高一復(fù)習(xí)串講(平面向量)

1、高一復(fù)習(xí)串講之平面向量一向量有關(guān)概念：1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。如：已知A（1,2），B（4,2），則把向量按向量（1,3）平移后得到的向量是_（答：（3,0）2零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；3單位向量：長度為一個(gè)單位長度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；4相等向量：長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；5平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定

2、是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合；平行向量無傳遞性?。ㄒ?yàn)橛?；三點(diǎn)共線共線；6相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。如下列命題：（1）若，則。（2）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同。（3）若，則是平行四邊形。（4）若是平行四邊形，則。（5）若，則。（6）若，則。其中正確的是_（答：（4）（5）二向量的表示方法：1幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；2符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來表示，如，等；3坐標(biāo)表示法：在平面

3、內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量，為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標(biāo)，叫做向量的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。三平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使a=e1e2。如（1）若，則_（答：）；（2）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是 A. B. C. D. （答：B）；（3）已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_（答：）；（4）已知中，點(diǎn)在邊上，且，則的值是_（答：0）四實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長度和方向規(guī)

4、定如下：當(dāng)>0時(shí)，的方向與的方向相同，當(dāng)<0時(shí)，的方向與的方向相反，當(dāng)0時(shí)，注意：0。五平面向量的數(shù)量積：1兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量，作，稱為向量，的夾角，當(dāng)0時(shí)，同向，當(dāng)時(shí)，反向，當(dāng)時(shí)，垂直。2平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：，即。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量。如（1）ABC中，則_（答：9）；（2）已知，與的夾角為，則等于_（答：1）；（3）已知，則等于_（答：）；（4）已知是兩個(gè)非零向量，且，則的夾角為_（答：）3在上的投影為，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0。如已知

5、，且，則向量在向量上的投影為_（答：）4的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積。5向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量，其夾角為，則：；當(dāng)，同向時(shí)，特別地，；當(dāng)與反向時(shí)，；當(dāng)為銳角時(shí)，0，且不同向，與為銳角不是等價(jià)條件；當(dāng)為鈍角時(shí)，0，且不反向，與為鈍角也不是等價(jià)條件；非零向量，夾角的計(jì)算公式：；。如（1）已知，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是_（答：或且）；（2）已知的面積為，且，若，則夾角的取值范圍是_（答：）；（3）已知與之間有關(guān)系式，用表示；求的最小值，并求此時(shí)與的夾角的大小（答：；最小值為，）六向量的運(yùn)算：1幾何運(yùn)算：向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用

6、于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)，那么向量叫做與的和，即；向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)，由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。如（1）化簡：_；_；_（答：；）；（2）若正方形的邊長為1，則_（答：）；（3）若O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的形狀為_（答：直角三角形）；（4）若為的邊的中點(diǎn)，所在平面內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，設(shè)，則的值為_（答：2）；（5）若點(diǎn)是的外心，且，則的內(nèi)角為_（答：）；2坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則：向量的加減法運(yùn)算：，。如（1）已知點(diǎn)，若，則當(dāng)_時(shí)，點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上（答：）；（2）已知，則 （答：或）；（3）

7、已知作用在點(diǎn)的三個(gè)力，則合力的終點(diǎn)坐標(biāo)是 （答：（9,1）實(shí)數(shù)與向量的積：。若，則，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。如設(shè)，且，則C、D的坐標(biāo)分別是_（答：）；平面向量數(shù)量積：。如已知向量（sinx，cosx）, （sinx，sinx）, （1，0）。（1）若x，求向量、的夾角；（2）若x，函數(shù)的最大值為，求的值（答：或）；向量的模：。如已知均為單位向量，它們的夾角為，那么_（答：）； 兩點(diǎn)間的距離：若，則。如如圖，在平面斜坐標(biāo)系中，平面上任一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若，其中分別為與x軸、y軸同方向的單位向量，則P點(diǎn)斜坐標(biāo)為。（1）若點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為

8、（2，2），求P到O的距離PO；（2）求以O(shè)為圓心，1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系中的方程。（答：（1）2；（2）；七向量的運(yùn)算律：1交換律：，；2結(jié)合律：，；3分配律：，。如下列命題中： ； ； ； 若，則或；若則；。其中正確的是_（答：）提醒：（1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即，為什么？八向量平行(共線)的充要條件：0。如（1）若向量，當(dāng)_時(shí)與共線且方向相同（答：2）；（2）已知，且

9、，則x_（答：4）；（3）設(shè)，則k_時(shí)，A,B,C共線（答：2或11）九向量垂直的充要條件： .特別地。如（1）已知，若，則 （答：）；（2）以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是_ （答：(1,3)或（3，1）；（3）已知向量，且，則的坐標(biāo)是_ （答：）十、向量中一些常用的結(jié)論：（1）一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；（2），特別地，當(dāng)同向或有；當(dāng)反向或有；當(dāng)不共線(這些和實(shí)數(shù)比較類似).（3）在中，若，則其重心的坐標(biāo)為。如若ABC的三邊的中點(diǎn)分別為（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），則ABC的重心的坐標(biāo)為_（答：）；為的重心，特別地

10、為的重心；為的垂心；向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；的內(nèi)心；（4）向量中三終點(diǎn)共線存在實(shí)數(shù)使得且.如平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn),若點(diǎn)滿足,其中且,則點(diǎn)的軌跡是_（答：直線AB）高一數(shù)學(xué)寒假班階段性測試（必修1和必修4）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分1.已知全集UR，集合集合，則（ ） A B. C. D .2. 設(shè)是非零向量，是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論正確的是 （ ）A. 與的方向相反 B. |C. 與的方向相同 D. |=|.3.若向量兩兩所成的角相等，且等于 （ ）A. 3 B. 5 C. 2或5 D. 4.若函數(shù)在R上為增函數(shù)，則的取值范圍為： A

11、、 B、 C、 D、5.若點(diǎn)在第一象限,則在內(nèi)的取值范圍是： A B.C. D.6.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是： A、 B、 C、 D、7.把函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的一半（縱坐標(biāo)不變），然后把圖象向左平移個(gè)單位，則所得圖形對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為： A、 B、 C、 D、 8、函數(shù)的圖像如圖所示，那么和可以是： 9、 x0y1x0y1x0y1x0y1設(shè)，實(shí)數(shù)滿足，則關(guān)于的函數(shù)的圖像形狀大致是： A B C D 10、 已知函數(shù)在區(qū)間上至少取得2個(gè)最大值，則正整數(shù)的最小值為： A、8 B、9 C、10 D、11二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分11、 設(shè)為兩個(gè)不共線的向量，若+，共線，則 。12、 已知二次函數(shù)，若在區(qū)間上不單調(diào)，則的取值范 圍是_13、 設(shè)函數(shù)定義域?yàn)镽，最小正周期為，若，則等于 。14、 若則的大小關(guān)系是_15、 已知?jiǎng)t 16、 函數(shù)若對(duì)任意都有成立，則 的最小值為 三、解答題：本大題共4小題，共40分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17、已知定義