第二章極限習(xí)題及答案：極限的四則運(yùn)算

1、自變量趨向無窮時(shí)函數(shù)的極限例求下列極限:(1)lim42.x -5x 1X1二1 -X2 c 4-2x(2)分析:第（1）題中，當(dāng)xt g時(shí)，分子、分母都趨于無窮大，屬于“-"型，變形Q0lim 22x2 -1 2x +1 ,的一般方法是分子、分母同除以x的最高次哥，再應(yīng)用極限的運(yùn)算法則.x3 ,x2第（2）題中，當(dāng)xT g時(shí)，分式 Y 與都趨向于8,這種形式叫“8 8”2x2-1 2x 1型，變形的一般方法是先通分，變成“°°,42x -5x 1斛：(1) lim24x >: 1 -x -2xu二 lim x F二 1-4 1 x型或“ 0”型，再求極限.

2、0? 1 x4-2 x51lim 1 - lim lim 4x x：xx f：x.1lim 4f ：x4-lim- lim 2xj二二1-00 _ 10-0-2 - 2 lim 2x，二 2x -12x2x 1=limxj二x3(2x 1) - x1 2 (2x2 -1)(2x2 -1)(2x 1)=lim 2x 二(2x2 -1)(2x 1)=limx )二二11(2)(2 一)11呵（2一/）呵（2 ；）(2-0)(2 0) 4說明：“三”型的式子求極限類似于數(shù)列極限的求法.O0無窮減無窮型極限求解例求極限:(1) lim (. 1 x x2 - 1 - x x2)x .： lim ( .

3、, 1 x x lim i-十工十十(一1尸 1 x x2)x> 二分析：含根式的函數(shù)求極限，一般要先進(jìn)行變形，進(jìn)行分子、分母有理化，再求極限. 一，、2x解：(1)原式"lim"x *-二.1 x x2. 1 - x x2lim 1-2 x2x x2 J -x x2說 明2x.1 x x2. 1 - x x2(2)原式=lim2 < 0 時(shí) ，x ¥ Vx2, 因 此 x：1 x x2.1 - x x2利用運(yùn)算法則求極限例計(jì)算下列極限:(1) li4+ 二n 11+n 匚3 9 27 (1992年全國(guó)高考試題，文科難度0.63) 1 n 3n -1

4、解： (1)原式=lim 2-2n-2,i；n2 1 n2 1 n2 1;價(jià)晶學(xué)月網(wǎng) ,com3n2 n3-1= lim 2 r ="m n n； 2 n 1 n 22 n131 一川im 1n .二 4(2)原式=lim n J二二說明：該題計(jì)算時(shí)，要先求和，再求所得代數(shù)式的極限， 不能將只適用有限個(gè)數(shù)列的加、 減、乘、除的數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則，照搬到無限個(gè)數(shù)列的加、減、乘、除，超出了法則 的適用范圍，下面的計(jì)算是錯(cuò)誤的：一 .1.4. 3n-2(1)原式=lim -3lim -3lim -3n、二n2 1n rn2 1 n2 1110 =3n 3 9 27(2)原式 = lim

5、 1 -lim 1 +lim 十+lim (-1 產(chǎn)n ”：3 n 9 -9 n 2 -27n)二用二項(xiàng)式定理展開或逆用等比數(shù)列和公式化簡(jiǎn)求極限1 p11 -1.n1分析：把十1 ；P”用二項(xiàng)式定理展開或逆用等比數(shù)列和公式即可求得.【nJ辦 11 *解：: 1+ I < nJ1n=1 CpCp1(-)2 - Cp'；(1)p1n nnc1- 1 c 2 -I 2 c 3.c p 1 / 1 p=Cp 1-Cp 1(-) Cp 1 Cp 1(一)n nn11 /平11-1lim n = C1 1 = p 1n ：1p 1 產(chǎn)n或：逆用等比數(shù)列求和公式:二11- T = p 1p 1

6、個(gè)說明：要注意p是與n無關(guān)的正整數(shù),1+1；不是無限項(xiàng)，對(duì)某些分式求極限應(yīng)先,n對(duì)式子進(jìn)行必要的變形， 使之成為便于求極限的形式，以利問題的解決， 經(jīng)常用到的技巧是分母、分子有理化或按二項(xiàng)式定理展開等等.零乘無窮型轉(zhuǎn)化為無窮除無窮型例求 lim (Jn +1 v'n)Vn.n一)二分析：當(dāng)nT必時(shí)，所求極限相當(dāng)于 0型，需要設(shè)法化為我們熟悉的二型.解：lim ( . n 1 - . n)、. nnT 二二v n"一'.：, n T . n說明：對(duì)于這種含有根號(hào)的 。8型的極限，可采取分子有理化或分母有理化來實(shí)現(xiàn).如本題是通過分子有理化，從而化為,即為三型，也可以將分子

7、、分母同除以 n cO的最高次哥即 品,完成極限的計(jì)算.根據(jù)極限確定字母的范圍曲盛產(chǎn)曬4n1例 已知lim 4=,求實(shí)數(shù) m的取值范圍.n 44n 2 (m 2)n 16分析：這是一個(gè)已知極限的值求參數(shù)的范圍問題，我們?nèi)匀粡那髽O限入手來解決.4n斛：lim 口 2limn' 4n 2 (m 2)n 16116<1,即 _4<m+2<4,6<m <2 .說明：在解題過程中，運(yùn)用了逆向思維，由lim n '二二11 .n =可知,(m + 2516、4 J極限必為0,而qnT 0的充要條件是q <1,于是解不等式16零比零型的極限求limx_01

8、01 x -1八，、口 人 0， e I小，,101, x-1 八八 ,分析：這是一個(gè)0型的極限，顯然當(dāng) XT 0時(shí)，直接從函數(shù) -1 x 1分子、分母中0X約去X有困難，但是W+X -1當(dāng)XT 0時(shí)也趨近于0,此時(shí)X化為(1$1 + x)10 -1 ,這就啟發(fā)我們通過換元來解決這一難題，即設(shè) y =巧記，則x = y10 -1 .解：設(shè)y =黝+x ,則x = y10 -1,于是，當(dāng)XT 0時(shí)，yT 1 .原式 : lim y0 1 ; lim 98二 y 1 y -1 y 1 y y y 110說明：本題采用的換元法是把 xt 0化為y -1t 0 ,這是一種變量代換.靈活地運(yùn)用這種代換，

9、可以解決一些 0型的極限問題.0一,x2 -1例如對(duì)于lim,我們一般米用因式分解,I x -1然后約去X-1,得到lim(x+1) = 2 .其X >1實(shí)也可以采用這種代換，即設(shè) t =X -1 ,則當(dāng)XT 1時(shí)，tT 0 ,這樣就有0limx 1X2 -1X -12(t 1) -1lim (t 2) =2.組合與極限的綜合題A. 0分析：解:nim昌C .C2n 21B. 2 C.一2D.將組合項(xiàng)展開后化簡(jiǎn)再求極限.一 UnnimCT；=limnf=lim(2n)! (n 1)!(n 1)!n!n! (2n + 2)!_(n 1)2n y2n1)(2n2)2一，n2n- 11=lim

10、 -2=.n F：4n26n24故應(yīng)選D.說明：本題考查組合的運(yùn)算和數(shù)列極限的概念.高考填空題1 .計(jì)算 lim (n )n二n 22 .若數(shù)列An )的通項(xiàng)公式是an1(n u N ),則 lim (a1 +n an)= n(n 1)n-：n 3 c3計(jì)算：nim(n-/1.解析.n lim n 2二e二11n 2 一一說明：利用數(shù)列極限公式liml'二 nn=e,把原題的代數(shù)式稍加變形即可獲解.本題主要考查靈活運(yùn)用數(shù)列極限公式的能力.，砧乩學(xué)，,com2.解析 an11,- a1 二一n(n 1)2.lim n2f"21 1 n(n +1)=lim ( -n)二 2)41

11、說明：本題的思考P礙點(diǎn)是如何求 a1 只要懂得在通項(xiàng)公式中令n = 1 ,可立得a1的具體值，本題考查數(shù)列極限的基本知識(shí). , n 3 n3.解析 lim( )n一：n 12n2nJ.= lim (1 +)2n-)pcn +1說明：本題考查數(shù)列極限公式的應(yīng)用.根據(jù)已知極限和四則運(yùn)算求其它極限若 lim 2nan =1 ,且 lim an 存在，則 lim (1 -n)an = n .n .n_.A. 0_1B. 一2C. 一工 D.不存在2分析：根據(jù)題設(shè)知nan和an均存在極限，這是進(jìn)行極限運(yùn)算的前提，然后相減即可求得結(jié)論.解：nim/nalim .an n lim 2nann n1=lim

12、二0f： 2nnman =0又 lim 2nan =1, lim nann .n ：.nim：(1 -n)an即 lim (1 -n)annT 二選C.，./、，.c 11= nim：(an -nan) man imnan =0； =21= .2說明：nman是關(guān)鍵，不能錯(cuò)誤地認(rèn)為nim/n=0，nm(1 n)an =0.兩個(gè)數(shù)列4、&n的極限存在是兩個(gè)數(shù)列的和.差、積存在極限的充分條件.但生bn的極限不一定存在.化簡(jiǎn)表達(dá)式再求數(shù)列的極限例求下列極限(1)357 2n 1lim J' .、n 1 n 1 n 1 n 1(2),1111 -lim93rn .1111一 一2 42

13、n分析：先運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前式，再進(jìn)行極限的四則運(yùn)算.n項(xiàng)公式求和，或運(yùn)用其他方式化簡(jiǎn)所給表達(dá)解:(1)原式=lim+(2n 1) n2 1limn(一：n 1=limn.11 2 n式1M-lim 1-limp n4 n : 3 3lim1-lim 1 nn二 n二2n 1n 2limn )二2nn 2=2.說明：先化簡(jiǎn)，再求極限是求極限經(jīng)常用到的方法，不能認(rèn)為0,lim 25=0,j：in2 1，nim2n 1n2 1=0而得到（1）的結(jié)果是0.畫產(chǎn)睥無窮比無窮和字母討論的數(shù)列極限例求下列極限: lim2"."nf：3 2n 4 3nn1 - a（2）nim：K

14、（a0）分析：第（1）題屬“三”型，一般方法是分子，分母同除以各式中募的值最大的式子.第oO（2）題中當(dāng)a的值在不同范圍內(nèi)變化時(shí), 各種情形進(jìn)行討論.分子，分母的極限或變化趨勢(shì)）不同，因此要分解：（1）原式2 2n -15 3n: limn-n > -3 2n 4 3n2 2 -15= lim -3-n-3 243n2lim 2一.3-lim 15n-j 二二2 0-15153lim -n1二3lim 4n ）二二（2）當(dāng) 0 <a <1 時(shí),.1 -1 C=lim= 0 ， 111 - a當(dāng) a >1 時(shí)，lim二1 alimn一.y alimn一.y alim 1n

15、： ：0-1,=-10 1lim 1n .二二說明：含參數(shù)的式子求極限，經(jīng)常要進(jìn)行討論，容易出現(xiàn)的問題是錯(cuò)誤地認(rèn)為根據(jù)極限確定等比數(shù)列首項(xiàng)的取值范圍例已知等比數(shù)列On ai的首項(xiàng)為a1，公比為q,且有l(wèi)im In f，1 qn-q值范圍.分析：由已知條件及所給式子的極限存在，可知Jjmqn存在，因此可得q的取值范圍,從而確定出a1的取值范圍.解：由 limaL -qnn 1 q1 n一,得lim q存在.21q <1 且q *0 或q =1 .當(dāng)q <1時(shí)，有a11=.，1 q 2q =2a( -1 ,- 2a -1 <1 解得 0 <a1 <1 ,當(dāng)q =1時(shí)，

16、這時(shí)有l(wèi)im ! a1 _1 = n,21 . 一綜上可得：0<a1 <1,且a1/3或a1=3.說明：在解決與數(shù)列有關(guān)的問題時(shí)，應(yīng)充分注意相關(guān)知識(shí)的性質(zhì)，僅從極限的角度出 發(fā)來考慮q的特點(diǎn)，容易將q#0這一條件忽視，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.求函數(shù)在某一點(diǎn)處的極限例求下列極限:(1)lim3x 2(2)2x2 17x 35lim 9x )5 x 13x 40(3).2 sin x lim3x01 -cos x(4)6x2 -9分析:、（3）第（1）題中，x=2在函數(shù)的定義域內(nèi)，可直接用極限的四則運(yùn)算法則求極限；兩個(gè)極限分子、分母都趨近于 0,屬“ 0”型，必須先對(duì)函數(shù)變形，然后施行四0則運(yùn)算

17、；（4）為“笛-笛”型，也應(yīng)先對(duì)函數(shù)作適當(dāng)?shù)淖冃危龠M(jìn)行極限的運(yùn)算.解：（1）92,2x34 x3+2= lim"im¥X 起 x2 4 x 正 x3 2lim(3x 2) lim 2x3 23lim(x2 4) lim(x3 2)3lim x lim 2 2lim x3_ T T . x-2_lim x3 lim 4 lim x3 lim 2二1135.(2)2x2 17x 35 (x 5)(2x 7) 2x 7lim -2二 lim二 limx )5 x 13x 40 x 5 (x 5)(x 8) x )5 x 82 (-5) 71二一I.(-5) 8(3)2 sin

18、x lim3x)01 - cos x21 一 cos x2、(1 -cosx)(1 cosx cos x)1 cos21 cosx cosx2 -9lim 6J3x -9lim，x R x 3說明：不能錯(cuò)誤地認(rèn)為，由于不存在，lim) x 3 x2 -96山，也不存在,因此（4）式的極限不存在.（4）屬于型，一般要先對(duì)函數(shù)式進(jìn)行變形，變?yōu)?，0型或“”O(jiān)O型，再求極限.函數(shù)在某一點(diǎn)處零比零型的極限例求下列極限:1 - x(1) lim-x ：11 -3xtan x -sin x(2) lim 3x 2 二 sin x分析：第（1）題中，當(dāng)xt 1時(shí)，分子、分母的極限都是0,不能用商的極限的運(yùn)算法則，應(yīng)該先對(duì)分式變形，約去一個(gè)極限為零的因式后再應(yīng)用極限的運(yùn)算法則求分式的極限, 常用的變換方法有：(2)對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解； 對(duì)無理式分子或分母有理化；對(duì)三角函數(shù)式（如第題，先進(jìn)行三角恒等變換，再約分.解：(1)原式=lim(1型小；沙tx+3幻x 1 (1 -3 x)(1 3 x 3 x2)(1 % x)3 132、.(1 -x)(1 x x )二 lim