因式分解法解一元二次方程典型例題

1、典型例題一例 用因式分解法解下列方程：(1) y2+ 7y+ 6= 0;(2) t(2t 1) = 3(2t 1); (2x 1)( x 1) = 1.解：(1)方程可變形為(y+ 1)( y+ 6) = 0 y +1 = 0 或 y+ 6=0二 y1= 1, y2 = 6方程可變形為t(2t 1) 3(2t 1) = 0(2t 1)( t 3) = 0, 2t 1 = 0 或 t 3 = 0 1二 t 1= , t 2= 3.2(3) 方程可變形為2x2 3x= 0x(2x 3) = 0, x = 0 或 2x 3= 0X1= 0, X2 =2說明：(1)在用因式分解法解一元二次方程時，一般

2、地要把方程整理為一般 式，如果左邊的代數(shù)式能夠分解為兩個一次因式的乘積，而右邊為零時，則可令每一個一次因式為零，得到兩個一元一次方程，解出這兩個一元一次方程的解就 是原方程的兩個解了. 應(yīng)用因式分解法解形如(x a)( x b) = c的方程，其左邊是兩個一次因 式之積，但右邊不是零，所以應(yīng)轉(zhuǎn)化為形如(x e)( x f) = 0的形式，這時才有 X1= e，X2 = f，否則會產(chǎn)生錯誤，如(3)可能產(chǎn)生如下的錯解：原方程變形為：2x 1= 1 或 x 1 = 1 . X1= 1，X2 = 2.(3)在方程 中，為什么方程兩邊不能同除以(2t 1)，請同學(xué)們思考典型例題二例用因式分解法解下列方

3、程6x23、.3x 2、2x .6解：把方程左邊因式分解為：(2x、3)(3x、.2)0.2x . 30 或 3x . 20.3X12，X2說明：對于無理數(shù)系數(shù)的一元二次方程，若左邊可分解為一次因式積的形 式，均可用因式分解法求出方程的解。典型例題三例用因式分解法解下列方程。2y2 y 15解：移項(xiàng)得：2y2 y 150把方程左邊因式分解得：(2y 5)(y 3)0 2y 50或 y 3053%2, y2 3說明：在用因式分解法解一元二次方程時，一定要注意，把方程整理為一般 式，如果左邊的代數(shù)式能夠分解為兩個一次因式的乘積，而右邊為零時，則可令每一個一次因式都為零，得到兩個一元一次方程，解出這

4、兩個一元一次方程的解 就是原方程的兩個解了。典型例題四例用因式分解法解下列方程(1) 6x2 13x 20；(2) 3(2x 1)2 9( . 3x 2)20 ；分析：一元二次方程化為一般形式后，在一般情況下，左邊是一個二次三項(xiàng) 式，右邊是零二次三項(xiàng)式，通常用因式分解的方法，可以分解成兩個一次因式 的積，從而可求出方程的根.但有些問題，可直接用因式分解法求解，例如(2) 符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征.解：(1)原方程可變形為(6x 1)(x 2)0,6x 10 或 x 2 0，1 2x1,x2 2.6(2) 原方程可化為(2 .3x ,3)2(3 3x 6)20，即(2 3x .3 3 一 3x

5、6)(2 ._3x3 3 3x 6) 0， (5、3x .3 6)(、36、3x)0， 5.3x . 360 或.3 6, 3x 0，2,3 1,x21 2 3.Xi5說明：因式分解將二次方程化為一次方程求解，起到了降次的作用這種化未知為已知的解題思想，是數(shù)學(xué)中的“化歸思想”.事實(shí)上，將多元方程組化為一元方程，也是此法典型例題五例 用因式分解法解方程：(1) x2 5x 360 ；(2) 2(2x 3)2 3(2x 3)0 ；(3) x2 (2 2、2)x 3 2 2 0 ；(4) y2 (2、3 3 .2)x 6 6 0.分析：用因式分解法解一元二次方程時，應(yīng)將方程化為 A B 0的形式，然

6、 后通過A 0或B 0 ,求出xi,x2.解：(1)(x 9)(x 4)0，x 9 0或 x 4 0.x-i 9,x24.(2)(2x 3)(4x 6 3)0，即(2x 3)(4x 9)0 . 2x 3 0 或 4x 9 0， %39嚴(yán)(3)(x 1) x (3 2.2)0，即x10或 x (3 2.2)0 x11,x23 2、.2 .(4)(y 2 3)(y 3.2)0，即y 2 .30 或 y 3、20 y12%/3, y23如'2 .說明：有些系數(shù)或常數(shù)是無理數(shù)的一元二次方程，只要熟悉無理數(shù)的分解方法, 也可將之和因式分解法求解典型例題六例 用適當(dāng)方法解下列方程：2 2 1(1)

7、 2x2 5 0 ；(2)5x展開，整理，得 2 2(1 x) x(x -)；(3) 2(x 3)方程可變形為 2(x2 1) 4x 1 ；( 4)x2 4、.3x 10 0(5) 3x2 7x 4 0 (用配方法)解：（1）移項(xiàng)，得方程兩邊都除以2,得 解這個方程，得即（2）展開，整理，得方程可變形為2x25，2 x52，x5 2，x丄怖，2x1210，X2丄 J10.24x2x 0.x(4x1) 0x0或4x1 0，洛0,1x2 ；4x216x 150，(2x 3)(2x 5)02x 3 0 或 2x 5 035X1 2,x2 2(4) v a 1,b4.3,c 10,b24ac(4.3)

8、24 1 1080，(4.3)2 14.3x2： 3(5)移項(xiàng)，得X22 一 3. 23x27x方程各項(xiàng)都除以3,配方，得6)2(x47 23(6)，丄36解這個方程，得43說明：當(dāng)一元二次方程本身特征不明顯時，需先將方程化為一般形式Xix21.ax2 bx c 0 ( a 0)，若b 0，a、c異號時，可用直接開平方法求解，如(I ) 題若a 0，b 0, c 0時，可用因式分解法求解，如(2)題若a、b、c 均不為零，有的可用因式分解法求解，如(3)題；有的可用公式法求解，如(4) 題配方法做為一種重要的數(shù)學(xué)方法也應(yīng)掌握，如(5)題.而有些一元二次方程有較明顯特征時，不一定都要化成一般形式

9、，如方程(x 3)2 40可用直接開平方法或因式分解法求解.又如方程(x 2)(4x 1) (x 1)(x 2)也不必展開整理成一般形式，因?yàn)榉匠虄蛇叾加校祈?xiàng)后提取公因式，得(x 2)( 4x 1) (x 1)0，用因式分解法求解，得2為2, X2-，對于這樣的方程，一定注意不能把方程兩邊都除以(x 2)，這3會丟掉一個根x 2 也就是方程兩邊不能除以含有未知數(shù)的整式.典型例題七例 解關(guān)于x的方程20m2x2 11mnx 3n20 ( m 0)解法一：原方程可變形為(5mxn)(4mx 3n)05mx n0 或 4mx 3n 0Xin5m，x23n4mb2 4ac2 2(11mn) 4 20

10、m2a 20m23n2)2b 11mn ， c 3n ，361m2 n11mn36m2 n22 20m211m n 19mn40m2說明出的條件,n3n5m，%24m解字母系數(shù)方程時，除了要分清已知數(shù)和未知數(shù)，還要注意題目中給 要根據(jù)條件說明方程兩邊除以的代數(shù)式的值不等于零.Xi對于字母系數(shù)的一元二次方程同樣可以有幾種不同的解法，也要根據(jù)題目的特點(diǎn)選用較簡單的解法，本題的解法一顯然比解法二要簡單.典型例題八例已知m 21，試解關(guān)于x的方程mx(x 2) 2 (x 1)(x 1).分析 由m2 1，容易得到m 3或m 1 整理關(guān)干x的方程，得(m 1)x2 2mx 3 0 .題目中沒有指明這個方

11、程是一元二次方程，因此對二次 項(xiàng)系數(shù)要進(jìn)行討論，當(dāng)m-10時，方程是一元一次方程；當(dāng)m 10時，方程是一元二次方程。解：由m2 1，得m13, m21.整理 mx(x 2)2 (x 1)(x 1)，得2(m 1)x 2mx 30.當(dāng)m 3時，原方程為2x2 6x 30 ,解得3 33,3xi ,x22當(dāng)m 1時，原方程為 2x 3 0, 解得3x .2當(dāng) m 3 時，x13 當(dāng)m 1時，x2填空題1 方程(x 2)2 (x 2)的根是2. 方程(x 3)(x 1) 6x 4的解是3方程(2y 1)23(2y 1) 20 的解是1，Y2答案：1. x12,x23 2 .x11、2,x212 3

12、.y1解答題1. 用因式分解法解下列方程：(1)(x2)2 2x 4；(2) 4(x3)2x(x3) 0 ；(3)10x2 11x6 07(4) 9(x2)24( x1)2。(5)2 xx 0 ;(6)2小x 2x350;(7)2x7x 100 ；x29x 180 ;(9)10x2 11x6 0；(10)26x 11x 70.2. 用因式分解法解下列方程：(1) (x 3)(x 1)5 ; (2) 14(x 4)2 9(x 4) 65 0 ；(3) 3(丄 x)2 5(x -) 2 0 0 2 23. 用因式分解法解下列關(guān)于x的一元二次方程：(1)x2x k2x 0 ；(2)x22mx m2

13、n20 ；(3)x23mx 54m20 ；(4)15m2x2 17mx180 (m 0)；2 2 2(5) abx (a b )x ab 0 (ab 0)1和2,第三邊的數(shù)值是方程2x2 5x 3 0的根,4. 用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)4x249 0 ； (2) 4x29x 0 ;(3)2 Xx 2 ； (4) x2 2x624 ;(5)2 Xx 10 ; (6) x22 . 5x 205.已知三角形的兩邊分別是求這個三角形的周長答案：1 . ( 1) X12, X20 ；(2) X13, X24;(3)捲(4) 人 8, X2(5) X10 , X21 (6) X15 , X27 (7) X12 , x25 (8) x-i3, x26(9) X12 15 ( 10) X1 1 , X22X24 -3412,X27X22.(1) X1(2) X