3.3垂徑定理教學(xué)設(shè)計(jì)

1、第三章圓垂徑定理一、學(xué)生起點(diǎn)分析學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)： 學(xué)生在七、八年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)軸對(duì)稱圖形的有關(guān)概念和性質(zhì)，等腰三角形的對(duì)稱性，以及本節(jié)定理的證明要用到的三角形全等的知識(shí)，在本章前兩節(jié)課中也已經(jīng)初步理解了圓的軸對(duì)稱性和圓弧的表示等知識(shí)，具備探索證明幾何定理的基本技能學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)： 在平時(shí)的學(xué)習(xí)中， 學(xué)生已掌握探究圖形性質(zhì)的不同手段和方法，具備幾何定理的分析、探索和證明能力二、教學(xué)任務(wù)分析該節(jié)內(nèi)容為 1 課時(shí)圓是一種特殊圖形， 它是軸對(duì)稱圖形， 學(xué)生通過(guò)類比等腰三角形的軸對(duì)稱性， 能利用圓的軸對(duì)稱性探索、 證明得出圓的垂徑定理及其逆定理具體地說(shuō)，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：知識(shí)與技能1利用圓的軸對(duì)稱

2、性研究垂徑定理及其逆定理；2運(yùn)用垂徑定理及其逆定理解決問(wèn)題過(guò)程與方法1經(jīng)歷運(yùn)用圓的軸對(duì)稱性探索圓的相關(guān)性質(zhì)的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)和理解研究幾何圖形的各種方法情感與態(tài)度1. 培養(yǎng)學(xué)生類比分析，猜想探索的能力2. 通過(guò)學(xué)習(xí)垂徑定理及其逆定理的證明，使學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和探索精神，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和積極參與的主動(dòng)精神教學(xué)重點(diǎn)： 利用圓的軸對(duì)稱性研究垂徑定理及其逆定理教學(xué)難點(diǎn)： 垂徑定理及其逆定理的證明，以及應(yīng)用時(shí)如何添加輔助線三、教學(xué)設(shè)計(jì)分析本節(jié)課設(shè)計(jì)了四個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：類比引入，猜想探索，知識(shí)應(yīng)用，歸納小結(jié).第一環(huán)節(jié)類比引入活動(dòng)內(nèi)容：1. 等腰三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？2. 如果將一等腰三角形

3、沿底邊上的高對(duì)折， 可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？3. 如果以這個(gè)等腰三角形的頂角頂點(diǎn)為圓心，腰長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，得到的圖形是否是軸對(duì)稱圖形呢？活動(dòng)目的：通過(guò)等腰三角形的軸對(duì)稱性向圓的軸對(duì)稱性過(guò)渡，引導(dǎo)學(xué)生思考，培養(yǎng)學(xué)生類比分析的能力第二環(huán)節(jié)猜想探索活動(dòng)內(nèi)容：1如圖， AB 是 O 的一條弦，作直徑CD，使 CDAB，垂足為 M（1）該圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，其對(duì)稱軸是什么？（2）你能圖中有哪些等量關(guān)系？說(shuō)一說(shuō)你的理由條件：CD 是直徑；CDAB結(jié)論（等量關(guān)系）： AM=BM；=；=.ACBCADBD證明：連接 OA,OB,則 OA=OB.在 RtOAM 和 RtOBM 中,OA=OB，OM=OM， Rt

4、OAMRt OBM.AM=BM.點(diǎn) A和點(diǎn) B關(guān)于 CD 對(duì)稱. O 關(guān)于直徑 CD 對(duì)稱 ,當(dāng)圓沿著直徑 CD 對(duì)折時(shí) , 點(diǎn) A 與點(diǎn) B 重合 ,和重合,和重合.ACBCADBD=，=.ACBCADBD2證明完畢后，讓學(xué)生自行用文字語(yǔ)言表述這一結(jié)論，最后提煉出垂徑定理的內(nèi)容垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧3辨析：判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？BBDOOCOCDCEDAA注意：定理中的兩個(gè)條件缺一不可直徑（半徑），垂直于弦通過(guò)以上辨析，讓學(xué)生對(duì)垂徑定理的兩個(gè)條件的必要性有更充分的認(rèn)識(shí)4垂徑定理逆定理的探索如圖， AB 是 O 的弦（不是直徑），作一條平分AB 的直徑 CD

5、，交 AB 于點(diǎn) M.（1）下圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，其對(duì)稱軸是什么？（2）圖中有哪些等量關(guān)系？說(shuō)一說(shuō)你的理由.條件：CD 是直徑；AM=BM結(jié)論（等量關(guān)系）： CD AB；=；=.ACBCADBD讓學(xué)生模仿垂徑定理的證明過(guò)程，自行證明逆定理，并表述逆定理的內(nèi)容平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.5辨析：“平分弦 （不是直徑）的直徑垂直于弦 ,并且平分弦所對(duì)的兩條弧 ”如果該定理少了“不是直徑” ，是否也能成立？反例：BCOAD活動(dòng)目的：活動(dòng) 1 的主要目的是通過(guò)讓學(xué)生猜想、類比、探索和證明獲得新知， 從而得到研究數(shù)學(xué)的多種方法的體會(huì)，獲取經(jīng)驗(yàn)；活動(dòng) 2 的主要目的是讓

6、學(xué)生通過(guò)對(duì)定理表述反復(fù)的語(yǔ)言提煉， 鍛煉學(xué)生的歸納能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋硎瞿芰Γ?并對(duì)定理的條件和結(jié)論有更深刻的理解和認(rèn)識(shí)； 活動(dòng) 3 的主要目的是通過(guò)反例使學(xué)生對(duì)定理的嚴(yán)謹(jǐn)性有更深的認(rèn)識(shí)；活動(dòng) 4 的主要目的與活動(dòng) 1 相似，并讓學(xué)生與活動(dòng) 1 類比，提高探索能力；活動(dòng) 5 的主要目的與活動(dòng) 3 相似實(shí)際教學(xué)效果：在活動(dòng) 1 中的證明時(shí)， 學(xué)生對(duì)如何證明平分弦， 可能會(huì)有一定困難， 此時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生類比等腰三角形，通過(guò)連接 OA、OB，構(gòu)造等腰三角形，并利用三角形全等的知識(shí)來(lái)證明；另外，在證明直徑平分弦所對(duì)的弧，也是一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生會(huì)覺(jué)得比較難表述， 這時(shí)應(yīng)類比等腰三角形的軸對(duì)稱性， 運(yùn)用圓的軸對(duì)稱性啟

7、發(fā)引導(dǎo)；在活動(dòng) 2 中，學(xué)生的說(shuō)法可能不夠準(zhǔn)確、精煉，但教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生堅(jiān)持勇于嘗試，讓學(xué)生互相指出說(shuō)法的不足和缺陷， 互相加以修正， 在反復(fù)的語(yǔ)言提煉中對(duì)定理的條件和結(jié)論有更深刻的理解和認(rèn)識(shí)， 這也是一個(gè)自主構(gòu)建的過(guò)程； 活動(dòng) 3 是通過(guò)反例說(shuō)明定理的條件的必要性和嚴(yán)謹(jǐn)性， 要注意讓學(xué)生學(xué)會(huì)通過(guò)反例找出對(duì)應(yīng)缺失的條件， 提高學(xué)生對(duì)定理的理解； 在活動(dòng) 4 中，學(xué)生已經(jīng)有了活動(dòng)1 的經(jīng)驗(yàn)，教師應(yīng)放手讓學(xué)生去猜想、類比、探索和證明，增加學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的探索的領(lǐng)悟和經(jīng)驗(yàn)；活動(dòng) 5 與活動(dòng) 3 相似第三環(huán)節(jié)知識(shí)應(yīng)用活動(dòng)內(nèi)容：講解例題及完成隨堂練習(xí)1例：如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧 （即圖中 ,C

8、D點(diǎn) 0 是 所在圓的圓心），其中，E為 上的CDCD=600mCD一點(diǎn)，且 OE CD，垂足為 F，EF=90m.求這段彎路的半徑解：連接 OC，設(shè)彎路的半徑為Rm,則 OF=(R-90)mOECDCF1 CD1600 30022根據(jù)勾股定理，得OC2=CF2 +OF2即 R2=3002+(R-90)2.解這個(gè)方程，得 R=545.所以，這段彎路的半徑為545m.2隨堂練習(xí) 11400 年前，我國(guó)隋朝建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對(duì)的弦長(zhǎng)）為37.4 米，拱高（即弧的中點(diǎn)到弦的距離）為7.2米，求橋拱所在圓的半徑 （結(jié)果精確到 0.1 米）3隨堂練習(xí) 2如果圓的兩條弦互相平行

9、， 那么這兩條弦所夾的弧相等嗎？為什么？有三種情況：（1）圓心在平行弦外；（2）圓心在其中一條弦上；（3）圓心在平行弦內(nèi)BOABOAOABDCCDCD活動(dòng)目的： 活動(dòng) 1、2 的主要目的是讓學(xué)生應(yīng)用新知識(shí)構(gòu)造直角三角形，并通過(guò)方程的方法去解決幾何問(wèn)題； 活動(dòng) 3 的主要目的是讓學(xué)生通過(guò)作垂線段構(gòu)造符合定理使用的條件，從而運(yùn)用定理解決問(wèn)題， 以及培養(yǎng)學(xué)生解題中的分類思想實(shí)際教學(xué)效果：在活動(dòng) 4 中，對(duì)于例題和隨堂練習(xí) 1 教師要引導(dǎo)學(xué)生如何夠造可以應(yīng)用垂徑定理的幾何構(gòu)圖， 讓學(xué)生積累如何添加輔助線的經(jīng)驗(yàn)， 以及體會(huì)到構(gòu)造直角三角形并利用勾股定理列方程在解決幾何問(wèn)題中的作用， 培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想

10、對(duì)于隨堂練習(xí) 2，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自行畫(huà)圖，探索分析符合條件圖形有多少種情況：圓心在平行弦外，在其中一條弦上、在平行弦內(nèi)，并通過(guò)添加輔助線構(gòu)造可以應(yīng)用垂徑定理的條件， 以及比較三種構(gòu)圖的共同點(diǎn)， 得出說(shuō)理的思路都是一樣的結(jié)論第四環(huán)節(jié)歸納小結(jié)活動(dòng)內(nèi)容：學(xué)生交流總結(jié)1利用圓的軸對(duì)稱性研究了垂徑定理及其逆定理.2解決有關(guān)弦的問(wèn)題，經(jīng)常是過(guò)圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，連接半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件.活動(dòng)目的：通過(guò)回顧本節(jié)課的各個(gè)環(huán)節(jié)， 鼓勵(lì)學(xué)生交流自己的收獲和感想， 加深對(duì)本節(jié)課知識(shí)和探索方法的理解和掌握，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成歸納反思的學(xué)習(xí)習(xí)慣實(shí)際教學(xué)效果：學(xué)生在互相交流中， 對(duì)于歸納出來(lái)

11、的內(nèi)容， 會(huì)有各種表述， 大多都是圍繞知識(shí)本身，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)探索知識(shí)的方法也能歸納反思四、教學(xué)設(shè)計(jì)反思1要從培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)方法的角度使用教材教材為教師提供了基本的教學(xué)素材， 但如何使用這些素材， 教師完全可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整 學(xué)生在探索垂徑定理的時(shí)候， 其中一個(gè)難點(diǎn)在于如何證明垂徑定理， 這時(shí)通過(guò)類比等腰三角形的軸對(duì)稱性， 可以使學(xué)生對(duì)證明的思考得到突破， 從而尋找出合理的證明方向 這既使學(xué)生掌握了新知識(shí)， 也培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的類比思想和觀察、猜想的能力2要鼓勵(lì)學(xué)生敢于表述和善于糾錯(cuò)垂徑定理及其逆定理的文字表述是一個(gè)難點(diǎn)， 教師如果直接給出， 則學(xué)生就少了一個(gè)鍛煉表述能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)胤治龅臋C(jī)會(huì) 因此，應(yīng)該讓學(xué)生大膽表述， 并對(duì)各人的表述嚴(yán)謹(jǐn)