常用邏輯用語(yǔ)知識(shí)例題梳理

1、常用邏輯用語(yǔ)一、知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：命題1. 定義：一般地，我們把用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的語(yǔ)句叫做命題（1） 命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分構(gòu)成 命題通常用小寫英文字母表示，如p,q,r,m,n 等.（2） 命題有真假之分，正確的命題叫做真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題數(shù)學(xué)中的定義、公理、定理等 都是真命題（3）命題“網(wǎng)一飛'”的真假判定方式： 若要判斷命題“用一訂7 ”是一個(gè)真命題，需要嚴(yán)格的邏輯推理；有時(shí)在推導(dǎo)時(shí)加上語(yǔ)氣詞“一定”能幫助判斷。如：/ 一定推出/ . 若要判斷命題“ 一：”是一個(gè)假命題，只需要找到一個(gè)反例即可注意：“一'不一定等于3”不能判定真假，它不是

2、命題 2. 邏輯聯(lián)結(jié)詞：“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞（1）不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題叫簡(jiǎn)單命題，由簡(jiǎn)單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題叫復(fù)合命題（2）復(fù)合命題的構(gòu)成形式： p或q :p且q；非p （即命題p的否定）（3）復(fù)合命題的真假判斷： 當(dāng)p、q同時(shí)為假時(shí)，“ p或q”為假，其它情況時(shí)為真，可簡(jiǎn)稱為“一真必真”； 當(dāng)p、q同時(shí)為真時(shí)，“ p且q”為真，其它情況時(shí)為假，可簡(jiǎn)稱為“一假必假”。 “非p”與p的真假相反注意:（1） 邏輯連結(jié)詞“或”的理解是難點(diǎn)，“或”有三層含義，以“p或q”為例：一是p成立且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立?？梢灶惐扔诩现小?|'

3、-二或-丄（2）“或”、“且”聯(lián)結(jié)的命題的否定形式：“ p或q” 的否定是“ 一 p且一q”； “ p且 q” 的否定是“一p或一q” （3）對(duì)命題的否定只是否定命題的結(jié)論；否命題，既否定題設(shè)，又否定結(jié)論。知識(shí)點(diǎn)二：四種命題1. 四種命題的形式：用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，用=p和=q分別表示p和q的否定，則四種命題的形式為：原命題：若p則q ； 逆命題：若q則p；否命題：若一 p則一 q;逆否命題：若一 q則一 p.2. 四種命題的關(guān)系 原命題；逆否命題.它們具有相同的真假性，是命題轉(zhuǎn)化的依據(jù)和途徑之一 逆命題；否命題，它們之間互為逆否關(guān)系，具有相同的真假性，是命題轉(zhuǎn)化的另一依據(jù)和途

4、徑.除、之外，四種命題中其它兩個(gè)命題的真?zhèn)螣o(wú)必然聯(lián)系命題與集合之間可以建立對(duì)應(yīng)關(guān)系， 在這樣的對(duì)應(yīng)下，邏輯聯(lián)結(jié)詞和集合的運(yùn)算具有一致性， 命題的“且”、“或”、“非”恰好分別對(duì)應(yīng)集合的“交”、“并”、“補(bǔ)”，因此，我們就可以從集 合的角度進(jìn)一步認(rèn)識(shí)有關(guān)這些邏輯聯(lián)結(jié)詞的規(guī)定。知識(shí)點(diǎn)三：充分條件與必要條件1. 定義：對(duì)于“若p則q”形式的命題： 若p q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件； 若p q，但q二p，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件； 若既有pq，又有q p，記作p q，則p是q的充分必要條件（充要條件）2. 理解認(rèn)知：（1 ）在判斷充分條件與必要條件時(shí)，首先要分清哪

5、是條件，哪是結(jié)論；然后用條件推結(jié)論，再用結(jié)論 推條件，最后進(jìn)行判斷.（2）充要條件即等價(jià)條件，也是完成命題轉(zhuǎn)化的理論依據(jù).“當(dāng)且僅當(dāng)”.“有且僅有”.“必須且只須”.“等價(jià)于” “反過(guò)來(lái)也成立”等均為充要條件的同義詞語(yǔ)3. 判斷命題充要條件的三種方法（1）定義法：(2) 等價(jià)法：由于原命題與它的逆否命題等價(jià)，否命題與逆命題等價(jià)，因此，如果原命題與逆命題真假不好判斷時(shí)，還可以轉(zhuǎn)化為逆否命題與否命題來(lái)判斷即利用與：丄戶=與：廠；-與二二的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是不等關(guān)系(或否定式)的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法(3) 利用集合間的包含關(guān)系判斷，比如A B可判斷為 心B; A=B可判斷為A二B,且B_：.

6、A,即卩 AiB.如圖：，且丄:二；二是二LU的充分不必要條件“ ? ”“二丄是的充分必要條件.知識(shí)點(diǎn)四：全稱量詞與存在量詞1. 全稱量詞與存在量詞全稱量詞及表示：表示全體的量詞稱為全稱量詞。表示形式為“所有”、“任意”、“每一個(gè)”等，通常用符號(hào)“ | ”表示，讀作“對(duì)任意”。含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題。全稱命題“對(duì)M中任意一個(gè)x,有p(x)成立 可表示為，其中M為給定的集合，p(x)是關(guān)于x的命題.(II )存在量詞及表示：表示部分的量稱為存在量詞。表示形式為“有一個(gè)”，“存在一個(gè)”，“至少有一個(gè)”，“有點(diǎn)”，“有些”等，通常用符號(hào)“ T ”表示，讀作“存在”。含有存在量詞的命題，叫做

7、特稱命題特稱命題“存在 M中的一個(gè)x,使p(x)成立”可表示為“ - 二”，其中M為給定的集合，p(x)是關(guān)于x的命題.2. 對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定(I )對(duì)含有一個(gè)量詞的全稱命題的否定全稱命題p：二工 V，他的否定-八：土二丄 心： 全稱命題的否定是特稱命題。(II )對(duì)含有一個(gè)量詞的特稱命題的否定特稱命題p：玉匸乩他的否定一：宀廠 J' - 1特稱命題的否定是全稱命題。注意：(1 )命題的否定與命題的否命題是不同的.命題的否定只對(duì)命題的結(jié)論進(jìn)行否定(否定一次)，而命題的否命題則需要對(duì)命題的條件和結(jié)論同時(shí)進(jìn)行否定(否定二次)。(2) 些常見(jiàn)的詞的否定:正面詞等于大于小于是都是宀

8、曰定是至少一個(gè)至多一個(gè)否定詞不等于不大于不小于不是不都是定不疋一個(gè)也沒(méi)有至少兩個(gè)規(guī)律方法指導(dǎo)1. 解答命題及其真假判斷問(wèn)題時(shí)，首先要理解命題及相關(guān)概念，特別是互為逆否命題的真 假性一致2. 要注意區(qū)分命題的否定與否命題 3. 要注意邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且” “非”與集合中的“并”“交”“補(bǔ)”是相關(guān)的，將二者相互對(duì)照可加深認(rèn)識(shí)和理解 4. 處理充要條件問(wèn)題時(shí)，首先必須分清條件和結(jié)論。對(duì)于充要條件的證明，必須證明充分性，又要證明必要性；判斷充要條件一般有三種方法：用集合的觀點(diǎn)、用定義和利用命題的等價(jià)性；求充要條件的思路是：先求必要條件，再證明這個(gè)必要條件是充分條件5. 特別重視數(shù)形結(jié)合思想與分類討論

9、思想的運(yùn)用。三、典型例題一、題型一：命題、真命題、假命題的判斷1 .例1 ：下列語(yǔ)句是命題的是()A. 梯形是四邊形B.作直線ABC. x是整數(shù)D.今天會(huì)下雪嗎解：A2、例2.下列說(shuō)法正確的是()A. 命題“直角相等”的條件和結(jié)論分別是“直角”和“相等”B. 語(yǔ)句“最高氣溫30 C時(shí)我就開(kāi)空調(diào)”不是命題C命題“對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形”是真命題D. 語(yǔ)句“當(dāng)a>4時(shí)，方程x2 4x + a= 0有實(shí)根”是假命題解析：對(duì)于A,改寫成“若p,則q”的形式應(yīng)為“若有兩個(gè)角是直角，則這兩個(gè)角相 等”；B所給語(yǔ)句是命題；C的反例可以是“用邊長(zhǎng)為3的等邊三角形與底邊為3,腰為2的 等腰三角形拼成

10、的四邊形不是菱形”來(lái)說(shuō)明.故選D.變式練習(xí)：下列命題是真命題的是()A. ?是空集 B. x N| x 1|<3是無(wú)限集C. n是有理數(shù)D . x2 5x= 0的根是自然數(shù)解析：選D.x2 5x = 0的根為Xi = 0, X2 = 5,均為自然數(shù).二、題型二：復(fù)合命題的結(jié)構(gòu)例3將下列命題改寫成“若p,則q”的形式，并判斷命題的真假：(1) 6是12和18的公約數(shù)；(2) 當(dāng)a> 1時(shí)，方程ax2 + 2x 1 = 0有兩個(gè)不等實(shí)根；(3) 已知x、y為非零自然數(shù)，當(dāng)y x = 2時(shí)，y = 4, x = 2. 解析：(1)若一個(gè)數(shù)是6,則它是12和18的公約數(shù)，是真命題.若a&g

11、t; 1，貝U方程ax2 + 2x 1 = 0有兩個(gè)不等實(shí)根，是假命題.1因?yàn)楫?dāng)a= 0時(shí)，方程變?yōu)?x 1 = 0,此時(shí)只有一個(gè)實(shí)根x=已知x、y為非零自然數(shù)，若y x = 2,則y= 4, x= 2,是假命題.三、題型三：命題真假判斷中求參數(shù)范圍例4、已知p： x2 + m灶1 = 0有兩個(gè)不等的負(fù)根，q：方程4x2+ 4(m-2)x + 1 = 0(m R)無(wú)實(shí)根, 求使p為真命題且q也為真命題的m的取值范圍.解析：若P為真，則仁m 4>0,解得m>2.若 q 為真，則= 16( m- 2)2 16<0，解得 1<m<3.P 真,q真，即捫,31<n&

12、lt;3.故m的取值范圍是(2,3)變式練習(xí)：已知命題p： lg( x2 2x 2) >0;命題q： 0<x<4，若命題p是真命題，命題q是 假命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.解：命題p是真命題，則x2 2x 2> 1, x>3 或 x < 1,命題q是假命題，則x<0或x>4.-x或 x w 1.四、題型四：四種命題的等價(jià)關(guān)系及真假判斷例5.命題“若 ABC有一內(nèi)角為疔，則 ABC勺三內(nèi)角成等差數(shù)列”的逆命題()A. 與原命題同為假命題B. 與原命題的否命題同為假命題C與原命題的逆否命題同為假命題D. 與原命題同為真命題解析：選D.原命題顯然為真，原

13、命題的逆命題為“若厶 ABC的三內(nèi)角成等差數(shù)列，則 ABC有一內(nèi)角為 專”，它是真命 題.故選D.例6.命題“若f(x)是奇函數(shù)，貝U f( x)是奇函數(shù)”的否命題是()A.若f(x)是偶函數(shù)，貝U f( x)是偶函數(shù)B若f(x)不是奇函數(shù)，則f( x)不是奇函數(shù)C若f( x)是奇函數(shù)，貝U f(x)是奇函數(shù)D.若f( x)不是奇函數(shù)，則f(x)不是奇函數(shù)答案：B 例7.給出下列命題: 命題“若b2 4ac<0,則方程ax2 + bx + c = 0(a0)無(wú)實(shí)根”的否命題; 命題“ ABC中，A吐BC= CA那么 ABC為等邊三角形”的逆命題； 命題“若a>b>0，則萌話&

14、gt;0”的逆否命題； “若m>1，則mf 2(1)x + (m-3)>0的解集為R'的逆命題.其中真命題的序號(hào)為.2 2解析：否命題：若b 4ac>0,則方程ax + bx + c = 0(a0)有實(shí)根，真命題； 逆命題：若 ABC為等邊三角形，則A吐BC= CA真命題； 因?yàn)槊}“若a>b>0,則3a>3b>0”是真命題，故其逆否命題為真命題； 逆命題：若mX 2( m 1)x + (m- 3)>0的解集為R,則m>1，假命題.所以應(yīng)填變式練習(xí).若命題p的逆命題是q,命題q的否命題是r，則p是r的()A.逆命題B.逆否命題C.

15、否命題D.以上判斷都不對(duì)解析：選B.命題P：若x，則y，其逆命題q：若y，則x，那么命題q的否命題r :若 非y，則非x，所以p是r的逆否命題.所以選B.五、題型五：?jiǎn)栴}的逆否證法例8.判斷命題“若m>0,貝昉程x2 + 2x 3m= 0有實(shí)數(shù)根”的逆否命題的真假.解： m>0， 12m>0,.°. 12m+ 4>0.方程x2+ 2x 3m= 0的判別式 = 12m 4>0.原命題“若m>0,貝昉程x2+ 2x 3m= 0有實(shí)數(shù)根”為真命題.又因原命題與它的逆否命題等價(jià)，所以“若 m>0,貝昉程x2 + 2x 3m= 0有實(shí)數(shù)根” 的逆否命題

16、也為真命題.六、題型六：判斷條件關(guān)系及求參數(shù)范圍例 9.“x = 2k n +亍仆 Z)”是“tan x = 1” 成立的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件n解析：當(dāng) x = 2k n +；時(shí)，tan x= 1,4n而 tan x= 1 得 x = k n + 二，4所以“x= 2k n +n”是“tan x= 1”成立的充分不必要條件.故選 A.4例10、設(shè)A是B的充分不必要條件,C是B的必要不充分條件，D是C的充要條件，則D是A的()A.充分不必要條件B必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件解析：由題意得:故D是A的必要不充分條件例11

17、.已知條件p： K xw 10, q： x -4x + 4- m<0(m>0)不變，若非p是非q的必要而不 充分條件，如何求實(shí)數(shù) m的取值范圍？解：p：- K xw 10.2 2q： x -4x + 4-mw0? x- (2 - n) x- (2 + m) w0(m>0)? 2 mW xw 2+ mj m>0).因?yàn)榉莗是非q的必要而不充分條件，所以p是q的充分不必要條件，即x| - 1w xx|2 - mW xw 2+ n)，"2 mw- 12 m<-1故有'c "或J"，i2+ m>1012+ m> 10解得m

18、> 8.所以實(shí)數(shù)m的范圍為mj m>8.變式練習(xí)1:已知條件：p： y= lg( x2 + 2x- 3)的定義域，條件q： 5x-6>x2，則q是p的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：選 A. p： x2+ 2x 3>0，則 x>1 或 x<-3;22q： 5x-6>x，即 x -5x + 6<0,由小集合？大集合， q? p，但 p q.故選 A.1變式練習(xí)2已知p： wxw 1，q： awxwa+ 1，若p的必要不充分條件是q，求實(shí)數(shù)a的取 值范圍.解析：q是p的必要不充分條件，則 p? q 但

19、 q? / p.1 'p： 2wxw 1, q： awxwa+ 1.1 1 a+ 1>1 且 aw2，即卩 ow aw滿足條件的a的取值范圍為0，2 .七、充要條件的論證42例12求證：ow a<5是不等式ax-ax+ -a>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立的充要條件.4證明：充分性： 0<a<52 2/. = a 一 4a（l 一 a） = 5a 一 4a = a（5 a一 4）<0 ,貝U ax2- ax+ 1-a>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立.而當(dāng)a= 0時(shí)，不等式ax2 - ax+ 1 -a>0可變成1>0.顯然當(dāng)a = 0時(shí)，不等式ax2-a

20、x+ 1-a>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立.必要性： ax2- ax + 1 - a>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，a>0,二a=0 或，2 = a 4a4解得0w a<5.4故0<a<5是不等式我-擬+ -a。對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立的充要條件.八、命題真假值的判斷例13.如果命題“ pVq”與命題“非P”都是真命題，那么()A. 命題p不一定是假命題B. 命題q 一定為真命題C. 命題q不一定是真命題D. 命題p與命題q的真假相同解析：選B. “pV q”為真，則p、q至少有一個(gè)為真.非P為真，則P為假， q是真命題.變式練習(xí)：判斷由下列命題構(gòu)成的 pVq，pA q，非p形式

21、的命題的真假：(1) p:負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)，q：有理數(shù)是實(shí)數(shù)；(2) p： 2<3，q： 3<2;(3) p： 35是5的倍數(shù)，q： 41是7的倍數(shù).解：(1) P真，q真， pV q為真命題，pA q為真命題，非p為假命題；p真，q假， pVq為真命題，pA q為假命題，非p為假命題；(3) p真，q假， pVq為真命題，pA q為假命題，非p為假命題.九、命題的否定與否命題例14.命題“若a<b，則2a<2b”的否命題為，命題的否定為.解析：命題“若a<b,則2a<2b”的否命題為“若a>b,則2*2b”， 命題的否定為“若a<b，則2a2b

22、”.1例15： (1 )已知命題p：若1 w xw 2,則 :>0，命題p的否定為：,x2 _ 3x + 21答案：若1 w x w 2，則rw 0或X2 -3x 2 =0.(注意要全盤否定)x-3x+2(2 )命題“若x2 =1，則X =1 ”的否定是 .答案：2.若x2=1,則X不一定等于1.變式練習(xí)1:“a5且b>3”的否定是;“a>5或b<3”的否定是:解：av5 或 bv 3 av 5 且 b>3變式練習(xí)2: (2010年高考安徽卷)命題“對(duì)任何x R, |x 2| + |x 4|>3 ”的否定是 解：存在 x R,使得 |x 2| + | x 4

23、| <3變式練習(xí)3寫出下列命題的否定，然后判斷其真假：(1) p：方程x2 x + 1= 0有實(shí)根；p：函數(shù)y= tan x是周期函數(shù)； P： ? A；p：不等式x2 + 3x + 5<0的解集是?.解析：題號(hào)判斷p的真假非P的形式判斷非p的真假(1)假方程x2 x + 1= 0無(wú)實(shí)數(shù)根直/、(2)直/、函數(shù)y = tan x不是周期函數(shù)假(3)直/、? t A假(4)直/、不等式x2+ 3x+ 5<0的解集不是？假十、全稱命題與特稱命題相關(guān)小綜合題例15.指出下列命題中哪些是全稱命題，哪些是特稱命題，并判斷真假:(1) 若a>0,且a 1,則對(duì)任意實(shí)數(shù)x, ax>

24、;0.(2) 對(duì)任意實(shí)數(shù) X1, X2，若 X1VX2,則 tan X1<tan X2.(3) ? T0 R,使 |sin( x + T°)| = |sin x|.？ X。 R,使 x2 + 1<0.解析：(1)(2)是全稱命題，(3)(4)是特稱命題.(1) v ax>0(a>0且a 1)恒成立，.命題(1)是真命題.(2) 存在 X1 = 0, X2= n , X1VX2,但tan 0 = tan n ,二命題 是假命題.(3) y = |sin x|是周期函數(shù)，n就是它的一個(gè)周期，二命題(3)是真命題.對(duì)任意Xo R, x2 + 1>0.二命題（4

25、）是假命題.例16.若命題p： ? x R, ax2+4x + a>-2x2+ 1是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. a<- 3 或 a>2B. a>2C. a>-2D. 2<a<2解析：依題意：ax2+4x + a> 2x2 + 1恒成立, 即（a + 2）x2 + 4x+ a1>0 恒成立，所以有:Ja+ 2>0,J64 a+2a> 2.a> 2,2、a + a 60所以選B變式練習(xí)1: 已知命題p： ? xo R, tan Xo= 3;命題q： ? x R, x2 x + 1>0,則命 題“ p且q”是題.

26、（填“真”或“假”）解析： 當(dāng) x°=n3時(shí)，tan Xo3,命題p為真命題；21 2 3 L rx x+ 1= x 2 1 + 4>0 恒成立，命題q為真命題，“ p且q”為真命題.所以填：真變式練習(xí)2：已知命題p：?x R,使tan x= 1,命題q：x2 3x + 2<0的解集是x|1<x<2, 下列結(jié)論：命題“ pA q”是真命題；命題“ pA?q”是假命題；命題“？ pV q”是真命 題；命題“？ pV?q”是假命題，其中正確的是（ ）A.B.C.D.解析：n當(dāng)x=時(shí)，tan x = 1 ,命題p為真命題.由x2 3x+ 2<0得1<x&

27、lt;2,.命題q為真命題. pA q為真，pA?q為假，？ pV q為真，？ pV?q為假.所以選D十一、綜合訓(xùn)練典型題例17 .設(shè)命題p :實(shí)數(shù)x滿足x2 4ax + 3a2<0，其中a>0,命題q：實(shí)數(shù)x滿足 X2 x 6< 0,:x2+ 2x 8>0.(1) 若a= 1,且pA q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；(2) 非p是非q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：(1)由 x 4ax + 3a <0 得(x 3a)( x a)<0.又 a>0,所以 a<x<3a,當(dāng) a= 1 時(shí)，1<x<3,即p為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)x的取

28、值范圍是1<x<3.fx2 x 6< 0,由 x2 + 2x 8>0.2w xw 3,解得'，卡c 即2<xw 3./< 4 或 x>2.所以q為真時(shí)實(shí)數(shù)x的取值范圍是2<x w 3."1<x<3若pA q為真，則仁? 2<x<3,2<x W3所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是(2,3).(2)非p是非q的充分不必要條件，即非p?非p且非q 非q.設(shè) A= x| xwa 或 x>3a , B= x| xW2 或 x>3,則A址B.所以 O<aw2 且 3a>3，即 1<aw 2.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2.例18.若？ x R,函數(shù)f (x) = mx+ x m- a的圖象和x軸恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取 值范圍.解析： 當(dāng)m= 0時(shí)，f(x) = x