模的強(qiáng)度分布呈高斯型分布，通常稱為高斯光基橫模的強(qiáng)度分布呈高斯型分布，通常稱為高斯光束。束。高斯光束與普通光束有很大區(qū)別，它的傳播方向性高斯光束與普通光束有很大區(qū)別，它的傳播方向性很好，同時(shí)也會(huì)不斷地發(fā)散。很好，同時(shí)也會(huì)不斷地發(fā)散。高斯光束除中心沿直線傳播，其他位置不沿直線傳高斯光束除中心沿直線傳播，其他位置不沿直線傳播。播。高斯光束傳播過(guò)

27、程中，波面曲率半徑不斷在變化，高斯光束傳播過(guò)程中，波面曲率半徑不斷在變化，但永遠(yuǎn)不會(huì)變成零；但永遠(yuǎn)不會(huì)變成零；（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院25基橫?；鶛M模TEM00的場(chǎng)振幅的場(chǎng)振幅U00和強(qiáng)度和強(qiáng)度I00分布分別為：分布分別為：22220012expsyxU22222000014expsyxUI 當(dāng)場(chǎng)振幅為軸上當(dāng)場(chǎng)振幅為軸上( )的值的的值的e-1倍，即強(qiáng)度為倍，即強(qiáng)度為軸上的值的軸上的值的e-2倍時(shí)，所對(duì)應(yīng)的橫向距離倍時(shí)，所對(duì)應(yīng)的橫向距離 即即z 處截面內(nèi)處截面內(nèi)基模的有效截面半徑為；基模的有效截面半徑為

28、； 022 yxz)2(1 2)(41212)(222222LzLzLyxLzzsssss1 高斯光束的振幅和強(qiáng)度分布高斯光束的振幅和強(qiáng)度分布鏡面處：鏡面處：（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院26 在共焦腔中心在共焦腔中心(z0)的截面內(nèi)的光斑有極小值，稱的截面內(nèi)的光斑有極小值，稱為高斯光束的束腰半徑為高斯光束的束腰半徑 Ls21210 用束腰半徑表示的形式用束腰半徑表示的形式22220222200002( )1 () 2( )1 ()1()1122sLzzzzLzL（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范

29、大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院27圖圖(3-8) 基模光斑半徑隨基模光斑半徑隨z按雙曲線規(guī)律的變化按雙曲線規(guī)律的變化 基模光斑半徑基模光斑半徑 隨隨 z 按雙曲線規(guī)律變化：按雙曲線規(guī)律變化：( )z（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院282 高斯光束的相位分布高斯光束的相位分布 隨坐標(biāo)而變化，與腔的軸線相交于隨坐標(biāo)而變化，與腔的軸線相交于 點(diǎn)的點(diǎn)的等相位面的等相位面的方程為方程為 ),(zyx0z 00222222022122212212)2)(1()2(12)21 (2),

30、(), 0 , 0(),(zLzLkzLyxLzLzLzLknmLyxLzLzLzLkzyxzzyx0 nm0 yx)()(0zz（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院29令令 ，則有：，則有：)2(1 2000zLzR02220020220022012RyxRRRyxRRyxzz整理可得：整理可得： 2002220RzzyxR則在腔軸附近則在腔軸附近 有有 2202221zxyLzzLzL 0222222000221212zxyxyLLzLzLz 0 zz（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（

31、第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院30在近軸的情況下，對(duì)稱共焦腔光束的等相位面近似為在近軸的情況下，對(duì)稱共焦腔光束的等相位面近似為一系列其球心在腔軸上的球面，其半徑為：一系列其球心在腔軸上的球面，其半徑為：20001 () 2LRzz當(dāng)當(dāng)z00時(shí)，時(shí)，z-z00；而當(dāng)；而當(dāng)z00時(shí)時(shí), z-z00 u等相位面滿足：等相位面滿足：2002220RzzyxR當(dāng)當(dāng)z00時(shí)，時(shí)，R0=，即共焦腔中心的波陣面為垂直，即共焦腔中心的波陣面為垂直于腔軸的平面。于腔軸的平面。0000zzzz和當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)共焦腔的波陣面的半徑相同，共焦腔的波陣面的半徑相同，即共焦腔光束的波陣面在中心兩側(cè)是對(duì)

32、稱分布的。即共焦腔光束的波陣面在中心兩側(cè)是對(duì)稱分布的。)2(1 2200220zLzyxzz或：（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院31波陣面半徑波陣面半徑R0總是大于總是大于 ，即波陣面的曲率中心不，即波陣面的曲率中心不會(huì)與腔心重合。又由會(huì)與腔心重合。又由看出，看出， 越大，越大， 越小。越小。00zR 即波陣面離中心越遠(yuǎn)，其即波陣面離中心越遠(yuǎn)，其曲率中心離腔中心越近，曲率中心離腔中心越近，如圖如圖(3.3.5)(3.3.5)所示。所示。0z0z當(dāng)當(dāng) ，即共焦腔的兩個(gè)反射鏡面正，即共焦腔的兩個(gè)反射鏡面正好與光束在

33、此兩處的波陣面重合；也就是說(shuō)鏡面上的好與光束在此兩處的波陣面重合；也就是說(shuō)鏡面上的各點(diǎn)具有相同的位相。各點(diǎn)具有相同的位相。LRLz002時(shí)，02200004)2(zLzLzzR（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院32波陣面的分布則示意于圖波陣面的分布則示意于圖(3.3.7)中。中?？偨Y(jié)：總結(jié)：共焦腔中的光束，好象是從腔軸上的一系列的共焦腔中的光束，好象是從腔軸上的一系列的“發(fā)光點(diǎn)發(fā)光點(diǎn)”上發(fā)出的球面波，其波陣面對(duì)腔的中心具有上發(fā)出的球面波，其波陣面對(duì)腔的中心具有對(duì)稱的分布對(duì)稱的分布.波陣面離中心越遠(yuǎn)，其曲率中心離腔

34、中心越波陣面離中心越遠(yuǎn)，其曲率中心離腔中心越近近（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院333 高斯光束的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角高斯光束的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角022002222)(1)()(2lim2Lzzzzz2遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角 (全角全角) 定義為雙曲線的兩根漸近定義為雙曲線的兩根漸近線之間的夾角線之間的夾角（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院34 共焦腔基模光束的理論發(fā)散角具有毫弧度的數(shù)量綴，共焦腔基模光束的理論發(fā)散角具有毫弧度的數(shù)量綴，它的方向性相當(dāng)

35、好它的方向性相當(dāng)好.由于高階模的發(fā)散角是隨著模的階次的增大而增大，由于高階模的發(fā)散角是隨著模的階次的增大而增大，所以多模振蕩時(shí)，光束的方向性要比單基模振蕩差所以多模振蕩時(shí)，光束的方向性要比單基模振蕩差4 高斯光束的高亮度高斯光束的高亮度亮度亮度B: 單位面積的發(fā)光面在其法線方向上單位立體單位面積的發(fā)光面在其法線方向上單位立體角范圍內(nèi)輸出去的輻射功率。角范圍內(nèi)輸出去的輻射功率。SIB222)(RR（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院35立體角越小，亮度越大；立體角越小，亮度越大；一般的激光器是向著數(shù)量級(jí)約為一般的激光

36、器是向著數(shù)量級(jí)約為10-6sr的立體角范圍的立體角范圍內(nèi)輸出激光光束的。而普通光源發(fā)光內(nèi)輸出激光光束的。而普通光源發(fā)光(如電燈光如電燈光)是朝向是朝向空間各個(gè)可能的方向的，它的發(fā)光立體角為空間各個(gè)可能的方向的，它的發(fā)光立體角為4sr。相。相比之下，普通光源的發(fā)光立體角是激光的約百萬(wàn)倍。比之下，普通光源的發(fā)光立體角是激光的約百萬(wàn)倍。例如一臺(tái)較高水平的紅寶石激光器，它的亮度約為例如一臺(tái)較高水平的紅寶石激光器，它的亮度約為1015W(cm2.sr),比普通疝燈還要高幾十億倍。比普通疝燈還要高幾十億倍。 （第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福

37、建師范大學(xué)光電學(xué)院36p小結(jié)：高斯光束的主要特征參量小結(jié)：高斯光束的主要特征參量 20L2200)(1)(zz02s022)(1 200zzR束腰半徑：束腰半徑：等相位面的曲率半徑：等相位面的曲率半徑：光束的有效截面半徑：光束的有效截面半徑：鏡面光束半徑：鏡面光束半徑：遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角：遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角：（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院37習(xí)題P70: 1，2，4（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院381 1 穩(wěn)定球面腔的等價(jià)共焦腔穩(wěn)定球面腔的

38、等價(jià)共焦腔對(duì)稱共焦腔中，對(duì)稱共焦腔中，在場(chǎng)的任意一個(gè)等相位面處放置具在場(chǎng)的任意一個(gè)等相位面處放置具有相應(yīng)曲率的反射鏡，不改變光場(chǎng)分布，因此有相應(yīng)曲率的反射鏡，不改變光場(chǎng)分布，因此任何任何一個(gè)對(duì)稱共焦腔存在無(wú)一個(gè)對(duì)稱共焦腔存在無(wú) 窮多個(gè)窮多個(gè)“等價(jià)等價(jià)”球面腔。反球面腔。反之，之，任意一個(gè)滿足穩(wěn)定性條件的球面腔只可唯一地任意一個(gè)滿足穩(wěn)定性條件的球面腔只可唯一地與一個(gè)共焦腔等價(jià)。與一個(gè)共焦腔等價(jià)。3.4 穩(wěn)定球面腔的光束傳播特性穩(wěn)定球面腔的光束傳播特性u(píng) 一般的穩(wěn)定腔可以直接求解積分方程得到腔內(nèi)外光一般的穩(wěn)定腔可以直接求解積分方程得到腔內(nèi)外光場(chǎng)分布函數(shù)，也可采用等價(jià)對(duì)稱共焦腔方法，將對(duì)稱場(chǎng)分布函數(shù)

39、，也可采用等價(jià)對(duì)稱共焦腔方法，將對(duì)稱共焦腔的結(jié)果推廣到一般穩(wěn)定球面腔。共焦腔的結(jié)果推廣到一般穩(wěn)定球面腔。（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院39圖圖(3-10) 球面腔的等價(jià)共焦腔球面腔的等價(jià)共焦腔LzzzfzRzfzR2122222111)(1 )(1 LRRLRLz22121LRRLRLz22112LRRLRRLRLRLf22121210假設(shè)雙凹腔兩鏡面假設(shè)雙凹腔兩鏡面M M1 1與與M M2 2的曲率半徑分別為的曲率半徑分別為R R1 1和和R R2 2，腔長(zhǎng)為腔長(zhǎng)為L(zhǎng) L，而所要求的等價(jià)共焦腔的共焦參數(shù)為，

40、而所要求的等價(jià)共焦腔的共焦參數(shù)為f f。如。如圖圖(3-10)(3-10)所示。則有：所示。則有：（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院40如果如果R R1 1、R R2 2、L L滿足滿足 ，不難證明，不難證明z z1 10 0、z z2 20 0、f f0 0，這說(shuō)明給定穩(wěn)定球面腔可唯一，這說(shuō)明給定穩(wěn)定球面腔可唯一確定一個(gè)等價(jià)共焦腔。確定一個(gè)等價(jià)共焦腔。 1)1)(1 (021RLRL2 2 穩(wěn)定球面腔的光束傳播特性穩(wěn)定球面腔的光束傳播特性 等效共焦腔的束腰半徑等效共焦腔的束腰半徑4122121212002121

41、212222LRRLRRLRLRLfLLLRRLRRLRLRLf并且（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院41原球面腔鏡面的基橫模光束有效截面半徑原球面腔鏡面的基橫模光束有效截面半徑 412121222412112211220021122121212121)()()()()(1)(222LRRLRLLRRLLRRLRLLRRLzzLRRLRLzLRRLRLzLRRLRRLRLRLfss（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院42 諧振頻率諧振

42、頻率 方形鏡一般穩(wěn)定球面腔的兩個(gè)反射鏡面頂點(diǎn)處的方形鏡一般穩(wěn)定球面腔的兩個(gè)反射鏡面頂點(diǎn)處的位相因子分別為：位相因子分別為：11111211, 0 , 0zfzftgnmfzkfz22122211, 0 , 0zfzftgnmfzkfz)2)(1(1)1 (2),(222nmLyxLkzyx（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院43按諧振條件，單程總相移必須滿足按諧振條件，單程總相移必須滿足 ，則有：則有：qzz12, 0 , 0, 0 , 0 qzfzftgzfzftgnmzzk221111211qzzffLtgnm

43、L212112qggnmL211cos12211cos112ggnmqLccmnq同理圓形鏡一般穩(wěn)定腔的諧振頻率同理圓形鏡一般穩(wěn)定腔的諧振頻率 112121 cos2mnqccqmng gL（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院44(1)(1)穩(wěn)定出光時(shí)激光器內(nèi)諸參數(shù)的表達(dá)式穩(wěn)定出光時(shí)激光器內(nèi)諸參數(shù)的表達(dá)式腔內(nèi)最小的光強(qiáng)腔內(nèi)最小的光強(qiáng)I I+ +(0)(0)：由部分反射鏡反射的，沿腔：由部分反射鏡反射的，沿腔軸傳播的光強(qiáng)。軸傳播的光強(qiáng)。1 1 均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率3.5 激光器

44、的輸出功率激光器的輸出功率 均勻增寬型介質(zhì)激光器通常只有一個(gè)縱模，即諧均勻增寬型介質(zhì)激光器通常只有一個(gè)縱模，即諧振頻率最靠近中心頻率的縱模振頻率最靠近中心頻率的縱模腔內(nèi)最大光強(qiáng)腔內(nèi)最大光強(qiáng)I-(2L)(2exp)0()2(2）內(nèi)GLIrLI（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院45由能量守恒定律可得：由能量守恒定律可得：圖（1）腔內(nèi)光強(qiáng)輸出光強(qiáng)：輸出光強(qiáng)：Iout=t1I-(2L)=t1r2I+(0)exp2L(G-a內(nèi)內(nèi))鏡面損耗：鏡面損耗：Ih=a1I-(2L)=a1r2I+(0)exp2L(G-a內(nèi)內(nèi))最大最小

45、光強(qiáng)、輸出光強(qiáng)和鏡面損耗之間的關(guān)系最大最小光強(qiáng)、輸出光強(qiáng)和鏡面損耗之間的關(guān)系)2()()0()2(11LItIIILIhout（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院46對(duì)于腔內(nèi)任何一處對(duì)于腔內(nèi)任何一處z都有兩束傳播方向相反的行波都有兩束傳播方向相反的行波I+(z)和和I-(2L-z)引起粒子數(shù)反轉(zhuǎn)分布值發(fā)生飽和，增益系數(shù)引起粒子數(shù)反轉(zhuǎn)分布值發(fā)生飽和，增益系數(shù)也隨之發(fā)生飽和。如果近似用平均光強(qiáng)也隨之發(fā)生飽和。如果近似用平均光強(qiáng)2I= I+(z)+ I-(2L-z)，用，用閾GIIGGs210作為腔內(nèi)的平均增益系數(shù)，則腔

46、內(nèi)的平均行波光強(qiáng)為：作為腔內(nèi)的平均增益系數(shù)，則腔內(nèi)的平均行波光強(qiáng)為：) 1(2) 1(200總閾aGIGGIIss平行行波光強(qiáng)平行行波光強(qiáng)（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院470, 0, 1222atr(2) 激光器的輸出功率激光器的輸出功率理想的情況理想的情況 ，將全反射鏡，將全反射鏡M2上的鏡面損耗都上的鏡面損耗都折合到折合到M1上，這樣對(duì)上，這樣對(duì)M2有：有：0內(nèi)a對(duì)對(duì)M1有：有：)(1111tar激光器的總損耗為：激光器的總損耗為：)(1ln21ln211121taLrrLaa內(nèi)總?cè)绻绻?很小，將很小，

47、將 用級(jí)數(shù)展開用級(jí)數(shù)展開取一級(jí)近似，可得：取一級(jí)近似，可得：11ta )(1ln11ta Ltaa211總（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院48激光器輸出光強(qiáng)可以表示為：激光器輸出光強(qiáng)可以表示為：) 12(211011taLGtIItIsout若激光器的平均截面為若激光器的平均截面為A，則其輸出功率為：，則其輸出功率為：) 12(211101taLGAItAIPsout則激光器內(nèi)行波的平均光強(qiáng)則激光器內(nèi)行波的平均光強(qiáng)I可以化為：可以化為：) 12(2110taLGIIs（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師

48、范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院49(3) 輸出功率與諸參量之間的關(guān)系討論輸出功率與諸參量之間的關(guān)系討論 P與與Is的關(guān)系的關(guān)系: 兩者成正比兩者成正比 P與與A的關(guān)系的關(guān)系: A越大，越大，P越大；所以高階橫模的輸越大；所以高階橫模的輸出功率比基橫的大。出功率比基橫的大。)2()2()()0()2(111LItLItaILI P與與t1的關(guān)系的關(guān)系: 實(shí)際中總是希望輸出功率大鏡面損耗小，實(shí)際中總是希望輸出功率大鏡面損耗小，即希望：即希望：) 12(211101taLGAItAIPsout（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第

49、3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院50要求要求t t1 1大，大，a a1 1小，使小，使t t1 1aa1 1，但，但 t t1 1過(guò)大又使增益系數(shù)的閾值過(guò)大又使增益系數(shù)的閾值G G閾閾升高，而如果介質(zhì)的升高，而如果介質(zhì)的雙程增益系數(shù)雙程增益系數(shù)2LG2LG0 0不夠大將會(huì)導(dǎo)致腔內(nèi)光強(qiáng)減小，使不夠大將會(huì)導(dǎo)致腔內(nèi)光強(qiáng)減小，使輸出功率降低。嚴(yán)重時(shí)使腔內(nèi)不能形成激光。輸出功率降低。嚴(yán)重時(shí)使腔內(nèi)不能形成激光。 t t1 1過(guò)小，雖然使過(guò)小，雖然使G G閾閾降低光強(qiáng)增強(qiáng)，但鏡面損耗降低光強(qiáng)增強(qiáng)，但鏡面損耗a a1 1I I- -(2L)(2L)也將增大。也將增大。Ltaa211總)2(

50、)2()()0()2(111LItLItaILI（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院51解此方程得：解此方程得： 為了使激光器有最大的輸出功率，必須使部分反射鏡的為了使激光器有最大的輸出功率，必須使部分反射鏡的透射率取最佳值：透射率取最佳值：0)(2(21) 12(210211011101taLGAIttaLGIAdtdPss)2()2(101121101aLGaaaLGt此時(shí)，激光器得輸出功率為：此時(shí)，激光器得輸出功率為： 210100101)2(21) 122()2(21aLGAIaLGLGaLGaAIPss（

51、第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院52(1)(1)穩(wěn)定出光時(shí)激光器內(nèi)諸參數(shù)的表達(dá)式穩(wěn)定出光時(shí)激光器內(nèi)諸參數(shù)的表達(dá)式 腔內(nèi)最大光強(qiáng)腔內(nèi)最大光強(qiáng))(2exp), 0(),2(2內(nèi)aGLIrLI 輸出光強(qiáng)輸出光強(qiáng))(2exp), 0(),2()(211內(nèi)aGLIrtLItIout 鏡面損耗：鏡面損耗：)(2exp), 0(),2()(211內(nèi)aGLIraLIaIh2 2 非均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率非均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率 頻率為頻率為v的光波只能使速度為的光波只能使速度為 的粒子數(shù)密度反的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布

52、值飽和，對(duì)其他速度的粒子幾乎無(wú)影響。轉(zhuǎn)分布值飽和，對(duì)其他速度的粒子幾乎無(wú)影響。zv（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院53 最小光強(qiáng)最小光強(qiáng)：)(2exp), 0(),2(), 0(211內(nèi)aGLIrrLIrI光波在腔內(nèi)傳播情況如圖所示：光波在腔內(nèi)傳播情況如圖所示：光波的頻率光波的頻率v不在非均勻增寬不在非均勻增寬介質(zhì)的中心頻率處，介質(zhì)的中心頻率處，頻率為頻率為v的光波，的光波， 和和 兩束光在增益系數(shù)的曲線上兩束光在增益系數(shù)的曲線上 的兩側(cè)對(duì)稱的的兩側(cè)對(duì)稱的“燒燒”了兩個(gè)孔。了兩個(gè)孔。),(zI)2 ,(zLI（

53、第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院540( )( )1DsGGGI I閾非均勻增寬型介質(zhì)對(duì)非中心頻率光波的增益系數(shù)非均勻增寬型介質(zhì)對(duì)非中心頻率光波的增益系數(shù) 腔內(nèi)不同地點(diǎn)的光強(qiáng)不同，取腔內(nèi)不同地點(diǎn)的光強(qiáng)不同，取I作為平均光強(qiáng)，當(dāng)作為平均光強(qiáng)，當(dāng)增益不太大時(shí)增益不太大時(shí)I=I+=I-，則介質(zhì)對(duì)，則介質(zhì)對(duì) 光波的平均增益光波的平均增益系數(shù)為：系數(shù)為：00光波的頻率為線型函數(shù)的中心頻率光波的頻率為線型函數(shù)的中心頻率 ，它只能使介，它只能使介質(zhì)中速度為質(zhì)中速度為 的這部分粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值的這部分粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值飽和

54、。此時(shí)腔內(nèi)的光強(qiáng)為飽和。此時(shí)腔內(nèi)的光強(qiáng)為I+I-，故介質(zhì)對(duì)，故介質(zhì)對(duì) 的增益的增益系數(shù)為：系數(shù)為：0vz閾GIIIGGsDD)(1)()(000（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院55 若腔內(nèi)各頻率的光強(qiáng)都等于若腔內(nèi)各頻率的光強(qiáng)都等于Is，則，則 以及以及 附近附近的的 光波所獲得的增益系數(shù)分別為：光波所獲得的增益系數(shù)分別為：002)()(3)()(0000DDDDGGGG和 1)()( 1)(21)(202000和閾閾GGIIGGIIDsDs 若增益系數(shù)的閾值都相等，則若增益系數(shù)的閾值都相等，則 和和 附近頻率附

55、近頻率為為 光波的平均光強(qiáng)分別為下值，且前者比后者要光波的平均光強(qiáng)分別為下值，且前者比后者要弱弱：00),2(),(00zLIzI 若用平均光強(qiáng)若用平均光強(qiáng)2I來(lái)代替來(lái)代替 ，則光波在腔中的平均增益系數(shù)可表示為：則光波在腔中的平均增益系數(shù)可表示為：閾GIIGGsDD21)()(000（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院562 激光器的輸出功率激光器的輸出功率（一）（一） 單頻激光器的輸出功率單頻激光器的輸出功率此時(shí)腔內(nèi)的平均光強(qiáng)為：此時(shí)腔內(nèi)的平均光強(qiáng)為： 1)(2()(2110taLGIIGs激光器的輸出光強(qiáng)為：激

56、光器的輸出光強(qiáng)為： 1)(2()()(211011outtaLGItItIGs若若 光束的截面為光束的截面為A，則激光器的輸出功率為：，則激光器的輸出功率為： 1)(2()()(21101taLGIAtAIPGsout Ltaara2; 1; 0112總內(nèi)0若腔內(nèi)只允許一個(gè)諧振頻率，且若腔內(nèi)只允許一個(gè)諧振頻率，且 ，激光器在，激光器在理想的情況下，仍有：理想的情況下，仍有：（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院57 1)(2(21)(211000taLGIIGs若腔內(nèi)單縱模的頻率為若腔內(nèi)單縱模的頻率為 ，激光器的腔內(nèi)

57、平均光強(qiáng)，激光器的腔內(nèi)平均光強(qiáng)為：為：0激光器輸出光強(qiáng)為：激光器輸出光強(qiáng)為： 1)(2(21)()(211001010outtaLGItItIGs0若若 光束的截面為光束的截面為A，激光器的輸出功率為：，激光器的輸出功率為： 1)(2(21)()(21100100taLGIAtAIPDsout（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院58 上圖為上圖為 輸出功率曲線，其在中心頻率處出現(xiàn)輸出功率曲線，其在中心頻率處出現(xiàn)一個(gè)凹陷，稱為一個(gè)凹陷，稱為“蘭姆凹陷蘭姆凹陷”)(P雖然介質(zhì)在中心頻率處的小訊號(hào)增益系數(shù)比其他任何雖然介

58、質(zhì)在中心頻率處的小訊號(hào)增益系數(shù)比其他任何頻率的小訊號(hào)增益系數(shù)大，但是激光器對(duì)頻率的小訊號(hào)增益系數(shù)大，但是激光器對(duì) 0光波的輸出光波的輸出功率要比它對(duì)功率要比它對(duì) 0附近各頻率光波的輸出功率還要低。附近各頻率光波的輸出功率還要低。212100ssIIII蘭姆凹陷蘭姆凹陷（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院59如何解釋蘭姆凹陷？如何解釋蘭姆凹陷？當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ，輸出功率，輸出功率P01vvqtiGvG)(10當(dāng)當(dāng) 時(shí)，激光振蕩將在增益曲線的時(shí)，激光振蕩將在增益曲線的v2和和 處造成兩個(gè)凹陷，激光功率處造成兩個(gè)凹陷，激

59、光功率P2正比于這兩個(gè)凹陷面積之和。正比于這兩個(gè)凹陷面積之和。2vvq2022vvv（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院603vvq當(dāng)當(dāng) 時(shí)，由于燒孔面積增大，所以功率時(shí)，由于燒孔面積增大，所以功率P3比比P2大。大。當(dāng)頻率當(dāng)頻率vq接近接近v0時(shí)，兩個(gè)燒孔部分重疊，燒孔面積可能小時(shí)，兩個(gè)燒孔部分重疊，燒孔面積可能小于于 時(shí)兩個(gè)燒孔面積的和，因此時(shí)兩個(gè)燒孔面積的和，因此PP2P10（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院62（二）（二） 多

60、頻激光器的輸出功率多頻激光器的輸出功率 如果相鄰兩個(gè)縱模的頻率間隔大于燒孔的寬度，并如果相鄰兩個(gè)縱模的頻率間隔大于燒孔的寬度，并且各頻率的燒孔都是彼此獨(dú)立的，則每個(gè)縱模的諸且各頻率的燒孔都是彼此獨(dú)立的，則每個(gè)縱模的諸參數(shù)與其它縱模不存在時(shí)一樣，有平均光強(qiáng)為：參數(shù)與其它縱模不存在時(shí)一樣，有平均光強(qiáng)為： 1)(2(21 1)(2()(211002110taLGItaLGIIDsDs00此時(shí)腔內(nèi)允許多個(gè)縱模存在。此時(shí)腔內(nèi)允許多個(gè)縱模存在。（第（第1章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院（第（第3章）章）福建師范大學(xué)光電學(xué)院福建師范大學(xué)光電學(xué)院63輸出功率為：輸出功率為： 1)(2(21 1