第五講離散型隨機變量

1、第五講離散型隨機變量第五講離散型隨機變量第二章隨機變量及其分布§ 1隨機變量為了全面研究隨機試驗的 結(jié)果，揭示隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī) 律性，將隨機試驗的結(jié)果與實 數(shù)對應(yīng)起來，將隨機試驗的結(jié) 果數(shù)量化，弓I入隨機變量的概 念.在隨機試驗完成時，人們常 常不是關(guān)心試驗結(jié)果本身，而 是對于試驗結(jié)果聯(lián)系著的某個 數(shù)感興趣.有許多隨機試驗，它的結(jié)果本1. 引例例1在一袋中裝有編號分別為1,2,3的3只 球.在袋中任取一只球，放回.再取一只球, 記錄它們的編號.計算兩只球的號碼之和.4563452341 23試驗的樣本空間S=e=i,j,i,j=1,2,3.這里1, j分別表示第一，二球的號碼.以X記

2、兩球 號碼之和，對于每一個樣本點e, X都有一個 值與之對應(yīng)，如圖所示.例2將一枚硬幣拋擲3次.關(guān)心3次拋擲 中，出現(xiàn)H的總次數(shù)，而對H,T出現(xiàn)的順序 不關(guān)心.比如說，我們僅關(guān)心出現(xiàn)H的總次 數(shù)為2,而不在乎出現(xiàn)的是"HHT","HTH" 還是"THH".以X記三次拋擲中出現(xiàn) H的 總數(shù)，則對樣本空間S=e中的每一個樣本點e, X都有一個值與之對應(yīng)，即有樣本點 HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT x的值322211102. 隨機變量的定義定義 設(shè)隨機試驗的樣本空間為S=e. X=X(e)是定義在樣本空間S上

3、的實值單值 函數(shù).稱X=X(e)為隨機變量.隨機變量的取值隨試驗結(jié)果而定，而試驗的 各個結(jié)果出現(xiàn)有一定的概率，因而隨機變量 的取值有一定的概率身是一個數(shù)，即樣本點e本身是一個數(shù).我們令X=X(e)=e,則X就是一個隨機變量.例如，用例如,在例2中X取值為2,記成X=2,對Y記某車間一天的缺勤人數(shù)應(yīng)于樣本點的集合A=HHT, HTH, THH,這是一個事件，當且僅當事件A發(fā)生時有X=2.貝U稱 P(A)=PHHT, HTH, THH為X=2的概率，即 P(X=2)=P(A)=3/8.類似地有4P X 1 P HTT, THT, TTH , TTT8本書中，一般以大寫字母如X,Y,Z,W,.表示

4、隨機變量，而以小寫字母x,y,z,w,.表示實 數(shù).3.離散型隨機變量有些隨機變量，它全部可能取到的不相同的值是有限個或可列無限多個，這種隨機變量稱為離散型隨機變量.要掌握一個離散型隨機變量X的統(tǒng)計規(guī)律，必須且只需知道X的所有可能取的值以W記錄某地區(qū)第一季度的降 雨量，以Z記某工廠一天的耗 電量，以N記某醫(yī)院某一天的 掛號人數(shù).那么丫, W,乙N都是 隨機變量.一般，若L 是一 -個實數(shù)集 合，將X在L上取值寫成 X L.它表示事件 B=e|X(e)L,即B是由S中使得X(e) L的所有樣本點e所組 成的事件.此時有PX L=P(B)=Pe|X(e)L,隨機變量的取值隨試驗的結(jié)果 而定，在試驗

5、之前不能預(yù)知它 取什么值，且它的取值有一定 的概率.這些性質(zhì)顯示了隨機 變量與普通函數(shù)有著本質(zhì)的差 異.§ 2離散型隨機變量及其分布律例如§ 1例2中的隨機變量X,它只可能取0,1,2,3四個值， 它是一個離散型隨機變量.又 如某城市的120急救電話臺一晝夜收到的呼喚次數(shù)也是離散型隨機變量.若以T記某元件及取每一個可能值的概率.設(shè)X所有可能取的值為Xk(k=1,2,.),的壽命，它所可能取的值充滿PX=Xk=pk, k=1,2,.一個區(qū)間，是無法按一定次序(2.1)列舉出來的,因而它是一由概率的定義，p k滿足如下兩個條件個非離散型的隨機變量.本節(jié)1. pk0,k 1,2,

6、;(2.2)討論離散型隨機變量2. Pk 1.(2.3)k 1稱(2.1)式為離散型隨機變量X的分布律或概率分布.分布律也可用表格的形式來表示：XX1X2.xn.PkP1P2Pn.(2.4)例3設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng) 過四組信號燈，每組信號燈以1/2概率允許 或禁止汽車通過.以X表示汽車首次停下 時,它已通過的信號燈組數(shù)(設(shè)各組信號燈 的工作是相互獨立的)，求X的分布律.解以p表示每組信號燈禁止汽車通過的概 率，易知X的分布律為XPk01234p (1 p)p (1 p)2p (1 p)3p (1 p)4即 PX=k=(1-p) kp, k=0,1,2,3,PX=4=(1-p) 4.

7、X01234Pk0.50.250.1250.06250.0625(課間休息)3. 幾個常用的離散型分布(1)(0-1)分布對一個隨機試驗中的任何一個給定0-1分布的隨設(shè)隨機變量X只可能取0與1兩個值，它 的事件A, 0<P(A)<1,都可以根據(jù)事件A定義一個服從 機變量P(X=k)=p k(1-p)1-k, k=0,1(0<p<1),則稱X服從(0-1)分布或兩點分布.X X (e)0,1,當e A, 當e A.X0 1Pk1-pP(2)伯努利試驗，二項分布(0-1)分布的分布律也可寫成來描述.例如，對新生嬰兒的性別 進行登記，檢查產(chǎn)品的質(zhì)量是否合 格，某車間的電力消耗

8、是否超過負 荷以及前面多次討論過的"拋硬幣" 試驗等都可以用(0-1)分布的隨機變 量來描述.(0-1)分布是經(jīng)常遇到的 一種分布.設(shè)試驗E只有兩個可能結(jié)果:事件A和它的逆A,則稱E為伯努利試驗。設(shè)P(A)=p(0<p<1),此時.將E獨立地重復(fù)地進行n次，則稱這一串重復(fù)的獨立試驗為n重伯努利試驗.這里，“重復(fù)”是指在每次試驗中P(A)=p保持不變；“獨立”是指各 次試驗的結(jié)果互不影響定義隨機變量X表示n重伯努利試驗中X所有可能取的值為0,1,2,n事件A發(fā)生的次數(shù)，我們來求它的分布由于各次試驗是相互獨立的，因此的分布律是事件A在指定的k(0 k n)次試驗中發(fā)

9、生，在其它n-k次試驗中A不記 q=1-p，PX kk kn kCn P (1 P)k k n k Z| c,、Cn P q ,(k 0,1,.,n)發(fā)生的概率為P P P(1 P)(1 P)(1Pn這種指定的方式共有cn種，它們是兩兩互不相容的，故在n次試驗中 A發(fā)生k次的概率為k kn kCn P(1P)特別，當n=1時二項分布化為P(X=k)=P kq1-k, k=0,1顯然，這就是(0-1)分布。nnk k n knPX kCnpq (p q) 1.k 0k 0Ck pkqn k剛好是二項式(p q)n的展開式中 出現(xiàn)卩為勺那一項，故我們稱隨機變量X服從 參數(shù)為n,p的二項分布，記為X

10、b(n,p).例4按規(guī)定，某種型號電子元件的使用 壽命超過1500小時的為一級品.已知一 大批產(chǎn)品的一級品率為 0.2,現(xiàn)在從中隨 機地抽查20只.問20只元件中恰有k只(k=0,1,.,20)為一級品的概率是多少？解這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數(shù)很大，且抽查的元件數(shù)量相對于 元件的總數(shù)來說又很小，因而可以當作 放回抽樣來處理，這樣做會有一些誤差， 但誤差不大.檢查一只元件看它是否為 一級品，檢查20只元件相當于20重貝努 利試驗，以X記其中一級品總數(shù)，則Xb(20,0.2).所求概率為PX k C；°0.2k(1 0.2)20 k,k 0,1,20.例5某人進行射擊，設(shè)每次射

11、擊命中率 為0.02,獨立射擊400次，試求至少擊中 兩次的概率.解將一次射擊看成是一次試驗.設(shè)擊中的次數(shù)為X,貝U Xb(400,0.02). X的分布律為PX k c4oo(O.O2)k(O.98)4°°k ,k 0,1,.,400.PX 2=1-PX=0-PX=1=1-(0.98) 400-400(0.02)(0.98) 399=0.9972.例6設(shè)有80臺同類型設(shè)備，各臺工作 是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是 0.01,且一臺設(shè)備的故障能由一個人處 理，考慮兩種配備維修工人的方法，其 一是由4人維護，每人負責20臺；其二 是由3人共同維護80臺.試比較這兩種 方法在

12、設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的 概率的大小.解 按第一種方法,以X記"第1人維護 的20臺中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)", 以A(i=1,2,3,4)表示事件"第i人維護的20臺中發(fā)生故障不能及時維修".則知80臺中發(fā)生故障而不能及時維修的 概率為P(A1 A2 A3 A4) P(A1)=P(X 2).而 Xb(20,0.01),故有PX 21 PX C PX 11 (0.99)2020 0.01 (0.99)20 1可以看出，在后一種情況下盡管任 務(wù)重了(每人平均維護約27臺)， 但工作效率不僅沒有降低，反而提 咼了 .0.0169即有(A1 A2 A3 A4) 0.0169.按第二種方法，以丫記80臺中同一時刻 發(fā)生故障的臺數(shù).此時，Yb(80,0.01), 故80臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概 率為3PY 41。8叮(0.01)氣0.99)80 k 0.0087.k 0(3)泊松分布設(shè)隨機變量X所有可能取的值為0,1,2,.,而取各個值的概率為kePX k ,k 0,1,2,k!具有泊松分布的隨機變量在實際應(yīng) 用中是很多的。例如，一本書一頁 中的印刷錯誤數(shù)、某地區(qū)在一天內(nèi) 郵遞遺