圓錐曲線的結(jié)論

1、1.2.3.4.5.6.7.8.9.有關(guān)解析幾何的經(jīng)典結(jié)論、橢點(diǎn)P處的切線PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的外角.PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的外角,那么焦點(diǎn)在直線除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).中位線橢圓的光學(xué)性質(zhì)PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓,以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線 相離.第二定義以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切.第二定義x2右P0x0,y.在橢圓 a方程組法2X右P0(x0, y0)在橢圓線方程是X0X-2a2 y b22I 1上,那么過(guò)外的橢圓的切線方程是 粵 ba縛 1.求導(dǎo)或用聯(lián)立 b2aYoY b2那么橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為22橢圓三、1 ( a b a b

2、IMF1I a ex0, | MF2I2y /-2r 1外,那么過(guò)P0作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為b0的左右焦點(diǎn)分別為 Fi,F2 ,2,S F1PF2b 匕%0的焦半徑公式:a ex0( Fi( c,0),設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交 P,Q兩點(diǎn),相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于證實(shí):x kyc,.余弦定理F2(c,0),凡8 ,那么切點(diǎn)弦PP2的直點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)+面積公式+半角公式Mxo,y.第二定義F1PF2,A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn),連結(jié) AP和AQ分別交MF NF .2X2a2L 1 b22 ,2. 2a b k2b2cky b2c2a2byPyo.2 2b c2a2b2y.2b2cky22

3、 2)a b kXPXO2 2a c2a2, 2. 2a b k.2. 2,xpb kXo2a2ca2 b2k2 'Ynyp2 a aca xPyM2 a ac易得:yQa XqIjI,mF nF 研nF 0xm c 迎 c ymyn 0,XMc XNb4c2c10.過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)于點(diǎn)M , A2P和AQ交于點(diǎn)N ,那么MF證實(shí)：首先證實(shí)準(zhǔn)線,AiP和PA2公共點(diǎn),Xq, Yq,不妨設(shè)XpXq,kiyPXPk2YqxQkik2得交點(diǎn)ki kik2k2Xp YqXq YpaYp YqXpyQXqYpaYpYq得b22. 22a k x2a2k2cx2 2 22 2a

4、ck a b0,令M2 2. 2 ackXPXQ2,2 a b,Xp2, 22a k cXP yQXQ yP2 22a2b2k再根據(jù)上一條性質(zhì)可得結(jié)論.XQ,YpYq2abckNXP yQXQ yPNF .(P,Q,且Ai, A2為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn), AiP和A2Q交Y2 xa2 yb2 a2k2, N2b2ck.b2 a2k22abkN,YpYq2a2b2k 2a2bkN_22abckN 2ab ck11. AB是橢圓即Kab22x y /b7b2x0-2°a V.1的不平行于對(duì)稱軸的弦,Mx0,y0為AB的中點(diǎn),那么koM Kab點(diǎn)差法12.假設(shè)B(xo, y0)在橢圓2x2 a

5、2y ,、, 1內(nèi),那么被B所平分的中點(diǎn)弦的方程是bx0x-2a2 x0-2 ay02點(diǎn)差法13.假設(shè)在橢圓2X2 a2 y_ b21內(nèi),2 x那么過(guò)P0的弦中點(diǎn)的軌跡方程是ax0x-Ta點(diǎn)差法二、雙曲線1.點(diǎn)P處的切線PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.同上2.3.4.5.6.7.8.9.b22 ,aPT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角,那么焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓,除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).同上以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線 相交.同上以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓 相切.內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支同上2什一x右P0x0,y.在雙曲線a2 x 右P

6、0x0,y.在雙曲線 a那么切點(diǎn)弦PF2的直線方程是2 x 雙曲線-2 aF1PF22 x 雙曲線-2 a2y2yb2x°x-2aNd b20,b 0上,那么過(guò)P0的雙曲線的切線方程是:0,b 0)外1.同上2y' 1 (a 0,b 0)的左右焦點(diǎn)分別為 b,那么雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為S2 y , 1 (a b當(dāng)M X0, y°在右支上時(shí),當(dāng)MX0, y°在左支上時(shí),F1PF20,b 0的焦半徑公式:|MF11 ex0 a , | MF2 |MFi|ex0 a , | MF2設(shè)過(guò)雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點(diǎn),分別交相應(yīng)于焦點(diǎn) F的雙曲線準(zhǔn)線

7、于M、N兩點(diǎn),那么過(guò)F0作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為 n,F2,F,F2,點(diǎn)b2cot-.2Fi( c,0)ex0 a.|ex0 aP為雙曲線上任意一點(diǎn):同上F2(c,0)同上A為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn), 連結(jié)AP和AQ那么MF NF .(同上)10.過(guò)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn) P、Q ,且A, 4為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn),AP和11.12.A2Q交于點(diǎn)M ,AB是雙曲線Kom K abA2P和AQ交于點(diǎn)N ,那么MF NF .同上2Xa b2X0 a%2 y b2假設(shè)Poxo, y0在雙曲線1 a>0,b>0的不平行于對(duì)稱軸的弦,MX0, y0為AB的中點(diǎn),那么即K abb2

8、X0a2y0.同上22xy7-2ab1 ( a 0,b0)內(nèi),那么被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是:22X0Xy0 yX0y0FFK(同上)abab22x y13.右 P0(X0,y0)在雙曲線 2 2a b1 ( a 0, b0)內(nèi),那么過(guò)P°的弦中點(diǎn)的軌跡方程是:警警.同上a b橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)會(huì)推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論1.橢圓2 X 2 a2I 1 a b 0的兩個(gè)頂點(diǎn)為 b2A(a,0 , A2a,0,與y軸平行的直線交橢圓于證實(shí):P13時(shí),A1P1與A2 P2交點(diǎn)的軌跡方程是2 y b21.交點(diǎn)P X0,y0y1X1ay2X2 a,得 y02a2y122X1a2 y1 b21,2

9、v b22 X2. 過(guò)橢圓2a24 1ab b2上任一點(diǎn)AX0, y任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C兩點(diǎn),那么直線BC有定向且kBCb2X02a V.證實(shí):x y一% = #(工一占)& r + ；5 cr b-(b2 +aJAJ)x2 4 2aJA(y0-Ax0)x4-(ya -Ax0)2 -a'b: =0a2k2x 2</.仔/b2乂二 A3 fH九二h2 +t/;Z2同理小=山匚半曰工8=b +a «Ar=,:*=不一K,=b +.# b +*kb-yQ-(rk2y2h:xQkb- +uk-Ar人)223.假設(shè)P為橢圓2T與1a ba b 0上異于

10、長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),Fi、F2是焦點(diǎn),PF1F2PF2F1tan cot 一 .22證法1 代數(shù)超 "、 -1 sin p iintfsin(a +/?) sin +$inp sin« +sin /?- siiXct + /7)sinzz+ sin/7+si(#+#)c_ 5ina + 3M*5in(a + Q) _ 2§孤丁)8乂亍)一25沖丁)式一)a,=urn Ifln - T-證法二(幾何),為內(nèi)切®I帝,為半周K,aB r rIan *tan =,r =22 p-n p - mmm為焦點(diǎn)：角形的其余兩條邊(/j-/n)(/j-n)(/j-2c)a

11、 Brp -tan -*tan - =22(一疝 1p 一而 p224.設(shè)橢圓二二 1 a b的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi、F2, P 異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn),在 PF1F2中,記F1PF2PF1F2F1F2P,那么有一也一sin sin上條已證5.2L 1 b2的左、右焦點(diǎn)分別為 Fi、F2,左準(zhǔn)線為l ,那么當(dāng)01時(shí),可在橢圓上求一點(diǎn)P,使得PFi是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離 d與PF2的比例中項(xiàng).6.22P為橢圓二與a2b2a b 0上任一點(diǎn),F1、F2是焦點(diǎn),A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn),7.8.2a |AF2 11PA|橢圓(x x)2橢圓2 a2 2B2b22xa(1)(2)(3)證實(shí)(y| PFi | 2a

12、 | AFi |,當(dāng)且僅當(dāng)A,F2,P三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立y0)2b2(AX02L 1b2 11By.1與直線Ax By C 0有公共點(diǎn)的充要條件是C)2.0 , O為坐標(biāo)原點(diǎn),P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn),且 OP OQ ._22|OP| |OQ|OP|2+|OQ|2的最大值為S OPQ的最小值是a2b1聲2 24a2b2 .-27-2 ;a b2設(shè) on V = kx&_ +匕= /b1.方(1+5)同理"Irk2 +口=1 I7 + oiy- OQ-_+必 >(1 + g _ 11+,卜) a2(OP1 + OQ-)(-OP2(l + lr ng -OCr > OQ

13、2補(bǔ)充性質(zhì),過(guò).做P0垂線,垂足為,為定值21()OQ=PO-()H = OH2= “a +/rPOOHT J ?>_±La2 +h29.過(guò)橢圓勺 a2與1 a b b2p,那么叵!| MN |0的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于M , N兩點(diǎn),弦MN的垂直平分線交x軸于2證實(shí)ecosa 1 +ecosaCON"cosrzVN = MFF =ecosa=;-4-t/cosa I -e' cos' u2 X10.橢圓-2aP(xo,0),那么b22 ab20 , A,B是橢圓上的兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)2,2a b11.設(shè)P點(diǎn)是橢圓2 X2

14、a2 L b2上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2是焦點(diǎn),記F1PF2,那么(1) |PFi|PF2|3.(2)1 cosPF1F2b2 tan-.222PAB12.設(shè)A, B是橢圓勺 _y21ab 0的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn),P是橢圓上的一點(diǎn), a bPBA , BPA , c,e分別是橢圓的半焦距離心率,那么有： 2 .,八2ab | cos | |PA| -2-Aa c cos(2) tan tan 1 e2.2, 2c2ab.(3) S pab _22 cot .b a22X V 13 .橢圓2 方 i a b 0的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)E,過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線與橢圓相 a b交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C在

15、右準(zhǔn)線l上,且BC x軸,那么直線 AC經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn).設(shè) = 8由相似得一四epsii】." 1 -ecosffyf HE 1 DE14 .過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線,與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交,那么相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.15 .過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn),那么該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直證設(shè)尸馬必x =?&笄+*1 n 5耍忙一也c a %c yP cyp 2t2PFOF cxr -c + - = 0cce 離心率./. PFL QF16 .橢圓焦三角形中,內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)注：在橢圓焦三角形

16、中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn).角分線定理+合比公式17 .橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.角分線定理18 .橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中央的比例中項(xiàng).角分線定理雙曲線221 .雙曲線x2 1 a 0,b 0的兩個(gè)頂點(diǎn)為 Ai a,0, A2a,0,與y軸平行的直線交雙曲 a b22x y線于P,F2時(shí),A1P1與4P2交點(diǎn)的軌跡方程是 一741.a bx2 y22.過(guò)雙曲線二 七 1 a 0,b 0上任一點(diǎn) Ax0,y°任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線 a b于B,C兩點(diǎn),那么直線BC有定向且kBC之常數(shù).a Vo223

17、.假設(shè)P為雙曲線與 4 1a 0,b 0 右或左支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),F1、F2是焦點(diǎn),a bc a- c a ,、PF1F2,PF2F1,貝U tan cot 或 tancot.c a 22 c a 22224 .設(shè)雙曲線與 4 1 a 0,b 0的兩個(gè)焦點(diǎn)為 E、F2, P 異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)為雙曲線上任a2 b2意一點(diǎn),在 PF1F2 中,記 F1PF2, PF1F2, F1F2P,那么有:sinc e.(sin sin ) a225 .假設(shè)雙曲線勺 4 1 (a 0,b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi、F2,左準(zhǔn)線為l ,那么當(dāng)1 e 及 1 a b時(shí),可在雙曲線上求一點(diǎn) P,使得PFi是P到對(duì)

18、應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng)22x V6.P為雙曲線 F 1 (a 0,b 0)上任一點(diǎn),Fi、F2是焦點(diǎn),A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn),那么a b| AF2 | 2a | PA| | PFi |,當(dāng)且僅當(dāng)A,F2, P三點(diǎn)共線且P和A, F2在y軸同側(cè)時(shí),等號(hào)成立x2V2.7 .雙曲線=三 1 (a 0,b 0)與直線Ax By a bA2a2 B2b2 C2 .228 .雙曲線 勺、1 (b>a >0), O為坐標(biāo)原點(diǎn), a bC 0有公共點(diǎn)的充要條件是P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn),且OPOQ .(1)(2)1111|OP |2 |OQ |2 a2 b2 ;224a2b2OP OQ的最小值為

19、-一2； b a(3)S OPQ的最小值是2, 2a b722b a229.過(guò)雙曲線與二1( aa b0,b 0)的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M ,N兩點(diǎn),弦MN10.的垂直平分線交X軸于P ,那么LPF£ . | MN | 222X V雙曲線=三 1 (a 0,b 0) , A,B是雙曲線上的兩點(diǎn),線段 a bAB的垂直平分線與x軸11.相交于點(diǎn)P(X0,0),那么X022設(shè)P點(diǎn)是雙曲線xy yT a b2. 22. 2a b j a b或 x0.aa1 (a 0,b 0 )上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)FF2是焦點(diǎn),記F1PF2,貝U：2b2 |PFJ|PF2| -1 cos12.

20、(2) S pf f b cot . 1 2222設(shè)A,B是雙曲線勺 a2 b2PBA , BPA1 (a 0,b 0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn),P是雙曲線上的一點(diǎn), c,e分別是雙曲線的半焦距離心率,那么有：PAB |PA|2,.2ab |cos |(2) tan|a2 tanc2co s2 |1 e2.2,2s PABcot2a b222b aX V 13 .雙曲線f 1 a 0,b 0的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)E ,過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)F的直線 a b與雙曲線相交于 A, B兩點(diǎn),點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上,且BC x軸,那么直線 AC經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn).14 .過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線,與以長(zhǎng)軸為直徑的圓

21、相交,那么相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連 線必與切線垂直.15 .過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn),那么該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn),那么該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連雙曲線焦三角形中,外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e離心率.同上注：在雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn) .同上16 .雙曲線焦三角形中,外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e 離心率.注：在雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn) .17 .雙曲線焦三角形中,其焦點(diǎn)所對(duì)的旁心將外

22、點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18 .雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中央的比例中項(xiàng)2219 .橢圓 三 4 1上一點(diǎn)F0 x0,y0 ,以直線與橢圓交于 M ,N兩點(diǎn),恒有F0MF0N ,那么a b證實(shí)直線橫過(guò)x0v = kx & 二 + 二 = I =>(b' +ti2Ji ).x? +2w Jtm.r +口%/+"上 =0 a' h'日十-2a'km nvb- -a2b:k:2mb'3#="n,與= 'rr?必兒=-rrr 劉 小兒=im干- 方+ 口,卜 -3*+01-L Zr十日囁,PV -

23、L QM 0 nixi -0=> 區(qū).一 .Q(q - .0)+5. 一 J'Jl+ -凡)三 0+ V)+fhQ口氣% -23：)+ * = 0不作關(guān)于"的二次方程mMpl加行加,上式出燃成支,所以方程必M 根叫=JL 222X V19.橢圓-y_ 1,不再橢圓上的一點(diǎn) P ,過(guò)P做傾斜角互補(bǔ)的兩直線,與橢圓交于a bA, B,C,D四點(diǎn),那么A,B,C,D四點(diǎn)共圓證實(shí). X v設(shè) H線方程K = s + mcosa.y = /+msina& -= 1 a bcos2 a-a sin%) +br +/-/ =0bv +1-廠 -crh- . .rtrl h a

24、- +ar叫" z :不;1.、,同用!""門=-_；rr-b cos- a +," siir ah' cos- a + a' sin' amm 2=ffl3m44如C£)四點(diǎn)共網(wǎng)其他常用公式:利用方程的根與系數(shù)關(guān)系來(lái)計(jì)算弦長(zhǎng),常用的弦1、連結(jié)圓錐曲線上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦,2、直線的一般式方程：任何直線均可寫成Ax By C 0 A, B不同日為0的形式.3、知直線橫截距x0,常設(shè)其方程為xmy %它不適用于斜率為 0的直線,與直線l:Ax By C 0垂直的直線可表示為 Bx Ay C1 0.Ci C2,A2

25、 B222AC0,且B0,且D E 4AF0.4、兩平行線11: Ax By C1 0, l2: Ax By C2 0間的距離為d5、假設(shè)直線li： Ax By Ci 0與直線12： Ax By C2 0平行,那么A1B2 A2B1 0 斜率且B1C2 B2C1 0 在y軸上截距充要條件6、圓的一般方程： x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E2 4F 0 ,特別提醒：只有當(dāng)D2 E2 4F 0時(shí),方程x2 y2 Dx Ey F 0才表示圓心為1 Ey F 0表示圓的充要條件是-VD2 E2 4F 的圓.二元二次方程 Ax2 Bxy Cy2 Dxx a r cos7、圓的參數(shù)方程：為參數(shù),其中圓心為 a,b ,半徑為r.圓的參數(shù)萬(wàn)程的王y b r sin要應(yīng)用是三角換元：x2y2r2 x r cos, y r sin；x2y2tx r cos ,y r sin0r 4；8、a