基于MATLAB的簡諧振動合成圖形的動態(tài)演示13.5.18 1224

1、作者簡介：谷曉琪，女(回)，1991年，黑龍江省雞西市，學生，本科，主要研究方向：電子信息科學與技術(shù)。地址：北京市清華東路35號北京林業(yè)大學理學院，E-mail： a410427843；周修文，女，1992年，山東省青島市，學生，本科，主要研究方向：電子信息科學與技術(shù)。地址：北京市清華東路35號北京林業(yè)大學理學院，E-mail：zhouxiuwen0323；田振國，男，1992年，湖北，學生，本科，主要研究方向：電子信息科學與技術(shù)。地址：北京市清華東路35號北京林業(yè)大學理學院，E-mail：740118745。基于MATLAB的簡諧振動合成圖形的動態(tài)演示谷曉琪 周修文 霍虎* 田振國（北京林業(yè)

2、大學 理學院，北京 100083）摘要：利用MATLAB編程制作GUI用戶界面，通過用戶輸入簡諧振動的各個參數(shù)，得到一維、二維簡諧振動合成的圖形，并研究不同參數(shù)對簡諧振動合成的影響，觀察合成圖像的變化。在此基礎(chǔ)上，利用MATLAB實現(xiàn)三維簡諧振動合成的仿真實驗?！娟P(guān)鍵字】 MATLAB；簡諧振動；合成；動態(tài)演示【中圖分類號】O4-39 【文獻標識碼】A【作者單位】 北京林業(yè)大學理學院 100083【通訊作者】 霍虎 E-mail：huzi2099簡諧振動的合成是力學的主要內(nèi)容之一，在大學物理的學習中已經(jīng)對多個同頻率簡諧振動的合成進行了較為詳細的討論,但研究僅局限于兩、三個不同頻率簡諧振動在一、

3、二維坐標中的合成情況，三維無法體現(xiàn)。利用MATLAB 繪出多不同頻率簡諧振動在一、二及三維坐標中合成的波形及軌跡, 并依據(jù)這些波形與軌跡, 探討多個不同頻率簡諧振動的合成規(guī)律。1.研究意義利用MATLAB GUI軟件的制作，對一維、二維及三維簡諧振動的授課方式及仿真實驗提供了新的方法。在傳統(tǒng)教學的過程當中，簡諧振動的合成通過示波器來觀察，其合成圖像往往與理論值有較大偏差，其主要存在的問題有以下幾個方面：（1） 課堂時間緊迫，圖像合成演示的直觀顯示多要在實驗課當中進行操作，不利于學習的及時記憶和直觀了解。（2） 電路布線不合理引起的交叉干擾、電感漏磁容易引起合成圖像失真【1】。（3） 示波器無法

4、合成及演示三維簡諧振動的合成圖像。（4） 示波器探頭種類繁多，對于精確的理論圖形的演示難以企及，且探頭可提供測試需要的保真度往往較低。（5） 對于簡諧振動合成的計算比較復(fù)雜，示波器無法高精度的實現(xiàn)圖形的模擬合成。針對以上問題制作的MATLAB GUI簡諧振動合成的程序，能幫助授課教師在課堂上直觀的演示簡諧振動的合成，直觀對比理論測量與實際測量。2.基本原理2.1一維簡諧振動合成原理2.1.1 多個一維同頻率簡諧振動的合成設(shè)質(zhì)點在方向上同時參與個同頻率簡諧振動，振動方程【2】為：其中，其中為振幅， 為角頻率，為初相位，則質(zhì)點的合振動為：式中，分別為和振動的振幅和初相位，由（1）式可知多個一維同頻

5、率簡諧振動可合成為一個同頻率的簡諧振動，其軌跡是余弦(或正弦)曲線。利用MATLAB進行合成演示，上述推證可得到證實。2.1.2 多個一維不同頻率簡諧振動的合成一般情況下，多個不同頻率簡諧振動的合振動不再是簡諧振動，而是復(fù)雜的運動。利用MATLAB進一步研究可知，多個一維頻率比為有理數(shù)簡諧振動的合振動雖然復(fù)雜但具有周期性，而多個一維頻率比為無理數(shù)簡諧振動的合振動則既復(fù)雜又無周期性【3】。由圖1可知，多個一維同振幅、同相位頻率相差不大簡諧振動的合成，其結(jié)果形成多個大小不一的拍4。進一步研究可知，多個一維同振幅、同相位頻率相差不大簡諧振動的合振動是這些簡諧振動兩兩合成的幅度減小的拍的疊加，其結(jié)果形

6、成個大小不一的拍多拍現(xiàn)象。其中，主拍的拍幅很大(為單個簡諧振動振幅的倍)，而次拍的拍幅則比較小【5】。圖1 一維多個不同頻率簡諧振動合成2.2 二維簡諧振動的合成李薩茹圖形2.2.1相互垂直同頻率簡諧振動的合成 當一個質(zhì)點同時參與兩個不同方向的振動時，一般情況下質(zhì)點將做平面曲線運動，其運動軌跡的形狀將由兩個分振動的周期、振幅和它們的相位差決定6。沿兩個振動的方向分別建立x，y軸，并以質(zhì)點的平衡位置作為坐標原點，則這兩個分振動可分別表示為： 在t 時刻，質(zhì)點的位置可由坐標x，y 確定。上述方程是以時間 作為參變量的運動軌跡的參數(shù)方程，從中消去，便得軌跡方程：此式是橢圓方程，它表示兩個相互垂直且同

7、頻率的簡諧振動合成的軌跡是橢圓。隨著相位差值的不同，合成橢圓的形狀也不同【7】。2.2.2相互垂直不同頻率簡諧振動的合成 如果兩個相互垂直的振動頻率不相同，它們的合運動比較復(fù)雜，若隨意選取兩種分振動，可以看到合成軌跡是不穩(wěn)定的，而且沒有規(guī)律可循。（1）兩振動的頻率有很小的差異，可近似看成同頻率振動的合成，不過相位差在緩慢地變化，在范圍內(nèi)由直線變成橢圓再變成直線等。（2）如果兩振動頻率相差較大，但有簡單整數(shù)比，則合成運動有穩(wěn)定封閉的運動軌跡，稱為李薩如圖形，其形狀與互相垂直的分振動的角頻率之比、各自初相位以及初相位差都有關(guān)系5。圖2為兩振動的頻率有簡單的整數(shù)比，合成運動為李薩如圖形。運行中可以看

8、到以質(zhì)點運動軌跡的方式呈現(xiàn)的動畫。圖2 一維多個不同頻率簡諧振動合成2.3三維簡諧振動的合成設(shè)分別沿z、y和z向的頻率不同的簡諧振動的表達式為： 此方程組就是合運動軌跡的參數(shù)方程。設(shè)x、y和z向振動滿足頻率比為整數(shù)比： 其中，為不可約的整數(shù)，和為不可約的整數(shù)，那么存在：其中是x方向的振動周期，是和的最小公倍數(shù)，就是(1)式描述的空間曲線的參數(shù)周期，也就是上述曲線為閉合曲線。以x、y和z為坐標的空間點在時間內(nèi)完成閉合曲線的一次掃描，然后重復(fù)掃描，這就是三維李薩如曲線。如果不滿足(2)式，那么(1)式描述的曲線不是閉合曲線【8】。利用MATLAB進行三維簡諧振動的合成，得到圖3。可看出，當分振動為

9、簡單整數(shù)比時，三維合成的圖像也有類似李薩茹圖像的情況。圖3 三維簡諧振動的合成3.GUI界面及仿真流程利用MATLAB制作的用戶界面人工操作，用戶通過主頁面選擇所需功能，進入各功能頁面后完成各函數(shù)讀取目標，完成函數(shù)識別與圖像的合成。整個仿真實驗的流程如圖4。圖4仿真流程圖設(shè)置個控件屬性編輯各方向的簡諧振動開 始掃描各輸入?yún)?shù)的調(diào)用comet9函數(shù)進行合成送用axes顯示圖像結(jié) 束4.結(jié)束語該實驗通過MATLAB制作，利用MATLAB作為仿真平臺，動態(tài)顯示多個不同頻率的簡諧振動、互相垂直的不同頻率的兩個簡諧振動、三維簡諧振動的合成，讓學生能在計算機上形象直觀的認識并掌握三維的簡諧振動的合成圖象，

10、尤其是多個、稍大頻率的李薩如圖形的合成，得出大頻率李薩如圖形仿真實驗圖象。參考文獻：1百度文庫.示波器知識百問EB/OL. 2011-1-12. 2馬文蔚等.物理學M. 北京市:高等教育初版社2001:134-136.3藍海江.多個簡諧振動的合成J.廣西科學院學報,2009,1:22-25.4 王寧星.拍圖形的對稱性J. 廣州大學學報，2002，1(5)：89-91.5吳俊，張毓麟，晏世雷等.三個簡諧振動合成的拍現(xiàn)象和實驗儀J.物理與工程，2008(03):38-39.6劉慧，王玉連，李勇. MATLAB在簡諧振動的合成教學中的應(yīng)用J.科技信息博士·專家論壇， 2010(20)：43

11、4-436.7熊德永，馬慧.互相垂直同頻率簡諧振動的合成軌跡方程的推導(dǎo)J.安徽科技學院學報，2012(02)：278康文秀.三維李薩如圖J.物理與工程， 2004(01):11-12.9張國輝.基于MATLAB的函數(shù)作圖J.湖南城市學院學報，2009，18(1):35-37.Study on composograph of simple harmonic vibration using MATLABGU Xiao-qi, ZHOU Xiu-wen, Huo hu*,TIAN Zhen-guo(College of science, Beijing Forestry University, Be

12、ijing 100083, China)Abstract: Based on MATLAB programming ,producing the GUI user interface. User inputs parameters and could get one-dimensional, two-dimensional harmonic synthesis of graphics,and to study the effect of diffe- rent parameters on the composition of simple harmonic vibration effects,

13、observation of synthetic image changes.On this basis,using MATLAB to achieve three-dimensional composition of simple harmonic vibra- tion simulation experiment. Keywords: MATLAB; harmonic vibration; synthesis; dynamic demonstration全文總字數(shù):3308;谷曉琪 Gu Xiaoqi 出生年：1991年出生地：黑龍江省雞西市工作單位：北京林業(yè)大學；通信地址：北京市海淀區(qū)清華東路35號北京林業(yè)大學；郵編：100083；聯(lián)系電話E-mail：a410427843周修文 Zhou Xiuwen出生年：1992年出生地：山東省青島市工作單位：北京林業(yè)大學；通信地址：北京市海淀區(qū)清華東路35號北京林業(yè)大學；郵編：100083；聯(lián)系電話E-mail：zhouxiuwen0323田振國 Tian