均勻帶電球面內(nèi)的電勢相等

1、引言均勻帶電球面內(nèi)的電勢,一般的論證方法是場強(qiáng)積分法.即先確定E分布,然后選零勢點(diǎn)和便于計(jì)算的積分路徑,選取零勢點(diǎn)的原那么是使場中電勢分布有確定值,最后由零勢點(diǎn)uu r零勢點(diǎn)電勢定義UaEdl= Ecos dl計(jì)算Ua1.然而有些情況卻并不能給出場中電勢aa分布確實(shí)定值,所以我們可以試想用不同的方法,多角度的計(jì)算均勻帶電球面的電勢, 并證實(shí)其相等.下面就重點(diǎn)介紹其中的常見的計(jì)算和證實(shí)方法.第1章 利用點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢公式證實(shí)設(shè)帶電球面的的半徑為R,帶電荷量為q,如圖1-1所示,圖1-1用點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢公式計(jì)算電勢由題意知電荷面密度為dS R2 sin d ddq ?ds ?Rsin?Rd?d

2、在球內(nèi)任一點(diǎn)處產(chǎn)生的電勢1 dq4 0 r22D Rcos RsinD22R 2DRcos于是帶電球面內(nèi)任一點(diǎn)的電勢為vp=R+r2 RdVP = dy=R-r 40rq4°R1 ?2 R2 sin d4 0 . D2 R2 2DRcos:R2 sin d222 D Rcos Rsin _ 2_2D R 2 DR cosd 2 R2sin d4 0 D2 R2 2DRcos通過對以上公式積分得：2 2R2sind 丁 2R2sind2 Jd2 R2 2DRcos0 一4一0一 ：d廠R12DRcos_ 0 4一0一 :dR12DRcos-2 R21 D2 R2 2DR cos-4TD

3、Rq40R第2章 利用均勻圓環(huán)在中央軸線上產(chǎn)生的電勢公式證實(shí)如右圖2-1所小,在球心內(nèi)建立直角坐標(biāo)系 o-xy ,在上半球出作一均勻帶電圓環(huán), 如圖,在球內(nèi)任取一點(diǎn)p, p離球心距離為D,球面邊緣到p點(diǎn)的距離為r,球半徑為R, 半徑R與軸線夾角為 ,均勻帶電球面的面密度為.在圓環(huán)處所產(chǎn)生的電荷為：dq ?ds ?2 Rcos ?Rd圖2-1利用均勻圓環(huán)在中央軸線上產(chǎn)生的電勢公式計(jì)算電勢在p點(diǎn)處產(chǎn)生的電勢為:r2 d22Rsin RcosD2 R2 2DRSin可得:2d 1 ?2 R cos d4 0 D2 R2 2DRsin22 Rcos dD2 R2 2DRsin同上,在球的下半面取一帶電

4、圓環(huán),那么有：dq ?ds ?2 Rcos ?Rd?2 R2 cos d222r D Rsin RcosD2 R2 2DRSin2聯(lián)立方程得：d 2 R cos d4 0 . D2 R2 2DRsin通過對以上公式積分得：22.2 2 Rcos d丁 2 R cos d0 4 0 , d2 R2 2DRsin 04 ., d2 R2 2DRsin2 R214 0 DRJd2 R2 2DRsin 20D2 R2 2 DR sinq40R第3章利用電場線性質(zhì)證實(shí)3如圖3-1所示,我們在半徑為R的圓上分別放置3, 6, 12, ?個(gè)電量相同的點(diǎn)電荷, 畫出電力線分布的大致情況.可以看出,隨著電荷數(shù)目

5、的增加,環(huán)面內(nèi)的場強(qiáng)越來越弱.不難想象,當(dāng)電荷的數(shù)目趨向無窮時(shí)即形成線電荷分布.這時(shí)環(huán)內(nèi)的場強(qiáng)為0,因此,環(huán)內(nèi)的電勢應(yīng)為一常量即q Q4 oR圖3-1 半徑F放置不同點(diǎn)電荷形成電場線由于電場線起于正電荷,終止于負(fù)電荷,假假設(shè)球面帶正電,由于球面內(nèi)部不帶電, 而無窮遠(yuǎn)處電勢為零,相當(dāng)于存在負(fù)電荷,所以電場線設(shè)在無窮遠(yuǎn)處,不會存在于球面 內(nèi)部,所以內(nèi)部電場為零.因此,環(huán)內(nèi)的電勢應(yīng)為一常量即V Q .內(nèi)4 oR假假設(shè)球面帶負(fù)電,由于電場線終止于負(fù)電荷,球面內(nèi)部不帶電,所有的電場線全部 終止于球面,球面內(nèi)部也沒有電場線,也即內(nèi)部電場為零.環(huán)內(nèi)的電勢應(yīng)為一常量即Q 4V V內(nèi) , c40Ro由題意5,6

6、可知,第4章利用電動力學(xué)的理論證實(shí)n1(Anrn 0Bn有限；2對于那么有Bn0,所以對于那么有A0,所以又由方程ds=q可得:cds 4q4 r2 0那么有,由于有:r R所以有:因此,2 3；4 0R21220,0(Ar01Bn)rnAnrn 0q0r&rn n 0B 10BnR第5章 利用均勻帶電球面產(chǎn)生的電場強(qiáng)度公式證實(shí)設(shè)帶點(diǎn)球面的半徑為R,總電荷量為q,如圖5-1 ,均勻帶電球面在空間激發(fā)的場強(qiáng)沿半徑方向,其大小為7qE= 4 0r2r>R0r<R沿半徑積分,那么p點(diǎn)的電勢為Vp= Edrr圖5-1利用均勻帶電球面產(chǎn)生的電場強(qiáng)度公式計(jì)算當(dāng)r>R時(shí),Vpq d

7、r _ q -224 0r24 or2當(dāng)r<R時(shí),由于球內(nèi)外場強(qiáng)的函數(shù)關(guān)系不同,積分必須分段進(jìn)行,即RVp= E drrE drRR0 drq dr q-=4 0rr24 0R第6章利用立體角概念證實(shí)設(shè)均勻帶電球殼的半徑為R,場點(diǎn)P與球心O勺距離rP點(diǎn)在球殼內(nèi)時(shí),r<R ,在球殼外時(shí),r>R,如圖6-1所示P點(diǎn)在球殼內(nèi)情形以通過Q點(diǎn)和P點(diǎn)的直徑為軸線,把球面分成許 多圓環(huán)帶,在圖中所示圓球半徑與軸線夾角為處,環(huán)帶寬度為Rd ,線電荷密度, dl Rd環(huán)帶的半徑為a Rsin .由均勻帶電圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的場強(qiáng)公式,環(huán)半徑為a 時(shí),所產(chǎn)生的電勢為81 2 Rsin Rd10 a1

8、 2 Z2 2圖6-1利用立體角概念計(jì)算電勢q4 R29.9.22a2+z2= Rsinr Rcosr2 R2 2rR cos故由積分可得帶電球殼在P 點(diǎn)處所產(chǎn)生的電勢為140 0 r2q .sin d_22R 2rR cosq 2R= q80 Rr 40r結(jié)語一般來說,計(jì)算電勢的方法有兩種.第一種方法是由電勢的定義式通過場強(qiáng)的線積 分來計(jì)算；另一種方法是的電勢疊加原理.對不同的帶電體系,本質(zhì)上講上述兩種方法 都能夠計(jì)算出電勢,但是選擇不同的方法計(jì)算的難易程度是大不相同的.通過我們前面 內(nèi)容的學(xué)習(xí),大家要注意對不同的帶電體系選擇不同的計(jì)算方法.謝辭到現(xiàn)在,我的論文根本成稿,回想這段時(shí)間,感慨萬

9、分！從論文選題到搜集資料, 從寫初稿到最后定稿,期間經(jīng)歷了喜悅、煩躁和痛苦,隨著論文的最終定稿,我的心情 也平靜了許多.首先,我要感謝我的母校,它給了我學(xué)習(xí)和成長的時(shí)機(jī),“崇真、求實(shí)、博學(xué)、創(chuàng)新讓我學(xué)會了追求和鉆研,讓我領(lǐng)略了做學(xué)問的真諦,正是在它的鼓勵下,四年間, 我刻苦學(xué)習(xí),博覽群書,孜孜以求.其次,我要感謝,非常感謝我的指導(dǎo)老師賀慶澤老師.最后,我要感謝我的大學(xué)同學(xué).每當(dāng)我在彷徨、猶豫時(shí),他們都能扶我一把,幫我 順利度過難關(guān).由于有他們的陪伴和支持,我的大學(xué)充實(shí)而精彩,感謝命運(yùn)能讓我們在 此相遇,共同度過四載春秋,成為一生知己！感謝之余,誠懇地請各位老師對我的論文多加批評指正.衷心的謝謝各位老師,你們辛苦啦！參考文獻(xiàn)1 趙凱華,陳熙謀.電磁學(xué)M.第二版.北京：高等教育出版社,1985.p932 梁燦彬.電磁學(xué)M.北京：高等教育出版社,1980.p1143 白 靜.均勻帶電圓環(huán)的電場分布J.遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào),2005.p24 徐世良.數(shù)學(xué)物理方法解題分析M.南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社,1983.p465 程守洙.普通物理學(xué)M.北京：人民教育出版社,1983.p876 張之翔.電磁學(xué)千題M