概率統(tǒng)計(jì)課件52中心極限定理

1、第二節(jié)第二節(jié) 中心極限定理中心極限定理中心極限定理的背景中心極限定理的背景中心極限定理的定義中心極限定理的定義中心極限定理中心極限定理小結(jié)小結(jié)2022-1-2 在概率論中，我們已經(jīng)知道正態(tài)分布居在概率論中，我們已經(jīng)知道正態(tài)分布居于頭等重要的地位，許多隨機(jī)變量都遵循于頭等重要的地位，許多隨機(jī)變量都遵循正態(tài)分布。自從高斯指出測量誤差服從正正態(tài)分布。自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見。并且大量實(shí)驗(yàn)觀察也表明界中極為常見。并且大量實(shí)驗(yàn)觀察也表明如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成

2、，而每一個(gè)別因素在總影響的影響所造成，而每一個(gè)別因素在總影響中所起的作用不大，中所起的作用不大， 則這種量一般都服從則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布?；蚪品恼龖B(tài)分布。 問題的引出問題的引出 高斯高斯 一、中心極限定理的客觀背景一、中心極限定理的客觀背景2022-1-2(1). 具有有限方差的一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量的具有有限方差的一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量的 和經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化后是以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為極限的，和經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化后是以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為極限的， 這就是獨(dú)立同分布的中心極限定理這就是獨(dú)立同分布的中心極限定理 或或 稱為稱為 林德貝爾格林德貝爾格-勒維中心極限定理勒維中心極限定理。當(dāng)同分布。當(dāng)同分

3、布 為二項(xiàng)分布時(shí)就得出該定理的特例，即為：為二項(xiàng)分布時(shí)就得出該定理的特例，即為： 棣莫弗棣莫弗-拉普拉斯定理，拉普拉斯定理，它也是二項(xiàng)分布的它也是二項(xiàng)分布的 正態(tài)近似。正態(tài)近似。這僅僅是經(jīng)驗(yàn)之談呢，還是確有理論依據(jù)呢？對于這僅僅是經(jīng)驗(yàn)之談呢，還是確有理論依據(jù)呢？對于這樣一個(gè)重要問題，在長達(dá)兩個(gè)世紀(jì)內(nèi)一直成為概這樣一個(gè)重要問題，在長達(dá)兩個(gè)世紀(jì)內(nèi)一直成為概率論研究的中心問題。數(shù)學(xué)家們經(jīng)過卓越工作建立率論研究的中心問題。數(shù)學(xué)家們經(jīng)過卓越工作建立了一系列定理，解決了這一問題，并了一系列定理，解決了這一問題，并指出指出:2022-1-2(2). 對對“由大量微小的獨(dú)立的隨機(jī)因素由大量微小的獨(dú)立的隨機(jī)因素

4、”（不要（不要求同分布）引起并累積成的變量，當(dāng)隨機(jī)因素個(gè)求同分布）引起并累積成的變量，當(dāng)隨機(jī)因素個(gè)數(shù)趨于無窮時(shí)以正態(tài)分布為極限。這就是數(shù)趨于無窮時(shí)以正態(tài)分布為極限。這就是李雅普李雅普諾夫中心極限定理諾夫中心極限定理。比如：比如：一臺(tái)機(jī)床已經(jīng)調(diào)試良好，操作正常。但由一臺(tái)機(jī)床已經(jīng)調(diào)試良好，操作正常。但由于機(jī)床的微小震動(dòng)、工具的微小變形、原材料質(zhì)于機(jī)床的微小震動(dòng)、工具的微小變形、原材料質(zhì)量上的微小差異、工作操作上的微小偏差等等數(shù)量上的微小差異、工作操作上的微小偏差等等數(shù)不清的隨機(jī)因素，它們每一個(gè)因素在總的影響中不清的隨機(jī)因素，它們每一個(gè)因素在總的影響中所起的作用都是微小的。而綜合起來在產(chǎn)品質(zhì)量所起的

5、作用都是微小的。而綜合起來在產(chǎn)品質(zhì)量上就形成一定的誤差，這誤差近似服從正態(tài)分布。上就形成一定的誤差，這誤差近似服從正態(tài)分布。2022-1-2在一定條件下，大量的在一定條件下，大量的隨機(jī)變量之和隨機(jī)變量之和的概率分布的概率分布以正態(tài)分布為極限的定理稱為中心極限定理。以正態(tài)分布為極限的定理稱為中心極限定理。 在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做布這一類定理都叫做中心極限定理中心極限定理。故：故：研究獨(dú)立隨機(jī)變量研究獨(dú)立隨機(jī)變量之和之和所特有的規(guī)律性問題。當(dāng)所特有的規(guī)律性問題。當(dāng) n 無限增大時(shí)，這個(gè)和的極限分布是什么？在什無限增大時(shí)，這

6、個(gè)和的極限分布是什么？在什么條件下極限分布會(huì)是正態(tài)的呢？么條件下極限分布會(huì)是正態(tài)的呢？研究的問題：研究的問題：2022-1-2 在實(shí)際問題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所在實(shí)際問題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生的產(chǎn)生的總影響總影響：例如：例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著 許多隨機(jī)因素的影響：許多隨機(jī)因素的影響： 中心極限定理的客觀背景中心極限定理的客觀背景 如如，瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差，空氣阻力所產(chǎn)生的誤，瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差，空氣阻力所產(chǎn)生的誤 差，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等差，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.而所要研究的是：這些而所要研究的是：這些隨機(jī)因素的總

7、影響隨機(jī)因素的總影響。二、中心極限定理定義二、中心極限定理定義 概率論中有關(guān)論證獨(dú)立隨機(jī)變量的和的極限分布概率論中有關(guān)論證獨(dú)立隨機(jī)變量的和的極限分布是正態(tài)分布的一系列定理稱為是正態(tài)分布的一系列定理稱為中心極限定理。中心極限定理。 由于無窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于由于無窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于，故我們，故我們不研究不研究n個(gè)隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨個(gè)隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量，即：機(jī)變量，即：正正態(tài)態(tài)分分布布的的極極限限分分布布是是否否為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)討討論論nY111()()nnkkkknnkkXEXYDX2022-1-21. 獨(dú)立同分布中心極限定理獨(dú)立同分布中心極限定理

8、定理定理1. 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立且服從同相互獨(dú)立且服從同一分布，其數(shù)學(xué)期望與方差一分布，其數(shù)學(xué)期望與方差:12,nXXX )(kXE2(),(1,2)kD Xk 111121()()nnnnkkkkkkkknnkkXEXXnXnYnnDX （林德貝爾格（林德貝爾格-勒維勒維(LevyLindberg)定理）定理）則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量之和之和1nkkX 的的標(biāo)準(zhǔn)化變量標(biāo)準(zhǔn)化變量：三、中心極限定理三、中心極限定理2121lim( )lim2ntkxknnnXnFxPxedtn 2022-1-2的分布函數(shù)的分布函數(shù) 對于任意對于任意 滿足滿足: ( )nFxx證：證： (略略) 它要用到

9、特征函數(shù)和傅利葉變換等等。它要用到特征函數(shù)和傅利葉變換等等。 定理定理1 表明表明，當(dāng)，當(dāng) n 充分大時(shí)，充分大時(shí)，n 個(gè)具有期望和個(gè)具有期望和方差的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和近似服從正方差的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和近似服從正態(tài)分布。態(tài)分布。 雖然在一般情況下，很難求出雖然在一般情況下，很難求出 X1+ X2 + + Xn 的分布的確切形式，但當(dāng)?shù)姆植嫉拇_切形式，但當(dāng) n 很大時(shí)，可以求很大時(shí)，可以求出其近似分布。出其近似分布。注注).1 , 0(;),(,11211NnnXnnNXnXnkknkknkk近近似似地地近近似似地地有有和和與與其其標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化變變量量分分別別充充分分大大時(shí)時(shí)，隨隨機(jī)

10、機(jī)變變量量之之當(dāng)當(dāng)布布的的隨隨機(jī)機(jī)變變量量之之和和、定定理理表表明明，獨(dú)獨(dú)立立同同分分 )1 , 0(),(22NnXnNX近近似似地地近近似似地地或或?yàn)闉槎ǘɡ砝淼牡牧砹硪灰环N種形形式式可可寫寫、獨(dú)獨(dú)立立同同分分布布中中心心極極限限 nkkXnX11其中其中 3、雖然在一般情況下，我們很難求出、雖然在一般情況下，我們很難求出 的分的分布的確切形式，但當(dāng)布的確切形式，但當(dāng)n很大時(shí)，可以求出近似分布很大時(shí)，可以求出近似分布. nkkX1這一結(jié)果是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中這一結(jié)果是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中大樣本統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)大樣本統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)2022-1-22. 李雅普諾夫定理李雅普諾夫定理定理定理2. 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變

11、量 相互獨(dú)立，它們相互獨(dú)立，它們具有數(shù)學(xué)期望和方差為：具有數(shù)學(xué)期望和方差為：12,nXXX2(),()0 ,1,2kkkkE XD Xk 22110 ,nkknkEXB ( Liapunov 中心極限定理中心極限定理)221,nnkkB 記記, 若存在正數(shù)若存在正數(shù)n 使得當(dāng)使得當(dāng)2022-1-211111()()nnnnkkkkkkkknnnkkXEXXZBDX 則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量之和之和1nkkX 的的標(biāo)準(zhǔn)化變量標(biāo)準(zhǔn)化變量：的分布函數(shù)的分布函數(shù) 對于任意對于任意 滿足滿足: ( )nFxx21121lim( )lim2nntkkxkknnnnXFxPxedtB 證明：證明：（略）（略）2

12、022-1-2注注: 定理定理2表明表明， 當(dāng)當(dāng) n 充分大時(shí)，隨機(jī)變量：充分大時(shí)，隨機(jī)變量：11nnkkkknnXZB 近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 21 (,)nknkNB 即，即，11nnknnkkkXB Z 近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布 由此，由此，定理定理2再次表達(dá)再次表達(dá)了正態(tài)分布在概率論中的了正態(tài)分布在概率論中的特殊特殊地位：地位：kX無論各個(gè)隨機(jī)變量無論各個(gè)隨機(jī)變量 服從什么分服從什么分布，只要滿足定理布，只要滿足定理2的條件，那么的條件，那么它們的和它們的和當(dāng)當(dāng)n 充分大時(shí)就近似服從正態(tài)分布。充分大時(shí)就近似服從正態(tài)分布。2022-1-2三三. 棣莫弗棣莫弗

13、-拉普拉斯定理拉普拉斯定理定理定理3.（De Moiverelaplace 中心極限定理）中心極限定理）設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立，且服相互獨(dú)立，且服從參數(shù)為從參數(shù)為 的二項(xiàng)分布，則對的二項(xiàng)分布，則對任意任意 恒有恒有:12,n ,(01)n ppx221lim(1)2txnnnpPxedtnpp 證明證明:服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的二項(xiàng)分布的二項(xiàng)分布,(01)n pp若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 相互獨(dú)立，且服從相互獨(dú)立，且服從同一同一(01)分布，分布，12,nXXX12nXXX則則見教材見教材P103例例6 的結(jié)論的結(jié)論2022-1-2由此由此 是是 n 個(gè)相互獨(dú)立，服從同一個(gè)相互獨(dú)立，服從同

14、一 (0-1) 分布的分布的 之和。即：之和。即： n nXXX21,1nnkkX (1,2)kXkn 其中其中 的分布律為：的分布律為：1()(1)0,1iikP Xippi (),()(1) (1,2)kkE XpD Xppkn由由定理定理1得：得：1limlim(1)(1)nknknnXnpnpPxPxnppnpp 2212txedt 2022-1-2注注:定理定理3表明表明，正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布，正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布，當(dāng)當(dāng) n 充分大時(shí)可以用正態(tài)分布來計(jì)算二項(xiàng)分充分大時(shí)可以用正態(tài)分布來計(jì)算二項(xiàng)分布的概率。布的概率。在第二章中已介紹當(dāng)在第二章中已介紹當(dāng) 時(shí)，二項(xiàng)分布以時(shí)，

15、二項(xiàng)分布以泊松分布為極限分布；而在本章中二項(xiàng)分布又泊松分布為極限分布；而在本章中二項(xiàng)分布又以正態(tài)分布為極限分布。這以正態(tài)分布為極限分布。這兩者的區(qū)別兩者的區(qū)別是：是： n在在泊松定理泊松定理中要求中要求)( 為常數(shù)為常數(shù) np在在中心極限定理中心極限定理中要求中要求 np所以在實(shí)際計(jì)算中，如果所以在實(shí)際計(jì)算中，如果 n 很大但很大但 np或或 nq 不不大大 ( 即即 p 很小或很小或 q =1-p 很小很小 )，那么應(yīng)該用泊，那么應(yīng)該用泊松定理去近似；如果松定理去近似；如果 n，np 或或 nq 都較大，那都較大，那么應(yīng)該用中心極限定理去近似。么應(yīng)該用中心極限定理去近似。2022-1-2中心

16、極限定理的直觀中心極限定理的直觀圖示圖示例例: 20個(gè)服從（個(gè)服從（01）分）分布布 的隨機(jī)變量的和的分布的隨機(jī)變量的和的分布X1 f ( x)X1 +X2 g ( x )X1 +X2+X3 h ( x )例例: 幾個(gè)在幾個(gè)在( 0, 1 )上服從均勻分上服從均勻分布的隨機(jī)變量的和的分布。布的隨機(jī)變量的和的分布。0123xfgh例題例題例例1 .105.)10, 0(), 2 , 1(201的的近近似似值值，求求記記上上服服從從均均勻勻分分布布機(jī)機(jī)變變量量，且且都都在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)它它們們是是相相互互獨(dú)獨(dú)立立的的隨隨個(gè)個(gè)噪噪聲聲電電壓壓一一加加法法器器同同時(shí)時(shí)收收到到 VPVVnkVnkkk2

17、012011210020DV 520EV).20, 2 , 1(12100)(, 5)(kkkkkkDVEVkVDVE，易知于是于是 20121005201052012100520105VpVP 387. 02012100520Vp解解 387. 020121005201Vp348. 0)387. 0(1 348. 0105VP 即有即有例例2. (供電問題供電問題)某車間有某車間有200臺(tái)車床臺(tái)車床,在生產(chǎn)期間由在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工件等常于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工件等常需停車需停車. 設(shè)開工率為設(shè)開工率為0.6, 并設(shè)每臺(tái)車床的工作是獨(dú)并設(shè)每臺(tái)車床的

18、工作是獨(dú)立的，且在開工時(shí)需電力立的，且在開工時(shí)需電力1千瓦千瓦.問應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以問應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車的概率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)?用用X表示在某時(shí)刻工作著的車床數(shù)，表示在某時(shí)刻工作著的車床數(shù)， 解：對每臺(tái)車床的觀察作為一次試驗(yàn)，每次試驗(yàn)解：對每臺(tái)車床的觀察作為一次試驗(yàn)，每次試驗(yàn) 是觀察該臺(tái)車床在某時(shí)刻是否工作是觀察該臺(tái)車床在某時(shí)刻是否工作, 工作的概率工作的概率0.6 ,共進(jìn)行共進(jìn)行200次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).依題意，依題意，XB(200,0.6),現(xiàn)在的問題是：現(xiàn)在的問題是：P(XN)0.999的最小的的最小的

19、N.求滿足求滿足設(shè)需設(shè)需N臺(tái)車床工作，臺(tái)車床工作，（由于每臺(tái)車床在開工時(shí)需電力（由于每臺(tái)車床在開工時(shí)需電力1千瓦，千瓦，N臺(tái)工作所需電力即臺(tái)工作所需電力即N千瓦千瓦.）由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯極限定理拉普拉斯極限定理)1 (pnpnpX近似近似N(0,1),于是于是 P(XN)= P(0XN)這里這里 np=120, np(1-p)=48)48120()48120(N)48120N(999.0)48120( N由由查正態(tài)分布函數(shù)表得查正態(tài)分布函數(shù)表得999. 0) 1 . 3(從中解得從中解得N141.5,即所求即所求N=142. 也就是說也就是說, 應(yīng)供應(yīng)應(yīng)供應(yīng)142 千瓦電力就能以千瓦電

20、力就能以99.9%的的概率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)概率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn).48120N 3.1,故故例例3.400.15. 08 . 005. 021獨(dú)獨(dú)立立，且且服服從從同同一一分分布布會(huì)會(huì)議議的的家家長長數(shù)數(shù)相相互互名名學(xué)學(xué)生生，設(shè)設(shè)各各學(xué)學(xué)生生參參加加共共有有若若學(xué)學(xué)校校、分分別別為為家家長長來來參參加加會(huì)會(huì)議議的的概概率率名名名名家家長長、個(gè)個(gè)學(xué)學(xué)生生無無家家長長、是是一一個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量，設(shè)設(shè)一一參參加加家家長長會(huì)會(huì)的的家家長長人人數(shù)數(shù)對對于于一一個(gè)個(gè)學(xué)學(xué)生生而而言言，來來.340124501的概率的概率生數(shù)不多生數(shù)不多名家長來參加會(huì)議的學(xué)名家長來參加會(huì)

21、議的學(xué)）求有）求有（的概率；的概率；超過超過）求參加會(huì)議的家長數(shù)）求參加會(huì)議的家長數(shù)（X解解15. 08 . 005. 0210)400,2 , 1()1(kkkkpXXkkX的的分分布布律律為為的的家家長長數(shù)數(shù)，則則個(gè)個(gè)學(xué)學(xué)生生來來參參加加會(huì)會(huì)議議記記第第以以 .400, 2 , 119. 0)(, 1 . 1)( kXDXEkk易知易知)19. 0400, 1 . 1400(4,.4001 NXXXkk近似地近似地可知隨機(jī)變量可知隨機(jī)變量由定理由定理而而），（即有即有近似地近似地10N19. 04008 . 040019. 04001 . 14004001 XXkk于是于是19. 0400

22、8 . 040045019. 04008 . 0400450XPXP 147. 119. 04008 . 04001XP1257. 0)147. 1(1 2 . 08 . 04008 . 04003402 . 08 . 04008 . 0400340YPYP 5 . 22 . 08 . 04008 . 0400YP9938. 0)5 . 2( ），（隨機(jī)變量隨機(jī)變量近似地近似地2 . 08 . 04008 . 0400NY (2)(400,0.8)6YYB以 記有一名家長來參加會(huì)議的學(xué)生數(shù)，則，由定理 得2022-1-2例例4. 抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)次品多于抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)

23、次品多于10個(gè)則個(gè)則認(rèn)為這批產(chǎn)品不能接受。認(rèn)為這批產(chǎn)品不能接受。解解: 設(shè)應(yīng)檢查產(chǎn)品個(gè)數(shù)為設(shè)應(yīng)檢查產(chǎn)品個(gè)數(shù)為 n ，其中次品數(shù)為，其中次品數(shù)為 X，則，則( , 0.1),XB n0.1 ,0.3npnnpqn現(xiàn)要現(xiàn)要求求 n ，使得：，使得：(10)0.9PXn(10)PXn100.10.10.1()0.30.30.3nXnnnPnnn求：求：應(yīng)該檢查多少個(gè)產(chǎn)品，可使次品率為應(yīng)該檢查多少個(gè)產(chǎn)品，可使次品率為 10% 的一的一 批次品不能接受的概率達(dá)到批次品不能接受的概率達(dá)到 0. 9?由由定定理理3近似服從近似服從N( 0, 1 )2022-1-2100.10.1(3)0.30.3nXnPn

24、nn100.1(3)()0.3nnn 100.11()0.3nn 由由3準(zhǔn)則，準(zhǔn)則， 為為 1(3)n (10)0.9PXn要要只要只要：100.11()0.90.3nn 100.1()0.10.3nn 即要即要：此時(shí)由于此時(shí)由于：100.1()0.50.3nn 2022-1-2必定有必定有：100.100.3nn 0.1101()0.10.3nn 只要只要：3820( )0.5附表2中Pzz 所以要所以要：100.1()0.10.3nn 因?yàn)橐驗(yàn)?)1( )xx 即即0.110()0.90.3nn 查表得查表得:(1.28)0.9故故0.1101.280.3nn 146n結(jié)論：結(jié)論：應(yīng)檢查應(yīng)

25、檢查 146 個(gè)產(chǎn)品時(shí)，可使這批產(chǎn)品不被接受的概個(gè)產(chǎn)品時(shí)，可使這批產(chǎn)品不被接受的概 率為率為0. 92022-1-2例例 5.計(jì)算機(jī)進(jìn)行加法計(jì)算時(shí)，把每個(gè)加數(shù)取為最接計(jì)算機(jī)進(jìn)行加法計(jì)算時(shí)，把每個(gè)加數(shù)取為最接近它的整數(shù)來計(jì)算。設(shè)所有的取數(shù)誤差是相互近它的整數(shù)來計(jì)算。設(shè)所有的取數(shù)誤差是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，并且都在區(qū)間獨(dú)立的隨機(jī)變量，并且都在區(qū)間 -0.5, 0.5 上服從均勻分布。上服從均勻分布。求求:(1) 現(xiàn)有現(xiàn)有1200個(gè)數(shù)相加，誤差總和的絕對值小于個(gè)數(shù)相加，誤差總和的絕對值小于 10的概率。的概率。(2) 應(yīng)有多少個(gè)數(shù)相加時(shí)可使誤差總和的絕對值小應(yīng)有多少個(gè)數(shù)相加時(shí)可使誤差總和的絕對值小 于

26、于10 的概率大于的概率大于0. 9解解:nXXX,21設(shè)設(shè) 為各個(gè)加數(shù)的取數(shù)誤差為各個(gè)加數(shù)的取數(shù)誤差則這是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，其所有加則這是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，其所有加數(shù)的誤差總和為：數(shù)的誤差總和為：1nkkX 2022-1-20.50.5()0,2kE X20.5( 0.5)1()1212kD X 從而從而：11()0,()12nnkkkknE XD X(1).12001(1010 )kkPX (1,2,)kXkn 0.5 0.5 ，在在服從均勻分布服從均勻分布11200()1012nkkD X 這里這里:)10(12001 kkXP2022-1-210100100()1010

27、10nkkXP 1(11)10nkkXP (1)( 1) 2(1)12 0.845310.6826(2).1(10 )nkkPX 10100100()121212nkkXPnnn 由由定定理理1近似服從近似服從N ( 0, 1 )2022-1-2133(2020)2nkkXPnnn 32( 20)1n1(10 )0.9,nkkPX 只要只要:32( 20)10.9n3( 20)0.95n查表得查表得:(1.65)0.950530.9565. 1320 n解得解得:441 n結(jié)論結(jié)論: 441 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)相加時(shí)可使誤相加時(shí)可使誤差總和的絕對差總和的絕對值小于值小于10 的概的概率大于率大于0. 9所以要所以要2022-1-2例例6. 在人壽保險(xiǎn)公司里，有在人壽保險(xiǎn)公司里，有16000名同一年齡的人名同一年齡的人參加人壽保險(xiǎn)。一年里這些人的死亡率為參加人壽保險(xiǎn)。一年里這些人的死亡率為0.1%；參加保險(xiǎn)的人在一年的第一天交付保；參加保險(xiǎn)的人在一年的第一天交付保險(xiǎn)費(fèi)險(xiǎn)費(fèi)3元，死亡時(shí)家屬可以從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取元，死亡時(shí)家屬可以從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元。元。求求: (1). 保險(xiǎn)公司因開展這項(xiàng)業(yè)務(wù)獲利不少于保險(xiǎn)公司因開展這項(xiàng)業(yè)務(wù)獲利不少于10000 元的概率元的概率(2). 保險(xiǎn)公司因開展這項(xiàng)業(yè)務(wù)虧本的概率保險(xiǎn)公司因開展這項(xiàng)