《積分學(xué)習(xí)的總結(jié)》word版

1、. 學(xué)數(shù)學(xué)最好的方法就是做數(shù)學(xué) 積 分 整個(gè)高數(shù)課本,我們一共學(xué)習(xí)了不定積分,定積分,重積分(二重,三重),曲線積分(兩類(lèi)),曲面積分(兩類(lèi)).在此,我們對(duì)積分總結(jié),比較,以期同學(xué)們對(duì)積分有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí). 一、不定積分 不定積分是微分的逆運(yùn)算,其計(jì)算方法、各種技巧是我們后面各種積分計(jì)算的基礎(chǔ)，希望同學(xué)們熟記積分公式，及各種方法(兩類(lèi)換元,分部積分,有理函數(shù)積分等) 二、定積分 1.定義式: 2.定義域:一維區(qū)間,例如 3.性質(zhì):見(jiàn)課本P229-P232 特殊:若,則,即區(qū)間長(zhǎng)度. 4.積分技巧:奇偶對(duì)稱性. 注意:定積分中積分變量可以任意替換即,而不定積分不具有這種性質(zhì). 5.積分方法:與不

2、定積分的方法相同. 6.幾何應(yīng)用: 定積分的幾何意義: 表示以為頂與軸所夾區(qū)域面積的代數(shù)和(注意如,則面積為負(fù)); 其他應(yīng)用:如表示截面積,則積分為體積;平面弧長(zhǎng)等. 三、二重積分 1.定義式: 2.定義域:二維平面區(qū)域 3.性質(zhì):見(jiàn)下冊(cè)課本P77 特殊: 若,則,即為的面積.4.坐標(biāo)系: 直角坐標(biāo)系:型區(qū)域,型區(qū)域 極坐標(biāo)系:適用范圍為圓域或扇形區(qū)域,注意坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后不要漏掉,積分時(shí)一般先確定的范圍,再確定的范圍.5.積分技巧:奇偶對(duì)稱性(見(jiàn)后),質(zhì)心;6.幾何應(yīng)用:二重積分的幾何意義:若,則表示以為頂以為底的曲頂柱體體積;其他應(yīng)用:求曲面的面積四、三重積分1.定義式2.定義域:三維空間區(qū)域;

3、3.性質(zhì):與二重積分類(lèi)似; 特殊: 若,則,其中表示的體積.4.坐標(biāo)系: 直角坐標(biāo)系:投影法,截面法(一般被積函數(shù)有一個(gè)自變量,而當(dāng)該變量固定時(shí)所得截面 積易求時(shí)采用) 柱坐標(biāo)系:積分區(qū)域?yàn)橹螀^(qū)域,錐形區(qū)域,拋物面所圍區(qū)域時(shí)可采用; 球坐標(biāo)系:積分區(qū)域?yàn)榍蛴蚧蚺c球面相關(guān)的區(qū)域時(shí),確定自變量范圍時(shí),先,后,最后 . 5.積分技巧:奇偶對(duì)稱性,變量對(duì)稱性(見(jiàn)后),質(zhì)心等. 6.應(yīng)用: 表示密度,則為物體質(zhì)量.(不考慮幾何意義)五、第一類(lèi)曲線積分1.定義式:(二維) (三維)2.定義域:平面曲線弧 空間曲線弧3.性質(zhì):見(jiàn)課本P128 特殊: 則,表示曲線弧長(zhǎng).4.計(jì)算公式(二維為例): 類(lèi)似可推出

4、的公式.注意化為定積分時(shí)下限小于上限.5.積分技巧:奇偶對(duì)稱性,變量對(duì)稱性,質(zhì)心;6.幾何應(yīng)用:見(jiàn)上3.六、第二類(lèi)曲線積分1.定義式: (二維) (三維)2.定義域:有向平面曲線弧(二維)或有向空間曲線弧(三維)3.性質(zhì):見(jiàn)課本P1354.計(jì)算公式: 注意:曲線積分化為定積分時(shí),下限為起始點(diǎn),上限為終點(diǎn).5.積分技巧:二維曲線積分可以應(yīng)用格林公式(注意使用條件).積分與路徑無(wú)關(guān).不能使用奇偶對(duì)稱性.6.應(yīng)用:力做功.七、第一類(lèi)曲面積分1.定義式: 2.定義域:空間曲面 注意:空間曲面與坐標(biāo)面重合或平行時(shí),即為二重積分,故二重積分時(shí)第一類(lèi)曲面積分的特例.3.性質(zhì):見(jiàn)課本:與第一類(lèi)曲線積分類(lèi)似 特

5、殊: 則,表示曲線面積.4.計(jì)算公式:類(lèi)似可得在另兩個(gè)曲面上的投影公式. 注意對(duì)于特殊的曲面如柱面考慮使用柱坐標(biāo),曲面考慮使用球坐標(biāo).5.積分技巧:奇偶對(duì)稱性,變量對(duì)稱性,質(zhì)心.6.幾何應(yīng)用:見(jiàn)上3.八、第二類(lèi)曲面積分1.定義式2.定義域:有向空間曲面3.性質(zhì):見(jiàn)課本P1624.計(jì)算公式: ,類(lèi)似可得另兩個(gè).5.積分技巧:高斯公式,循環(huán)對(duì)稱性.不能使用奇偶對(duì)稱性.注:要熟練掌握使用高斯公式做第二類(lèi)曲面積分的題目,使用時(shí)要注意曲面方向以及是否封閉.6.應(yīng)用:求流量,磁通量等.奇偶對(duì)稱性:定積分:若積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,例如 若關(guān)于為奇函數(shù),則若關(guān)于為偶函數(shù),則 二重積分:若積分區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱,記

6、為的部分若關(guān)于為奇函數(shù),則若關(guān)于為偶函數(shù),則同樣可以得到積分區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱時(shí), 關(guān)于為奇、偶函數(shù)的公式.三重積分: 若積分區(qū)域關(guān)于面對(duì)稱,記為的部分若關(guān)于為奇函數(shù),則若關(guān)于為偶函數(shù),則同樣可以得到區(qū)域關(guān)于另兩個(gè)曲面對(duì)稱的情況.例題:P123#1(1)(2) P124#2(4)第一類(lèi)曲線積分:若積分曲線關(guān)于軸對(duì)稱,記為的部分若關(guān)于為奇函數(shù):若關(guān)于為偶函數(shù):同樣可以得到曲線關(guān)于軸對(duì)稱的情況. 第一類(lèi)曲面積分:若積分曲面關(guān)于面對(duì)稱,記為的部分,若關(guān)于為奇函數(shù):若關(guān)于為偶函數(shù):同樣可以得到曲面關(guān)于另兩個(gè)坐標(biāo)面對(duì)稱的情況.例題:課本P158#6(3),P184#2變量對(duì)稱性:一般在做重積分、曲面積分時(shí)使用， 使用時(shí)要注意曲面或區(qū)域必須是關(guān)于變量是對(duì)稱的,即對(duì)于曲面方程自變量相互替換后方程不改變,例如等,此時(shí) 例題1:其中為球面被平面所截的曲線.例題2: 其中為球面 循環(huán)對(duì)稱性(適用第二類(lèi)曲面積分):若積分曲面滿足變量對(duì)稱,而且中依次替換,即后積分表達(dá)式不改變,