關(guān)于高等數(shù)學(xué)常見中值定理證明及應(yīng)用

1、中值定理首先我們來看看幾大定理:1、介值定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù).且在該區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值f(a尸A 及f(b尸B ,那么對(duì)于A與B之間的任意一個(gè)數(shù) C,在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一 點(diǎn) H 使得 f( H 尸C(a< H <b).Ps:c是介于A B之間的，結(jié)論中的E取開區(qū)間。介值定理的推論：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在a,b上有最大值 M,最 小值m,若m< C& M,則必存在E G a,b, 使得f( E尸C。(閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得 介于最大值M與最小值m之間的任何值。此條推論運(yùn)用較多)Ps：當(dāng)題目中提到某個(gè)函數(shù)f(

2、x),或者是它的幾階導(dǎo)函數(shù)在某個(gè)閉區(qū)間上連續(xù)，那么該函數(shù)或者其幾階導(dǎo)函數(shù)必可以在該閉區(qū)間上取最大值和最小值，那么就對(duì)于在最大值和最 小值之間的任何一個(gè)值，必存在一個(gè)變量使得該值等于變量處函數(shù)值。2、零點(diǎn)定理：設(shè)函數(shù) f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)，即f(a).f(b)<0,那么在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)E使得f(七)=0.Ps:注意條件是閉區(qū)間連續(xù)，端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，結(jié)論是開區(qū)間存在點(diǎn)使函數(shù)值為0.3、羅爾定理：如果函數(shù)f(x)滿足：(1)、在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(2)、在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；(3)、在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值相等，即 f(a)=f(b).那么在(a,b)內(nèi)

3、至少有一點(diǎn)(<a H <b),使得f(x)=0;4、拉格朗日中值定理：如果函數(shù)f(x)滿足：(1)、在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(2)、在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)(<aW<b),使得f(b)-f(a)=F(H ).(b-a).5、柯西中值定理：如果函數(shù) f(x)及g(x)滿足(1)、在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(2)、在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；(3)、對(duì)任一 x(a<x<b),g'(x) 才 0,那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)E ，使得Ps：對(duì)于羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理結(jié)論都是開開區(qū)間內(nèi)取值。6、積分中值定理：若函數(shù)f

4、(x)在a,b上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn) a,b使得 bf (x)dx f ( )(b a) aPs：該定理課本中給的結(jié)論是在閉區(qū)間上成立。但是在開區(qū)間上也是滿足的，下面我們來證明下其在開區(qū)間內(nèi)也成立，即定理變?yōu)椋喝艉瘮?shù) f(x)在a,b上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn) (a,b)使得f(x)dxf( )(b a)ax證明：設(shè) F(x) f(x)dx, x a,b a因?yàn)閒(x)在閉區(qū)間上連續(xù)，則F(x)在閉區(qū)間上連續(xù)且在開區(qū)間上可導(dǎo)(導(dǎo)函數(shù)即為 f (x)。則對(duì)F(x)由拉格朗日中值定理有： bF(b) F(a) af(x)dx(a,b)使得 F'( ) (-2 b ab a而 F'( )

5、 f()所以 (a,b)使得 b f (x)dx f( )(b a)。a在每次使用積分中值定理的時(shí)候，如果想在開區(qū)間內(nèi)使用，我們便構(gòu)造該函數(shù)，運(yùn)用拉格朗日中值定理來證明下使其在開區(qū)間內(nèi)成立即可。千萬不可直接運(yùn)用，因?yàn)檎n本給的定理是閉區(qū)間定理運(yùn)用:、一,，一,，i一一 ,，一21、設(shè)f(x)在0,3上連續(xù)，在(0,3)內(nèi)存在二階導(dǎo)函數(shù)，且 2f (0)0f(x)dx f(2) f(3).證明：(1)(0,2)使 f ( ) f (0)(2)(0,3)使 f''( ) 0證明：先看第一小問題：如果用積分中指定理似乎一下子就出來了，但有個(gè)問題就是積分中值定理是針對(duì)閉區(qū)間的。有的人明知

6、這樣還硬是這樣做，最后只能是 0分。具體證明方 法在上面已經(jīng)說到，如果要在開區(qū)間內(nèi)用積分中指定理，必須來構(gòu)造函數(shù)用拉格朗日中值定理證明其在開區(qū)間內(nèi)符合。x-(1)、令0 f(t)dt F(x),x 0,2則由題意可知F(x)在0,2上連續(xù)，(0,2)內(nèi)可導(dǎo).則對(duì)F(x)由拉格朗日中值定理有：(2)、對(duì)于證明題而言，特別是真題第一問證明出來的結(jié)論，往往在第二問中都會(huì)有運(yùn)用， 在做第二問的時(shí)候我們不要忘記了第一問證明出來的東西，我們要時(shí)刻注意下如何將第一 問的東西在第二問中進(jìn)行運(yùn)用：第二問是要證明存在點(diǎn)使得函數(shù)二階倒數(shù)為0,這個(gè)很容易想到羅爾定理來證明零點(diǎn)問題，如果有三個(gè)函數(shù)值相等，運(yùn)用兩次羅爾定

7、理那不就解決問題啦，并且第一問證明出來了一個(gè)等式，如果有f(a)=f(b)=f(c),那么問題就解決了。第一問中已經(jīng)在(0,2)內(nèi)找到一點(diǎn)，那么能否在(2,3)內(nèi)也找一點(diǎn)滿足結(jié)論一的形式呢，有 了這樣想法，就得往下尋找了，2f(0) f(2) f(3),看到這個(gè)很多人會(huì)覺得熟悉的，和介值定理很像，下面就來證明：f(x)在0,3上連續(xù)，則在2,3上也連續(xù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必存在最大值和最小值，分別設(shè)為M,m;則 m f (2) M,m f (3) M.從而,m f23 M ,那么由介值定理就有：2則有羅爾定理可知：(0, ),f'( 1) 0,(,c),f'( 2) 0Ps：本

8、題記得好像是數(shù)三一道真題，考察的知識(shí)點(diǎn)蠻多，涉及到積分中值定理，介值定理， 最值定理，羅而定理，思路清楚就會(huì)很容易做出來。2、設(shè) f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且 f(0)=0,f(1)=1.證明：、(0,1)使得f( ) 1本題第一問較簡(jiǎn)單，用零點(diǎn)定理證明即可。(1)、首先構(gòu)造函數(shù)： F(x) f(x) x 1,x 0,1由零點(diǎn)定理知：(0,1)使得F( ) 0,即f( ) 1(2)、初看本問貌似無從下手，但是我們始終要注意，對(duì)于真題這么嚴(yán)謹(jǐn)?shù)念}目，他的設(shè)問 是一問緊接一問，第一問中的結(jié)論或多或少總會(huì)在第二問中起到作用。在想想高數(shù)定理中 的就這么些定理，第一問用到的零點(diǎn)定理，從

9、第二問的結(jié)論來看，也更本不涉及什么積分 問題，證明此問題也只可能從三大中值定理出發(fā)，具體是哪個(gè)定理，得看自己的情況，做 題有時(shí)候就是慢慢試，一種方法行不通，就換令一種方法，有想法才是最重要的，對(duì)于一 道題，你沒想法，便無從下手。另外在說一點(diǎn)，在歷年證明題中，柯西中值定理考的最少。本題結(jié)論都涉及一階倒數(shù)， 乘積之后為常數(shù)，很可能是消去了變?yōu)?(你題目做多了，肯定 就知道事實(shí)就是這樣).并且第一問中0與1之間夾了個(gè)，如果我們?cè)?與，與1上對(duì) f(x)運(yùn)用拉格朗日中值定理似乎有些線索。寫一些簡(jiǎn)單步驟，具體詳細(xì)步驟就不多寫了：將第一問中f()代入即可。Ps：本題是05年數(shù)一的一道真題，第一問是基本問題

10、，送分的，第二問有一定區(qū)分度，對(duì) 定理熟練的會(huì)容易想到拉格朗日定理，不熟練的可能難以想到方法。做任何題，最重要的 不是你一下子就能把題目搞出來，而是你得有想法，有想法才是最重要的，有了想法你才 能一步步的去做，如果行不通了，在改變思路，尋求新的解法，如果你沒想法，你就根本 無從下手。3、設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間0,1上連續(xù)，在開區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0,f(1)=1/3.放在對(duì)于這道題的結(jié)論比較有意思，比較對(duì)稱，另外一個(gè)就是結(jié)論的條件，為何要把兩個(gè)范圍內(nèi)，不像上一題中直接來個(gè)、(0,1),這個(gè)分界點(diǎn)1/2的作用是干嗎的。很可能也是把1/2當(dāng)做某一個(gè)點(diǎn)就像上一題中的，是否要用到拉格朗日

11、中值定理呢，這是我們的一個(gè)想法。那具體的函數(shù)如何來構(gòu)造呢，這個(gè)得從結(jié)論出發(fā)，f'( ) f'( )22我們把等式變一下：f'( ) 2 f'( )2 0, f'( )2這個(gè)不就是f( ) - 3關(guān)于 的導(dǎo)3數(shù)(而且題目中f(1)=1/3,貌似這樣有點(diǎn)想法了)，本題會(huì)不會(huì)也像上一題那樣，運(yùn)用拉格 朗日中值定理后相互消掉變?yōu)?0呢，有了這些 想法我們就要開始往下走了:先來構(gòu)造一個(gè)函數(shù)：F'( ) F'( ) 0剛好證明出來Ps：本題是近幾年數(shù)二的一道真題，只有一問，有比較大區(qū)分度的，得從條件結(jié)論互相出發(fā)，如何構(gòu)造出函數(shù)是關(guān)鍵。做出來之后我們反

12、過來看這個(gè)1/2的作用就知道了，如果只給、(0,1),那就更難了 得自己找這個(gè)點(diǎn)，既然題中給了這個(gè)點(diǎn)，并且把兩個(gè)變量分開 在兩個(gè)區(qū)間內(nèi)，我們就對(duì)這兩個(gè)變量在對(duì)應(yīng)區(qū)間用相應(yīng)定理。說明真題出的還是很有技巧 的。一般設(shè)計(jì)難一點(diǎn)的中值定理證明，往往得用拉格朗日定理來證明，兩個(gè)變量，都涉及 到導(dǎo)數(shù)問題，這是因?yàn)槔窭嗜罩兄刀ɡ項(xiàng)l件要少些，只需連續(xù)，可導(dǎo)即可，不像羅爾定 理得有式子相等才可進(jìn)一步運(yùn)用f (x)dx:干x2dx，門)此處不能直接拿到積分號(hào)外面,因?yàn)樗皇桥cx無關(guān)的數(shù)4.設(shè)f(x)在區(qū)間-a,a(a>0)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=0做到這兒，我們想辦法把他弄到積分號(hào)外面似乎就能出來，

13、有了這樣想法就得尋求辦法題目中說道f(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，為何要這樣說呢，我們知道連續(xù)函數(shù)有最大值，最小值,往往會(huì)接著和介值定理一起運(yùn)用。所以有：因?yàn)閒(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，所以存在最大值和最小值，設(shè)為M,m則對(duì)于區(qū)間-a,a,-2-22m f (x) M ,mx f ( ) x Mx所以由介值定理有結(jié)論成立。Ps：本題是以前的一道真題，具體哪年也記不得了，主要就是考到介值定理的運(yùn)用。題目 中說的很明白的，有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，往往當(dāng)題目中提及到什么連續(xù)啊，特別是對(duì)于導(dǎo)函數(shù) 連續(xù)的，我們總得注意下他有最大值，最小值，進(jìn)而與介值定理聯(lián)合運(yùn)用。5、設(shè) f(x)在0,上連續(xù)，且 ° f (x)d

14、x 0, 0 f (x) cosxdx 0.證明：在(0,)內(nèi)至少存在兩個(gè)不同點(diǎn)1、 2使得f( l) f( 2) 0積分中值定理，以及羅爾定理。但是積分中值定理是對(duì)于閉區(qū)間而言，而我們要用到開區(qū)間，只能自己構(gòu)造函數(shù)來證明其在開區(qū)間內(nèi)成立，如果在實(shí)際做題的時(shí)候你不證明直接用，估計(jì)一半的分都沒了。本題關(guān)鍵的就是尋找這個(gè)點(diǎn) C,找出來了其他的都不是問題，既然是關(guān)鍵點(diǎn)，那得分點(diǎn)也肯定最多了，你不證明這個(gè)點(diǎn)，直接套用課本中定理(如果用的話， 得分類討論了)，硬是說C點(diǎn)就成立，那估計(jì)一半的分都沒了。對(duì)于中值定理這章，就先給出上面一些經(jīng)典的題目，大家好好體會(huì)下，多做些題，多思考。F面來講講對(duì)于證明題中的，

15、函數(shù)如何來構(gòu)造：基本上都是從結(jié)論出發(fā)，運(yùn)用求導(dǎo)或是積分，或是求微分方程，解出來也可。本人自己總結(jié)了一些東西，與大家交流下:首先我們來看看一些構(gòu)造函數(shù)基本方法： 一、要證明的等式是一階導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系：一般都會(huì)構(gòu)造出g(x)XXX ex或者e x或者xn,n為任意常數(shù)1、如果只是單純導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)之間關(guān)系，想想構(gòu)造帶有ex或者exf'(x) f (x)可以構(gòu)造 g(x) f (x) e xf'(x) f (x) 0 可構(gòu)造 g(x) f (x) exf'(x) f (x) 可構(gòu)造 g(x) f (x) exexf(t)dtf(x) e xxf (t) dt f(x)

16、這個(gè)也是原函數(shù)與一階導(dǎo)函數(shù)問題，構(gòu)造函數(shù)g(x) e xa先將其變形下：f'(x) f (x) 1x左邊是導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)關(guān)系可構(gòu)造:右邊可以看成是x' x也成了導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)之間關(guān)系，如是可以構(gòu)造：x e x從而要構(gòu)造的函數(shù)就是：g (x) (f (x) x)e x 2、如果還涉及到變量 X,想想構(gòu)造xnxf '(x) f (x) 0 可構(gòu)造 g(x) f (x) xf (x)2 f (x)可構(gòu)造 g(x) f (x) x2xxf '(x) nf (x) 0可構(gòu)造 g(x) f (x) xn 3、另外還可以解微分方程來構(gòu)造函數(shù): 如 xf(x) f'(x

17、) 0二、二階導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)之間關(guān)系構(gòu)造帶有ex或者e x如何構(gòu)造如下：f''(x) f'(x)f'(x) f(x)對(duì)于此式子，你會(huì)不會(huì)有所想法呢，在上面講到一階導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)之間的構(gòu)造方法，等式前面也可以看成是一階導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)(只不過原函數(shù)是f'(x)之間關(guān)系，從而等式左邊可以構(gòu)造 f'(x) ex等式右邊可以構(gòu)造f(x) ex總的構(gòu)造出來函數(shù)為： g(x) (f'(x)f(x) ex另：如果這樣變形：構(gòu)造函數(shù)如下：g(x) (f'(x) f(x) e x,可以看上面原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間關(guān)系如何構(gòu)造的。從而對(duì)于此函數(shù)構(gòu)造有兩種方法

18、，具體用哪一種構(gòu)造得看題目給的條件了。如果題目給了f'(x) f(x)為什么值可以考慮第一中構(gòu)造函數(shù)，如果題目給了f'(x) f(x),則可以考慮第二種構(gòu)造方法。先變形：變成一階導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)之間關(guān)系這個(gè)函數(shù)確實(shí)不好構(gòu)造，如果用微分方程來求會(huì)遇到復(fù)數(shù)根。實(shí)際做的時(shí)候還得看題目是否給了f'(x)的一些條件，如果在某個(gè)開區(qū)間內(nèi)不為0,而構(gòu)造出來的函數(shù)在閉區(qū)間端點(diǎn)取值相等，便可用羅而定理來證明。具體來看看題目：1、設(shè) f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且 f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1 證明：(1)、存在(1,1)，使得 f()(2)、存在 (0,)，使得

19、f'( ) f( )1(1)、對(duì)一問直接構(gòu)造函數(shù)用零點(diǎn)定理：F(x) f(x) x具體詳細(xì)步驟就不寫了。(2)、該問主要問題是如何構(gòu)造函數(shù)：如果熟練的話用上面所講方法來構(gòu)造：f'( ) f( )1先變形另：用微分方程求解法來求出要構(gòu)造的函數(shù)把常數(shù)退換掉之后就是要構(gòu)造的函數(shù)函數(shù)構(gòu)造出來了，具體步驟自己去做。2、設(shè) f'(x)在a,b上連續(xù)，f(x)在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)，f(a)=f(b)=0,：f(x)dx 0證明：(1)存在 1, 2 (a,b)使得f(i)f'( 1), f( 2)f'( 2)(2)存在 (a,b),1, 2使得f'( ) f

20、()(1)、第一問中的函數(shù)構(gòu)造：(2)、第二問中函數(shù)構(gòu)造有兩種構(gòu)造方法，上面講解中說道了我們?cè)谶@用第一種原因在于第一問中f'(x) f(x)=0符合此題構(gòu)造。具體詳細(xì)步驟自己去寫寫。3、設(shè)奇函數(shù)f(x)在1,1上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(1)=1,證明：(1)存在(0,1)，使得f'( ) 1(2)存在 (1,1)，使得f''( ) f'( ) 1第一問中證明等式，要么用羅爾定理，要么介值定理，要么零點(diǎn)本題很容易想到用羅爾定理構(gòu)造函數(shù)來求，因?yàn)樯婕暗搅藢?dǎo)函數(shù)(1)、F(x) f(x) x,題目中提到奇函數(shù)，f(0)=0有F(0)=F(1)=0從而用羅爾定理就出

21、來了。(2)、第二問中的結(jié)論出發(fā)來構(gòu)造函數(shù)，從上面講的方法來看，直接就可以寫出要構(gòu)造的函數(shù)f''( )f'( ) 1先變形下：f'(x) ex exG(x) (f'(x) 1) ex函數(shù)構(gòu)造出來，并且可以用到第一問的結(jié)論，我們只需要在(-1,0 )之間在找一個(gè)點(diǎn)也滿足1的結(jié)論即可。也即(1,0), f'( ) 1從而可以對(duì)( , ) ( 1,1)運(yùn)用羅爾定理即可。Ps：本題為13年數(shù)一真題，第一問基礎(chǔ)題，但要看清題目為奇函數(shù)， 在0點(diǎn)處函數(shù)值為0.第二問關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)構(gòu)造出來了就一步步往下做，缺什么條件就去找什么條件或者證明出來，13 年考研前我給我的幾個(gè)考研小伙伴們講過構(gòu)造函數(shù)的一些方法，考場(chǎng)上都很快就搞出來了。以上是關(guān)于中值定理這章的一些小小的講解，由于科研實(shí)踐很忙，這些都是今天抽出時(shí)間寫出來的，Word上寫，真心費(fèi)時(shí)間，如果大家還有什么問題，可以來討論下。證明： (0,1),(