特級教師、優(yōu)秀教師的教案、教例分析系列(2)

1、案例2 “球的體積”教學(xué)南京師大附中馬明編者按：馬明先生的這篇用“祖咂原理”來推導(dǎo)“球的體積公式”的教案，風(fēng)靡全國久矣。然現(xiàn)行高中立幾教材對“球的體積公式”已不用“祖咂原理”來推導(dǎo)，而采用“分割，求近似和轉(zhuǎn)化為準(zhǔn)確和”的方法。本書之所以再次轉(zhuǎn)載，是因?yàn)檫@篇教案魅力不減，仍極具教學(xué)參考和鑒賞階值。一、教案描述：通過“球的體積”的教學(xué)，不僅要求學(xué)生熟記球的體積公式，更要培養(yǎng)學(xué)生觀察、估算、猜想、構(gòu)造和論證能力，并注意完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)若只要求學(xué)生記住有關(guān)公式，剩下的就是反復(fù)練習(xí)一一解幾個(gè)一元方程：已知半徑求體積；已知體積求半徑，這是降低教學(xué)要求，把高中課降為初中課的做法師：（板書）已知球的半徑為 R

2、,求V球=?（出示小黑板一一圖 23）思維從問題開始師:為了計(jì)算半徑為 R球的體積，可以先計(jì)算半球的體積 V半下.觀察圖23,你一定能在V圓柱、V半球、V圓錐這三個(gè)量之間正確地寫上不等符號（學(xué)生完成）得V圓柱V半球V圓錐.提供類比，讓學(xué)生目測大小，溫故而知新，用以強(qiáng)化認(rèn)識過程師:由于 是已知的，便得雙重不等式（板書）：3. .13V圓柱二R、V圓錐二一 R3向“量化”過渡你能猜測V半球=?引誘學(xué)生猜想.猜想是發(fā)現(xiàn)的開始生:誘導(dǎo)一下c33 Q 1 Q師:（兀R3的系數(shù)“代寫為 女”,得3 R3>V>- R3333師:可以大膽一些，準(zhǔn)許猜錯(cuò).，一 2 生：V半球=R對嗎？3此答案不一定

3、出自成績最好的學(xué)生，而是膽大者，思維活躍者師:有一定理由，因?yàn)?/3>2/3>1/3嘛!然而，這太冒險(xiǎn)了 .既鼓勵(lì)，又提出更高要求，使學(xué)生仍處于激奮境地用行動(dòng)支持敢于大膽猜想的學(xué)生師:我們不妨做一個(gè)試驗(yàn)，用以驗(yàn)證這個(gè)猜想.理、化有實(shí)驗(yàn)，數(shù)學(xué)也可以有實(shí)驗(yàn)，美國盛行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)法”，這對激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣， 培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力都十分有利取一個(gè)半徑為 R的半球面，再取半徑和高都是R的圓桶和圓錐各一個(gè)，都是鐵皮制成的容器.將圓錐放入圓桶內(nèi)（圖24），再將半球容器裝滿細(xì)沙，然后把半球內(nèi)的細(xì)沙倒入圓桶內(nèi)，發(fā)現(xiàn)圓桶恰好被裝滿師:你能將實(shí)驗(yàn)結(jié)果用一個(gè)等式表達(dá)出來嗎？鼓勵(lì)學(xué)生將實(shí)驗(yàn)結(jié)果量化”（構(gòu)造一個(gè)等式）

4、是十分重要的數(shù)學(xué)方法生1:板書V圓柱一V圓錐二V半球3 13 23生2:板書V半球=7圓柱一V圓錐=R - R = R3343師:于是得（板書）V =- R33且V圓柱：V半下: V圓錐=3:2:1師:中學(xué)數(shù)學(xué)是建立在推理的基礎(chǔ)上的，實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否可靠？還要進(jìn)行論證才行.中學(xué)理、化是建立在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上的用數(shù)學(xué)工具去證明實(shí)驗(yàn)結(jié)果，學(xué)生興趣盎然師:我們現(xiàn)在的任務(wù)是證明這個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，或者說，是要證明圖23右邊充滿細(xì)沙的幾何體與左邊充滿細(xì)沙的半球是等積形.而右邊幾何體的體積是已知的.板書31r32r3該幾何體的體積=R3- R3 = - R3.如果再能證明它又符合祖 咂原理中的“條件” 33我們就可以將它

5、做為半球的參照體.;為了運(yùn)用祖附I原理,所引入的幾何體必須符合兩個(gè)條件：它的計(jì)算公式是已知的它符合祖咂原理的條件；該幾何體與原幾何體要夾在兩個(gè)平行平面之間，且用平行于這兩個(gè)平面的任意一個(gè)平面去截時(shí)，截得的截面面積總相等.符合以上兩個(gè)條件的幾何體可叫做原幾 何體的參照體，在前面推導(dǎo)柱、錐的體積的多次教學(xué)中應(yīng)該引用這個(gè)術(shù)語，讓學(xué)生熟悉祖 ffi 原理與該術(shù)語的關(guān)系該幾何體與半球同高（R）,這說明它與半球可以夾在兩個(gè)平行平面之間，剩下的問題是要證明它與半球的等距截面的面積相等.用與底面平行的任一平面去截圖 24的兩個(gè)幾何體，截面分別是圓面和圓環(huán)面（圖25）.如 果截面與平面”的距離為i,那么圓面半徑

6、r Jr2 l2,圓環(huán)面的大圓半徑為 R,小圓半徑為 1,因此S 圓=兀r2= mr2 -i2）,S圓環(huán)=#2兀12=兀62 -i2）,所以S/=S環(huán)根據(jù)祖咂原理，這兩個(gè)幾何體的體積相等，即R2 |r 1 R2 |rV半球二32 r3 34 r3所以V球=一 R 3由此，“猜想”得到證明，可以寫成定理形式：從猜想到證明是“質(zhì)”的升華！是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最重要的素質(zhì)定理：如果球的半徑是R,那么它的體積是V 球=4 R33師：你準(zhǔn)備怎樣記憶這個(gè)結(jié)論呢？不管是意義識記或是機(jī)械識記，在這里都是有效的，都是可行的.根據(jù)各個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí) 習(xí)慣，不必強(qiáng)求一律生1:根據(jù)“細(xì)沙實(shí)R31 D3 驗(yàn)”- R3V半球二丫圓柱

7、一V圓錐R3R3生2:我保要記住 V圓柱:V半球：V圓錐=3:2:1就行了 .師:還有其它的記憶方法嗎?例如，把球體視為擬柱體，采用擬柱體的體積公工試試看數(shù)學(xué)教師要不要培養(yǎng)學(xué)生的記憶能力？這是有爭議的.看來,數(shù)學(xué)教師有可能，也有必要去 培養(yǎng)學(xué)生的記憶能力生:板演S/1 c CV擬柱體=h S 4S0 6對于球，h 2R,S S所以曠球=>0一 一20,S0R4 R2 04R3隨時(shí)復(fù)習(xí)與應(yīng)用擬柱體公式師:這能作為球體積公式的證明嗎生:球體不是擬柱體，不能作為證明，但可以作為一種記憶方法師:還有其它的記憶方法嗎？例如，將球體分割成許多小的錐體，球心是這些小錐體的頂點(diǎn)錐的底面不是平面，而是球面

8、的一小部分（是曲面）請看圖26.是可貴的數(shù)學(xué)思想于是V球=許多小錐體之和，而這許多小錐的高可視為球半徑R,又因?yàn)樗行″F體的底之和=球面積=4 tR2,1所以V球=3 °-|43lS2IG hR2R3發(fā)展學(xué)生的空間想象能力同樣，這也不能作為球體積公式的證明.但是，使人感到興趣的是，擬柱體小錐體與球體的這種“默契”，這種內(nèi)部的一致，給人們和諧的感覺，它不僅可以幫助人們記憶，還給人以和諧美 的感受！升華了 師:現(xiàn)在再請大家自己解答一個(gè)問題板書不十分困難的例題由學(xué)生自己解答，然后再對照課本并進(jìn)行議論，有時(shí)比教師直接講解要收效大些，不妨一試有一種空心鋼球，重142g,測得外徑等于5.0cm

9、,求它的內(nèi)徑（鋼比重是7.9g/cm3）.師:這是課本的例題，解完后自行對照課本.同時(shí)由一位學(xué)生板演議論：（略）師:今天這堂課的關(guān)鍵是構(gòu)造一個(gè)球的參照體，而“細(xì)沙實(shí)驗(yàn)”幫助我們解決了這個(gè)問題你能離開實(shí)驗(yàn)，經(jīng)過分析直接構(gòu)造這個(gè)參照體嗎？代替小結(jié)，將課內(nèi)效果引向課外一一直接構(gòu)造參照體、教案分析這份教案顯然是寫給別人看的 ，如果只是為了自己教學(xué)，我想，只要記下教學(xué)過程就行了 ：1 提出問題V求二?2 目測圓柱、半球、圓錐這三者之間的大小關(guān)系 口233 得猜想：V半球 -R4 細(xì)沙實(shí)驗(yàn)一一驗(yàn)證“猜想”5 構(gòu)造參照體，證明“猜想”6 得定理談?dòng)洃? 例題小結(jié)作業(yè)我為什么要采取上面這幾個(gè)環(huán)節(jié)？理由如下：目

10、前的數(shù)學(xué)教材是從少數(shù)公理和原理出發(fā)，通過演繹，將知識展開.于是,過程14都可以省略.并且，“參照體”也是由教材直接給出的（不需要構(gòu)造）.師生的任務(wù)只是用演繹法推得V半球2 R3.這就是“內(nèi)化”過程.由于教材總是把知識和方法用定論的形式直接呈現(xiàn)在學(xué) 3生面前，新、舊知識的銜接點(diǎn)直接給出，內(nèi)化任務(wù)很快就完成.因此，這種做法的優(yōu)點(diǎn)是直截了當(dāng)， 節(jié)約時(shí)間；缺點(diǎn)是學(xué)生缺乏一個(gè)完整的認(rèn)識過程，把知識或方法不是作為 “過程”而是作為“結(jié)果”直接拋給學(xué)生.長此以往，越“拋”越多，學(xué)生頭腦中很難形成一個(gè)有效的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，結(jié)果成績分化，出現(xiàn)大量差生.反之，插入環(huán)節(jié)14,則環(huán)節(jié)5的“構(gòu)造參照體”（這是全課的關(guān)鍵）就十

11、分自然.從“目測” 到“實(shí)驗(yàn)”，這是強(qiáng)化“發(fā)現(xiàn)”，而環(huán)節(jié)5則是內(nèi)化.這種先發(fā)現(xiàn)后內(nèi)化的過程又是在教師指 導(dǎo)下進(jìn)行的，教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性十分融洽“目測”、“大膽猜想”、“實(shí)驗(yàn)”等環(huán)節(jié)，所有差生都有發(fā)言權(quán) ，優(yōu)生也不乏味；從“實(shí)驗(yàn)” 到“構(gòu)造參照體”，隨流而下，直闖關(guān)鍵（出現(xiàn)參照體工終達(dá)彼岸（得定理）.最后“談?dòng)洃洝?，?動(dòng)活潑，乃至升華；“小結(jié)提問”，余味不盡.數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)質(zhì)是思'維過程的教學(xué)，“直截了當(dāng)”則掩蓋了 “思維過程”，把知識和方法 不是作為思維過程暴露在學(xué)生面前，而是作為結(jié)果拋給學(xué)生，這種“奉送”的做法勢必回避了教學(xué)思想的培養(yǎng).長此以往，學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)很難得到提

12、高 .最后，還要說明一點(diǎn)，”構(gòu)造參照體”是本課的難點(diǎn)，本教案采用了 “細(xì)沙實(shí)驗(yàn)”，也就回 避了 “構(gòu)造性困難”，因此本教案是為普通班設(shè)計(jì)的，而“好班”就不應(yīng)1回避構(gòu)造困難，何況“構(gòu)造參照體”是運(yùn)用祖咂原理的關(guān)鍵，也是學(xué)習(xí)這一段教材（從柱體開始）的關(guān)鍵所在.因此, 建議根據(jù)學(xué)生情況補(bǔ)充下述內(nèi)容 ：參照體與祖附I原理為了利用祖附I原理計(jì)算某個(gè)幾何體的體積，常要構(gòu)造另一個(gè)幾何體，此幾何體必須符合兩個(gè)條件（1）它的計(jì)算公工是已知的；（2）它符合祖附I原理的條件,即該幾何體與原幾何體能 夾在兩個(gè)平行平面之間，且用平行于這兩個(gè)平面的任意一個(gè)平面去截它們時(shí)，截得的截面面積總相等.為了下面的敘述方便起見，把符合這兩個(gè)條件的幾何體叫做原幾何體的參照體，或簡稱參照體.例1旋轉(zhuǎn)體的母線是拋物線的一部分，其方程為 y=x 2（0 W y W H）,y 軸為旋轉(zhuǎn)軸，求該旋轉(zhuǎn)體的體積解將此旋轉(zhuǎn)體放在平面a上，用與平面a平行且相距 h的平面去截，得截面圓的面積h矩形面積（一邊為常量兀，另一邊為變量h）.另一邊長為變量h,于是得參照體：以等腰直角三角形 ABE底面（兩腰長H）,高AA=Tt的直三棱柱ABC-ABiCi（圖27的右側(cè)）由于參照體的體積=底面積