北京市圓和旋轉(zhuǎn)壓軸題解題技巧詳細(xì)解析

1、 如何短時(shí)間突破期中數(shù)學(xué)壓軸題 .DAE =45 .探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系. 小明的思路是：把.AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到.-ABE，連結(jié)ED , 使問題得到解決.請(qǐng)你參考小明的思路探究并解決下列問題： 猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，并對(duì)你的猜想給予證明； 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在線段BC上，動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)在線段CB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖 2,其它條件不變， 中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說(shuō)明你的猜想并給予證明. 解析 DE2 =BD2 +EC2 證明：根據(jù).AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到.:ABE AEC ABE BE =EC， AE =AE，C =. ABE，EAC

2、 =. EAB 在Rt ABC中 / AB =AC . ABC =. ACB =45 . ABC . ABE =90 即.E BD =90 EB2 BD2 =ED2 又 I . DAE =45 . BAD . EAC =45 . E AB . BAD =45 即.E AD =45 AED 也.AED DE 二 DE DE2 =BD2 +EC2 關(guān)系式DE2=BD2+EC2仍然成立 證明：將.ADB沿直線AD對(duì)折，得 AFD，連FE . AFD也.ABD AF =AB， FD =DB .FAD BAD， . AFD =/ABD 又I AB =AC， AF =AC 乙 FAE ZFAD ZDAE

3、Z FAD 45 . FAE - . EAC 又 I AE = AE . ：AFE 也.：ACE FE =EC， . AFE =. ACE =45 . DFE =. AFD -. AFE =135 -45 =90 在Rt DFE中 DF2 +FE2 = DE2 即 DE2 = BD2 +EC2 3. 遇 60,旋 60,造等邊； 例：已知：在厶 ABC 中, BC=a，AC=b 以 AB 為邊作等邊三角形 ABD 探究下列問題： (1) 如圖 1,當(dāng)點(diǎn) D 與點(diǎn) C 位于直線 AB 的兩側(cè)時(shí)，a=b=3,且/ ACB=60，貝 U CD= (2) 如圖 2,當(dāng)點(diǎn) D 與點(diǎn) C 位于直線 AB

4、的同側(cè)時(shí)，a=b=6,且/ ACB=90，貝 U CD= (3) 如圖 3,當(dāng)/ACB 變化,且點(diǎn) D 與點(diǎn) C 位于直線 AB 的兩側(cè)時(shí)，求 CD 的最大值及相應(yīng)的/ ACB 的度數(shù) 圖 1 圖 2 圖 3 解：(1) 3.3 ； . 1 (2) 3：6 -3 2 ； . 2 (3)以點(diǎn) D 為中心，將厶 DBC 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60,則點(diǎn) B 落在點(diǎn) A,點(diǎn) C 落在點(diǎn) E.聯(lián)結(jié) AE,CE CD二ED / CDE=60 , AE=CB=, CDE 為等邊三角形， CE=CD. . 4 當(dāng)點(diǎn) E、A、C 不在一條直線上時(shí)，有 CD=CEAE+AC+b; 當(dāng)點(diǎn) E、A、C 在一條直線上時(shí)，CD

5、有最大值，CD=CEa+b; 此時(shí)/ CEDM BCDM ECD=60， ACB=120， . 7 因此當(dāng)/ACB=120 時(shí)，CD 有最大值是 a+b. 4. 遇等腰，旋頂角。 綜上四點(diǎn)得出旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)特征：等線段，共頂點(diǎn)，就可以有旋轉(zhuǎn)。 圖形旋轉(zhuǎn)后我們需要證明旋轉(zhuǎn)全等，而旋轉(zhuǎn)全等中的難點(diǎn)在于倒角，下面給出旋轉(zhuǎn)倒角模型。 二、相似模型 說(shuō)明：注意邊和角的對(duì)應(yīng)，相等線段或者相等比值在證明相似中起到通過(guò)等量代換來(lái)構(gòu)造相似 三角形的作用。 說(shuō)明：(1)三垂直到一線三等角的演變，三等角以 30、45、60形式出現(xiàn)的居多。 (2)內(nèi)外角平分線定理到射影定理的演變，注意之間的相同與不同之處。另外，相似、射

6、影 定理、相交弦定理(可以推廣到圓幕定理)之間的比值可以轉(zhuǎn)換成乘積，通過(guò)等線段、等比值、等 乘積進(jìn)行代換，進(jìn)行證明得到需要的結(jié)論。 說(shuō)明：相似證明中最常用的輔助線是做平行， 根據(jù)題目的條件或者結(jié)論的比值來(lái)做相應(yīng)的平行 線。 三、圓 1、所給條件為特殊角或者普通角的三角函數(shù)時(shí)； (1)特殊角問題或者銳角三角函數(shù)問題，必須有直角三角形才行，如果題目條件中給的特 殊角并沒有放入直角三角形中時(shí)，需要構(gòu)造直角三角形。 構(gòu)造圓中的直角三角形，主要有以下四種類型： 利用垂徑定理； 直接作垂線構(gòu)造直角三角形； 構(gòu)造所對(duì)的圓周角；連接圓心和切點(diǎn)； (2)另外，在解題時(shí)，還應(yīng)該掌握的一個(gè)技巧就是，利用同弧或等弧上

7、的圓周角相等，把不在 直角三角形的角，等量代換轉(zhuǎn)移進(jìn)直角三角形中 在圓中，倒角的技巧有如下圖幾種常見的情形： 2、所給條件為線段長(zhǎng)度、或者線段的倍分關(guān)系時(shí)； (1) 因?yàn)閳A中能產(chǎn)生很多直角三角形，所以可以考慮利用勾股定理來(lái)計(jì)算線段長(zhǎng)度，在利用勾 股定理來(lái)計(jì)算線段長(zhǎng)度時(shí)，特別是在求半徑時(shí)，經(jīng)常會(huì)利用半徑來(lái)表示其他線段的長(zhǎng)度， 常 見情形如下； (2) 圓中能產(chǎn)生很多相似三角形，所以經(jīng)常也會(huì)利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)計(jì)算線段長(zhǎng)度， 常見的圓中相似情形如下： 注：圓中的中檔題目，學(xué)校會(huì)留很多，在此就不放了，來(lái)兩道有意思的題目。 8.如圖，AB 是L O 直徑，弦 CD 交 AB 于 E，AEC =45，AB =2 .設(shè) AE 二 x，CE2 DE2 =y . y 與 x 的函數(shù)關(guān)系是的() F 列圖象中，能表示 A. B. C. D 答案：A 8.如圖，以 G(0,1)為圓心，半徑為 2 的圓與x軸交于 A、B