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文檔簡介

1、空間向量與立體幾何專題利用空間向量解決立體幾何中位置關系平行,垂直, 度問題,距離問題(體積),探索性問題等。1.正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直,AD CD,AB/CD,AB AD 2,CD 4,點 m 是 EC 中點(I)求證:BM /平面 ADEF ;(II )求BM與平面BDE所成角的正弦值.答案及解析:1.1(1 )設N為DE的中點,因為 M是EC的中點, MN/DC,MN - DC,214分 -6 分AB/CD, AB CD,因此AB/MN,所以四邊形 ABMN是平行四邊形,-2 =BM / AN ,因為 BM平面 ADEF , AN 平面 ADEF, BM / 平面

2、ADEF1(2)因為點M是EC中點,所以S dem -S CDE 2 .,7分2正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直,ED 平面 ABCDED AD, ED BC因為AD CD, AD DE,,且DE與CD相交于D AD 平面CDE ,AB/CD, AB/平面CDE , B到面DEM的距離AD 2 8分BD,BC EDCBE是直角三角形,.又 BC BD 2V2,CD 4 BCS DEB 2 . 3 -9 分設M到面DEM的距離h,由V DEB3 S DEM AD3Sdeb hh2-10 分BM 1EC 12 弱,-11 分2 2所以BM與平面BDE所成角 的正弦值為sin -1012

3、分BM J552如圖,三棱柱 ABC-AiBiCi的所有棱長均為 2,底面ABC丄側面 AA1B1B,AAiBi 600, P 為 CC1 的中點,AB1 I A1B O .(1)證明:ABi丄平面AiOP.若M是棱AC上一點,且滿足 MOP 450,求二面角MBBi A的余弦值.答案及解析:2.解:(1)取匚辰的中點二,連接,易證為平行四邊形,從而心由底面ABC丄側面AA1B1B,底面及BC C側面AA1B1B = AB ,匚D丄AE ,l、m:底面沁二,所以二匸一側面計即 側面當飛;&又ABl S側面,所以AB】丄0P,又側面為菱形,所以丄皆,從而及Bl丄平面Aiop,因為|A】P

4、 G平面AjOP,所以AB1 丄 AXP由(1)知,QP丄DP丄0A , 0A】.丄°A ,以鳥為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系? O .« 1*Vfr£F71jir 11| jJu鼻:» HL*治呂一,fj)4tA、v因為側面AAieLB是邊長為2的菱形,且藝從且時,所以 O'CX.C , ,一- -,bi 仮ao)|, q-黑冏,|pgo麗,得OR - (Cp0a3'.設麗 體"> 0',得叫了扎1 心珂, 所以 OM = ( -yXA -扣),所以 OP- OM = 3A .而 OP OM = |0P|

5、|OM| CCI&ZMOP =,3 址十(l - ;入十 M宀當. 所以宀x二屮+卩_ :才十3A2 J;=録,解得入=;.所以叫呂誇),麗(- 3丄0),瓦M (';).一r Bi B rii = 0- 5?( + y = 0設平面時刎的法向量珥5>,由島斗°得冷八務十討Q 取 = (1.V3f -引而側面AAjB的一個法向量 兀=(0r0rl:<設二面角 v E,芒的大小為-.則rt一 *. lrtin rt?l合 3ii則 coS0=|eo£(npn3)|=|i-n-?i = = 3r3如圖,在RtA ABC中,AB BC 3,點E、F分別

6、在線段 AB和AC上,且EF BC,將 AEF沿EF折起到 PEF的位置,使得二面角 P EF B的大小為60 °(I)求證:EF PB ;(H)當點E為線段AB的靠近B點的三等分點時,求 PC與平面PEF所成角 的正弦值答案及解析:3證明:(I)AB BC 3,BCAB, EF / BCEFAB,翻折后垂直關系沒變,仍有EF AE, EF BEEF面PBE EF PB(n)EF AE,EF BEPEB是二面角P-EF-B的平面角,PEB 60,又 PE=2,BE=1,由余弦定理得 PB=,3 ,2 2 2PB EB PE , PB EB, PB, BC,EB 兩兩垂直 以B為原點,

7、BC所在直線為X軸,BE所在直線為Y軸,建立如圖直角坐標系則 P(0,0,、3),C(3,0,0),E(0,1,0),F(2,1,0).PE (0,1,3), PF (2,1,3)設平面PEF的法向量n (x, y, z),n PE 0(0, . 3,1),由n PF,可得n0PC(3,0,.3), sinn PC1|n |PC|41故PC與平面PEF所成的角的正弦值為 .44如圖,在圓錐 PO中,已知PO 2 , O O的直徑AB=2,點C在底面圓周上,且CAB 30 , D為AC的中點.(I)證明:OD /平面PBC;(n)證明:平面 pac丄平面pod ;(川)求二面角 A-PC-O的正

8、弦值.答案及解析:4證明:(I)T D為AC的中點,O為O O的圓心,則OD / BC,/ BC 平面 PBC , OD 平面 PBC , 4 分 OD /平面 PBC。 5分證明:() OA OC , D 是 AC 的中點, AC OD.又PO 底面O O, AC 底面O O , AC PO , 7分/ ODI OP O,OD,PO 平面 POD , AC 平面 POD ,分 AC 平面 PAC ,平面PAC 平面POD ; 10分(川)由(n)知,平面 POD 平面PAC,在平面POD中,過O作OH則OH 平面PAC。過H作HQ PC,垂足為Q,連結OQ,則由三垂線定理得OQPC,HQO是

9、二面角APC O的平面角12分在 RtA POD 中,OH_PO_OD_:PO2 OD2在Rt PDC中,可求得HQ 2在 Rt OQH 中,OQ,OH 2 HQ2即二面角A PC O的正弦值為 sin HQO OH 二OQ 315分5如圖,在四棱錐 P-ABCD中,PD丄平面ABCD,四邊形 ABCD是菱形, AC 2 ,BD 23,且AC, BD交于點O, E是PB上任意一點.i?2i(2)若E為PB的中點,且二面角 A-PB-D的余弦值為,求EC與平面PAB所成角7的正弦值.5. ( 1)因為 DPX平面 ABCD,所以 DPI AC ,因為四邊形 ABCD為菱形,所以 BD丄AC,又B

10、DA PD=D ,二AC丄平面PBD,因為DE? 平面 PBD , AC 丄 DE .(4 分)(2)連接 0E,在 PBD 中,EO / PD,所以E0丄平面ABCD,分別以 0A , OB , OE所在直線為 x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,(5分)設 PD=t,則 A (1, 0, 0), B (0, 3, 0), c (- 1, 0, 0),E (0, 0,), P (0,- . 3 , t)設平面PAB的一個法向量為 n(x, y, z),則-jc 十 y = DV3y + tz = 0得 n ( 3,1晉),平面PBD的法向量 m (1, 0,0),因為二面角A -

11、 PB - D的余弦值為=,所以-所以:二:或:二 _ : (舍),(9分)則-.3 1 2_ -:.: i.-亠】= |cds(ECh)| =;刖二于 EC與平面PAB所成角的正弦值為6. 如圖,在四棱錐 P-ABCD中,已知 PA丄平面 ABCD,且四邊形 ABCD為直角梯形,nABC= BAD -2 , PA AD 2 , AB BC 1,點 M, E 分別是 PA, PD 的中點.(I)求證:CE /平面PAB;(II )點Q是線段BP上的動點,當直線 CQ與DM所成角最小時,求線段 BQ的長.答案及解析:6.(I )證明:連接BM , ME,因為點M , E分別是PA , PD的中點

12、,1所以 ME AD , ME/AD ,2所以 BC/ME,BC ME,所以四邊形BCEM為平行四邊形,所以CE/ BM . 3分又因為BM 平面PAB , CE 平面PAB ,所以CE/平面PAB . 4 分E則 B(1,0,0) , C(1,1,0), D(0,2,0) , P(0,0,2) , M (0,0,1).uuu 所以BPuuiur(1,0,2) , DM (0,2,1),uuu 設BQuuuBPuuur 又CQuuuCB(uuurBQ,0,2 ), 01,所以uuu uuuu cos CQ, DMt,則1所以cos2uult uuuuCQ, DMumu,1,2 )2(15-1

13、5t 1,2,5t2 10tuuucos2 CQ, DM515當且僅當-5,1= 時5時,|cosuuu UUULTCQ, DM |取得最大值,即直線CQ與dm所成角取得最小值,此時 BQ = 1 BP = 55510分7如圖,在梯形 ABCD 中,AB / CD , AD DC CB 2,。 ABC 60,平面 ACEF 丄平 面ABCD,四邊形ACEF是矩形,AE 2 .。(1) 求證:BC丄平面ACEF;。(2) 求二面角B-EF-D的余弦值.7. (1)在梯形 ABCD中,/ AB/CD AD DC CB 2 ABC 60,o四邊形ABCD是等腰梯形,且 DCA DAC 30 , DC

14、B 120ACB DCB DCA 90 AC BC又平面ACFE平面ABCD,交線為AC ,BC 平面ACFE(2)由(1)知,以點C為原點,CA, CB,CF所在直線為坐標軸,建立空間直角坐標系 則 C(0,0,0) B(0,2,0), A(2j3,0,0), D(T3, 1,0), F(0,0, 2), E(2苗,0, 2)uuu在平面 BEF 中,BE (2 3, 2,2)uuu ,FE(2,3,0,0)LTuuun1BE2 3x 2y 2z 0LTLTuuu設其法向量為n1(x,y,z),則n1FE2 3x 0LT令y 1,則z 1.故平面BEF的一個法向量為n1(0,1,1).在平面

15、DEF中,uuu-FE (2 3,0,0)uuurDFuuurCFuuurCDuuur CF1 uuu-BA (2.'3,1,2),uun2uuuBF,3xy2z0uuuuuuu2、3x設其法向量為n2(x, y,z)則n2FE0uu(0,2,1).令y2,則z1.故平面DEF的一個法向量為n2cos由LT uu1、10102-510,知二.面角BEFD的余弦值為10 .8如圖,已知三棱柱 ABC-AiBiCi,側面BCCiBi丄底面ABC.(I )若M , N分別是AB , AiC的中點,求證: MN /平面BCCiBi;(II )若三棱柱ABC-AiBiCi的各棱長均為 2,側棱B

16、Bi與底面ABC所成的角為60 °問在線 段AiCi上是否存在一點 P,使得平面 BiCP丄平面 ACCiAi?若存在,求 CiP與PAi的比值, 若不存在,說明理由.BC8. 解:證明:連接ACi, BCi, 貝y ACi nAiC= N , AN = NCi , 因為 AM = MB,所以 MN / BCi. 又 BCi?平面 BCCiBi, 所以MN /平面BCCiBi.(2)作BiO丄BC于0點,連接 AO ,因為平面BCCiBi丄底面ABC,所以BiO丄平面ABC,以O為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(0,-. 3 , 0), B(-i , 0,0),luuu u

17、uir uuir lC(i,0,0), Bi(0,0,3) 由AA= CCi= BBi,可求出 Ai(1,-3,3),Ci(2,0 ,3),uuuu uuu設點 P(x, y, z), AG =入A,P.則 P (l+i ,3 -2 ,uuurCBi = ( i,0, , 3 ).設平面BiCP的法向量為令zi = 1,解得ni = ( 3 , i,i1).同理可求出平面ACCiAi的法向量n2= ( . 3 , i, i).由平面BiCP丄平面ACCiAi,i得 ni n2= 0,即 3 + i = 0,i解得匸3,所以AiCi= 3AiP,從而 CiP : FAi = 2.9如圖,在四棱錐

18、 P-ABCD中,底面 ABCD是平行四邊形,PA丄平面ABCD,點M , N分別為BC, PA的中點,且AB AC i , AD . 2 .(1)證明:MN / 平面 PCD ;(2)設直線AC與平面PBC所成角為a,當a在(0,)內(nèi)變化時,求二面角 P-BC-A的取6值范圍.9. (1)取PD得中點Q,連接NQ,CQ,因為點M,N分別為BC,PA的中點,1NQ / AD / CM ,NQ - AD CM ,2四邊形CQNM為平行四邊形,MN /CQ,又MN 面PCD,CQ 面PCD, MN /面PCD,連接PM,因為AB AC 1, AD 、2點M為BC的中點,則AM BC,又 PA 面 ABCD,則 PM BC,PMA為二面角P BC A的平面角,設為以AB,AC,AP所在的直線分別為 x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,1 1丿2則 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),M( , ,0),P(0,0, tan ),2 22設平面PBC的一個法向量為n =(x,y,z),則由n BC 0,n PM 01x2sin02 . sin2.22,即二面角P BC A取值范圍為

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