函數(shù)的概念與性質反函數(shù)

1、授課章節(jié)函數(shù)的定義與性質函數(shù)的復合與反函數(shù)任課教師 及職稱唐新華 講師教學方法 與手段板書和電子課件結合課時安排3課時使用教材和主要參考書1、教材：耿素云等，離散數(shù)學，清華大學出版社，20082.參考書左孝琳、李為檻、劉永才，離散數(shù)學（上?？萍嘉墨I版）2006教學與目的要求：給定f, A, B,判別f是否為從A到B的函數(shù)：判別函數(shù)f： AfB的性質（單射、 滿射、雙射）：熟練計算函數(shù)的值、像、復合以及反函數(shù)；證明函數(shù)f： AfB的性質（單 射、滿射、雙射）；給定集合A, B,構造雙射函數(shù)f： AfB .教學重點、難點：重點：函數(shù)的概念，會判斷給定集合是否為函數(shù)、是否為從A到B的函數(shù)；計算 函數(shù)

2、的值、像、完全原像以及BA ；單射、滿射、雙射的性質、構造從A到B的雙射函 數(shù)：復合函數(shù)、雙射函數(shù)的反函數(shù)。難點：復合函數(shù)、雙射函數(shù)的反函數(shù)教學內容：函數(shù)的定義與性質一、本節(jié)主要內容函數(shù)的定義函數(shù)定義從A到B的函數(shù)函數(shù)的像函數(shù)的性質函數(shù)的單射、滿射、雙射性構造雙射函數(shù)二、教學內容函數(shù)定義定義 設戶為二元關系，若VxGdomF都存在唯一的yGranF使xFy成立，則稱F 為函數(shù).對于函數(shù)F,如果有xFy,則記作產(chǎn)Rx）,并稱y為尸在x的函數(shù)值.例 1尸=w XQ尸2=<。，1><”）2>講課時刻 第九周第二 次課Fx是函數(shù),尸2不是函數(shù)函數(shù)相等定義設EG為函數(shù)，則F=G

3、= F=GAGqF如果兩個函數(shù)尸和G相等，一定滿足下面兩個條件:(1) domF = domG(2) V.vGdomF = domG 都有 F(x) = G(x) 實例函數(shù)F(x)=(x-1 )/(a+ 1), G(x)=x-1不相等，因為domFcdoinG.從A到B的函數(shù)定義 設A, 8為集合，如果/為函數(shù)donV'= Aranfc B、則稱f為從A到B的函數(shù)，記作f： A-8實例ft N-N, _/(x)=2r是從N到N的函數(shù)g： N-N,g(x)=2也是從N到N的函數(shù)B± A定義 所有從A到B的函數(shù)的集合記作讀作*上A”，符號化表示為4=/ I /： A3 計數(shù)：14

4、1=，131=,且 m, >0,A=0,則 =80=0.A#0且 5=0,則 =0A= 0.實例例 2 設 A=1,2,3),5=4,求力.解必= l/o/，力，其中7q= < 1 ,a),<2,a>,v3,a>, 八=v 1< 1 ,4=< 1 /1= v 1 ,>,<2.“>,v3,a>, f= < 1f=v 1 ,>,<2.Z?>,v3,a>, 片=v 1 ,>,<2,Z?>,v3 力函數(shù)的像定義 設函數(shù)/： A-B.AqA.A在/下的像：,AA1)=)函數(shù)的像fiA) =

5、ran/注意：函數(shù)值./(x)SB.而像負A)cB.例3 設/： N-N,且令=0,1,3=2,那么有%)=0)=。0),犬1) = 0,2函數(shù)的性質定義設/： A-民(1)若聞方=氏則稱# A-B是滿射的.(2)若任意丸，x2 eA而且不相等，都有?！?與人,)不相等，則稱f' A-*8是單射的.(3)若# A-8既是滿射又是單射的，則稱力 月一B是雙射的(一一到上的)f滿射意味著：Vy eB、都存在x使得.Ax) = y./單射意味著：/)=段2)= *1= *2實例例4判斷下面函數(shù)是否為單射，滿射，雙射的，為什么？2(1)/： R-R. f(x) = -x +2x-l(2)/：

6、Z+-艮 ./U) = hu,z+為正整數(shù)集(3)/： R-Z, ./U) = Ld(4)/： R-R, J(x) = 2x+l(5)/： r+-r+, J(a)=(x2+1)/x9 其中 R+為正實數(shù)集.實例(續(xù))解(1)/： /?-/?,/(a)=-a2+2a-1在x=l取得極大值0.既不單射也不滿射.(2) f： Z+-*R, f(x)=Inx單調上升，是單射.但不滿射,ranUhil,ln2,.(3)f： R-*Z, f(x> LxJ滿射，但不單射，例如f=f=l.(4) f： R-*R. f(x)=2x+l滿射、單射、雙射，因為它是單調的并且ranf=R.(5) f： R+-R

7、+, f(x)=(x2+l )/x有極小值f(l)=2.該函數(shù)既不單射也不滿射.構造從A到B的雙射函數(shù)有窮集之間的構造例 5A=P( 1,2,3), B=0JL23解 A=0,1,2,3,1,2,1,3,2,3,123.f 1=< 1 .0>.v2,0>,<3/>, f3=< L0>. <2>,<3/>, f5=<l J >. v2,0>.<3/>, f7=<Ll>.<2Jx<3J>).，£7,其中 fO= < 1,0>. <2,0>,

8、<3.0>, f2=<L0x<2Jx<3.0>h f4=vl>,v2.0>.<3.0>, f6=vl>,v21>,<3,0>, 令 f： AB.f(0)=fO. f(l)=fl, f(2)=2 f(3)=f3, f(l,2)=f4, f(l,3)=f5, f(2,3)=f6, f(l,23)=f7構造從A到B的雙射函數(shù)(續(xù)) 實數(shù)區(qū)間之間構造雙射 構造方法：直線方程y=(l+x)/4例 6 A=OJB=l/4J/2構造雙射f:AB解令 f： 0J-l/4J/2f(x)=(x+l)/4 構造從A到B的雙射函數(shù)(續(xù)

9、)A與自然數(shù)集合之間構造雙射方法：將A中元素排成有序圖形，然后從第一個元素開始按照次序與自然數(shù)對應例7 A=Z,B=N,構造雙射f： AB將Z中元素以下列順序排列并與N中元素對應：Z： 0 -11-22 -33 .I I I I I IIN： 0123456 .則這種對應所表示的函數(shù)是:2x之0x<0常函數(shù)、恒等函數(shù)、單調函數(shù)1 .設.f： A-B,若存在cGB使得VxGA都有 Ax)=c,則稱/： A-8是常函數(shù).2 .稱A上的恒等關系IA為A上的恒等函數(shù)，對所有的 都有 Z/|(x)=a3設f R-R,刎果對隼意的xvx2R, xx<x2,就f- ZtNJ(x)=二(_有.&q

10、uot;)0"2)，則稱/為單調遞增的：如果對任意的位,2£4,勺<%2，就有風")<."2)，則稱f為嚴格單調遞增的.類似可以定義單調遞減和嚴格單調遞減的函數(shù).集合的特征函數(shù)4.設A為集合,VAqA. X的特征函數(shù)XA-： A-*0.1定義為1, aeAfZv(«)= 1 n .小 0, ae A-A實例 集合:X= A.B,C,D.E,F,GH , 子集：T=A, C, E G HT的特征函數(shù)/T ：x ABCDEFGHXT(x) 10100111自然映射5.設R是A上的等價關系，令g： A-*A/Rg(a) = a, VaGA

11、稱g是從A到商集A/R的自然映射.實例例8 (1)A的每一個子集A，都對應于一個特征函數(shù)，不同的子集對應于不同的特征函數(shù). 例如A=a, b.c,則有70 = <a.0>, <b,0>, <c,0> ,Xa.b = <ajx <bJ>, <c,0>(2)給定集合A, A上不同的等價關系確定不同的自然映射，其中恒等關系確定的自然 映射是雙射，其他的自然映射一般來說是滿射.例如A=1, 2, 3, R=<L2>,<2,1> UIAg(l) = g(2)=(l,2)t g(3)=3函數(shù)的復合與反函數(shù)一、本節(jié)主要

12、內容函數(shù)的復合函數(shù)復合的定理函數(shù)復合的性質反函數(shù)反函數(shù)存在的條件反函數(shù)的性質二、教學內容函數(shù)復合的定理定理設F. G是函數(shù)，則F，G也是函數(shù)，且滿足(1) dom(F0 G)= x I xGdomG a G(x)£domF)(2) Vxedom(F0 G)有 F。G(x) = F (G(x)推論1設F.G.H為函數(shù)，則(F。G)。H和F。(G。H)都是函數(shù)，且(F。G)。H = F。(G。H)推論 2 設 f： B-C,g： A-B.則 f。g： A-C,且VxGA 都有 f。g(x) = f(g(x).函數(shù)復合運算的性質 定理 設 g ： A-B.f ： B-*C.(1)如果g ：

13、 A-B,f ： B-*C都是滿射的，則 f。g： A-*C也是滿射的.(2)如果g ： A-B, f ： B-*C都是單射的，則f。g： A-*C也是單射的.(3)如果g ： A-B, f ： B-*C都是雙射的，則fo g： A-C也是雙射的.證(l)Vc£C,由f： B-C的滿射性TbCB使得f(b)=c.對這個b,由g： A-B的滿射性，3aGA使得 f(a)=b.由合成定理 f<> g(a)= f (g(a)=f(b)=c 從而證明了 f。g： A-C是滿射的.函數(shù)復合運算的性質(2)假設存在 xl,x2£A 使得 f。g(xl) = f。g(x2)由

14、合成定理有f(g(xl)= f (g(x2).因為f： B-C是單射的，故g(xl)=g(x2).又由于g： A-B也是單射的，所以xl=x2.從而證明f。g： A-C是單射的.(3)由(1)和(2)得證.定理設f:AB,則f=f。IB = IA“ f反函數(shù)存在的條件任給函數(shù)F,它的逆F-1不一定是函數(shù)，是二元關系.實例：F= <a.b>,<c,b>, F-l=<b.a>.<bx>任給單射函數(shù)f： A-*B.則f-1是函數(shù)，且是從ranf到A的雙射函數(shù)，但不一定是從 B到A的雙射函數(shù).實例：f:N ->N, f(x) = 2x,f-1 :

15、ranf -*N, f -1 (x) = x/2反函數(shù)定理 設f： A-B是雙射的，RiJf-1： B-A也是雙射函數(shù).證 因為f是函數(shù)，所以f-1是關系，且dom f-1 = ranf = B , ran f-1 = domf = A.對于任意的yeB = domf-l.假設有xl,x2£A使得<y,xl>Gf-l A<y,x2>ef-1成立，則由逆的定義有<x 1 ,y> GfA<x2,y>ef根據(jù)f的單射性可得xl=x2,從而證明了 f-1是函數(shù)，且是滿射的.下面證明f-1的 單射性.若存在 yl,y2GB 使得 f-1 (yl)

16、 = f-l (y2) = x,從而有<yl,x>sf-l A<y2,x>ef-1=> <x,y 1 > G f A <x,y2> e f =>yl =y2反函數(shù)的定義及性質對于雙射函數(shù)f： A-B,稱f-1： BA是它的反 函數(shù).反函數(shù)的性質定理設f： A-B是雙射的，則f-|o f=IA. fc f-1 =IB對于雙射函數(shù)f： A-A,有f-|o f=fo f-1 =IA函數(shù)復合與反函數(shù)的計算 例設 f： R-R. g： R-Rx? x A 3= lg(x) = x + 2-2 x <3求fog,gof.如果f和g存在反函數(shù)，求出它們的反函數(shù). 解于 o g:R