同濟大學(xué)(高等數(shù)學(xué))_第六篇_多元微積分學(xué)

1、第六篇 多元微積分學(xué)第九章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用我們以前學(xué)習(xí)的函數(shù)只有一個自變量，這種函數(shù)我們稱為一元函數(shù)一元函數(shù)的微積分解決了很多初等數(shù)學(xué)無法解決的問題但是，在實際問題中往往牽扯到多方面的因素，解決這類問題必須引進多元函數(shù)本章將在一元函數(shù)微分學(xué)的基礎(chǔ)上，討論多元函數(shù)的微分及其應(yīng)用從一元函數(shù)的情形推廣到二元函數(shù)時會產(chǎn)生一些新的問題，而從二元函數(shù)推廣到二元以上的多元函數(shù)則可以類推通過本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生要掌握多元函數(shù)微分學(xué)的基本原理以及解決幾何、經(jīng)濟與管理、工程等領(lǐng)域的實際問題的具體方法.第1節(jié) 多元函數(shù)的基本概念1.1 平面點集為了介紹二元函數(shù)的概念，有必要介紹一些關(guān)于平面點集的知識，在一元函數(shù)

2、微積分中，區(qū)間的概念是很重要的，大部分問題是在區(qū)間上討論的在平面上，與區(qū)間這一概念相對應(yīng)的概念是鄰域1.1.1 鄰域設(shè)是平面上的一定點，是某一正數(shù)，與點的距離小于的點的全體，稱為點的鄰域，記為，即,亦即 在幾何上表示以為中心，為半徑的圓的內(nèi)部(不含圓周)上述鄰域去掉中心后，稱為的去心鄰域，記作.如果不需要強調(diào)鄰域的半徑，則用表示點的鄰域，用表示的去心鄰域1.1.2 區(qū)域下面用鄰域來描述平面上的點與點集之間的關(guān)系設(shè)是平面上的一個點集，是平面上的一點，則與的關(guān)系有以下三種情形：(1) 內(nèi)點：如果存在的某個鄰域，使得，則稱點為的內(nèi)點(2) 外點：如果存在的某個鄰域，使得，則稱為的外點(3) 邊界點：

3、如果在點的任何鄰域內(nèi)，既有屬于的點，也有不屬于的點，則稱點為的邊界點的邊界點的集合稱為的邊界，記作例如：點集，除圓心與圓周上各點之外圓的內(nèi)部的點都是的內(nèi)點，圓外部的點都是的外點，圓心及圓周上的點為的邊界點；又如平面點集，直線上方的點都是的內(nèi)點，直線下方的點都是的外點，直線上的點都是的邊界點(圖91)圖91顯然，點集E的內(nèi)點一定屬于E；點集E的外點一定不屬于E；E的邊界點可能屬于E，也可能不屬于E如果點集E的每一點都是E的內(nèi)點，則稱E為開集，點集是開集，不是開集設(shè)E是開集，如果對于E中的任何兩點，都可用完全含于E的折線連接起來，則稱開集E是連通集(圖92) 點集E1和E2都是連通的，點集不是連通

4、的(圖92)圖92連通的開集稱為開區(qū)域(開域)從幾何上看，開區(qū)域是連成一片的且不包括邊界的平面點集如E1是開區(qū)域開區(qū)域是數(shù)軸上的開區(qū)間這一概念在平面上的推廣開區(qū)域E連同它的邊界構(gòu)成的點集，稱為閉區(qū)域(閉域)，記作 (即)閉區(qū)域是數(shù)軸上的閉區(qū)間這一概念在平面上的推廣如E2及都是閉域，而既非閉域，又非開域閉域是連成一片的且包含邊界的平面點集本書把開區(qū)域與閉區(qū)域統(tǒng)稱為區(qū)域如果區(qū)域E可包含在以原點為中心的某個圓內(nèi)，即存在正數(shù)，使，則稱E為有界區(qū)域，否則，稱E為無界區(qū)域例如E1是有界區(qū)域，E2是無界區(qū)域記E是平面上的一個點集，P是平面上的一個點如果點P的任一鄰域內(nèi)總有無限多個點屬于點集E，則稱P為E的聚

5、點顯然，E的內(nèi)點一定是E的聚點，此外，E的邊界點也可能是E的聚點例如，設(shè)，那么點既是的邊界點又是的聚點，但的這個聚點不屬于；又如，圓周上的每個點既是的邊界點，也是的聚點，而這些聚點都屬于由此可見，點集E的聚點可以屬于E，也可以不屬于E再如點，原點是它的聚點，中的每一個點都不是聚點1.1.3 n維空間Rn一般地，由n元有序?qū)崝?shù)組的全體組成的集合稱為n維空間，記作Rn即n元有序數(shù)組稱為n維空間中的一個點，數(shù)xi稱為該點的第i個坐標類似地規(guī)定，n維空間中任意兩點與之間的距離為前面關(guān)于平面點集的一系列概念，均可推廣到n維空間中去，例如，是某一正數(shù)，則點的鄰域為以鄰域為基礎(chǔ)，還可以定義n維空間中內(nèi)點、邊

6、界點、區(qū)域等一系列概念1.2 多元函數(shù)的概念1.2.1 n元函數(shù)的定義定義1 設(shè)D是中的一個非空點集，如果存在一個對應(yīng)法則f , 使得對于D中的每一個點，都能由f 唯一地確定一個實數(shù)y，則稱f為定義在D上的n元函數(shù)，記為其中叫做自變量，y叫做因變量，點集D叫做函數(shù)的定義域，常記作取定，對應(yīng)的叫做所對應(yīng)的函數(shù)值全體函數(shù)值的集合叫做函數(shù)f的值域，常記為或，即當(dāng)n=1時，D為實數(shù)軸上的一個點集，可得一元函數(shù)的定義，即一元函數(shù)一般記作；當(dāng)n=2時，D為平面上的一個點集，可得二元函數(shù)的定義，即二元函數(shù)一般記作，若記，則也記作二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)多元函數(shù)的概念與一元函數(shù)一樣，包含對應(yīng)法則和定

7、義域這兩個要素多元函數(shù)的定義域的求法，與一元函數(shù)類似若函數(shù)的自變量具有某種實際意義，則根據(jù)它的實際意義來決定其取值范圍，從而確定函數(shù)的定義域. 對一般的用解析式表示的函數(shù)，使表達式有意義的自變量的取值范圍，就是函數(shù)的定義域例1 在生產(chǎn)中，設(shè)產(chǎn)量Y與投入資金K和勞動力L之間的關(guān)系為（其中均為正常數(shù))這是以K，L為自變量的二元函數(shù)，在西方經(jīng)濟學(xué)中稱為生產(chǎn)函數(shù)該函數(shù)的定義域為例2 求函數(shù)的定義域D，并畫出D的圖形解 要使函數(shù)的解析式有意義，必須滿足即,如圖93劃斜線的部分 圖93 圖941.2.2. 二元函數(shù)的幾何表示設(shè)函數(shù)的定義域為平面區(qū)域D，對于D中的任意一點，對應(yīng)一確定的函數(shù)值這樣便得到一個三

8、元有序數(shù)組，相應(yīng)地在空間可得到一點當(dāng)點P在D內(nèi)變動時，相應(yīng)的點M就在空間中變動，當(dāng)點P取遍整個定義域D時，點M就在空間描繪出一張曲面S (圖94)其中而函數(shù)的定義域D就是曲面S在xO y面上的投影區(qū)域例如表示一平面；表示球心在原點，半徑為1的上半球面1.3二元函數(shù)的極限二元函數(shù)的極限概念是一元函數(shù)極限概念的推廣二元函數(shù)的極限可表述為定義1 設(shè)二元函數(shù)的定義域是某平面區(qū)域D，P0為D的一個聚點，當(dāng)D中的點P以任何方式無限趨于0時，函數(shù)值f(P)無限趨于某一常數(shù)A，則稱A是函數(shù)當(dāng)P趨于P0時的(二重)極限記為或，此時也稱當(dāng)時的極限存在， 否則稱的極限不存在若點的坐標為，點的坐標為，則上式又可寫為或

9、 f (x, y)A（xx，yy）類似于一元函數(shù)，無限趨于A可用來刻畫，點無限趨于可用刻畫，因此，二元函數(shù)的極限也可如下定義定義2 設(shè)二元函數(shù)的定義域為D，是D的一個聚點，A為常數(shù)若對任給的正數(shù)，不論多小，總存在，當(dāng)，且時，總有則稱A為當(dāng)時的(二重)極限注 定義中要求是定義域D的聚點，是為了保證在P0的任何鄰域內(nèi)都有D中的點注意到平面上的點趨近于的方式可以多種多樣：可以從四面八方趨于，也可以沿曲線或點列趨于定義1指出：只有當(dāng)以任何方式趨近于，相應(yīng)的都趨近于同一常數(shù)A時，才稱A為當(dāng)時的極限如果以某些特殊方式(如沿某幾條直線或幾條曲線)趨于時，即使函數(shù)值趨于同一常數(shù)A，我們也不能由此斷定函數(shù)的極限

10、存在但是反過來，當(dāng)P在D內(nèi)沿不同的路徑趨于時，趨于不同的值，則可以斷定函數(shù)的極限不存在二元函數(shù)極限有與一元函數(shù)極限相似的運算性質(zhì)和法則，這里不再一一敘述例3 設(shè)判斷極限是否存在?解 當(dāng)沿x軸趨于時，有y=0，于是；當(dāng)沿y軸趨于時，有x=0，于是但不能因為以上述兩種特殊方式趨于時的極限存在且相等，就斷定所考察的二重極限存在因為當(dāng)沿直線)趨于時，有，這個極限值隨k不同而變化，故不存在例4 求下列函數(shù)的極限：(1) ；(2)； (3)解(1)(2)當(dāng)時，有這時，函數(shù)有界，而y是當(dāng)x0且y0時的無窮小，根據(jù)無窮小量與有界函數(shù)的乘積仍為無窮小量，得(3) 從例4可看到求二元函數(shù)極限的很多方法與一元函數(shù)相

11、同1.4 二元函數(shù)的連續(xù)性類似于一元函數(shù)的連續(xù)性定義，我們用二元函數(shù)的極限概念來定義二元函數(shù)的連續(xù)性定義3 設(shè)二元函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，如果,則稱函數(shù)在點處連續(xù)，稱為的連續(xù)點；否則稱在處間斷(不連續(xù))，稱為的間斷點與一元函數(shù)相仿，二元函數(shù)在點處連續(xù)，必須滿足三個條件：函數(shù)在點有定義；函數(shù)在處的極限存在；函數(shù)在處的極限與處的函數(shù)值相等，只要三條中有一條不滿足，函數(shù)在處就不連續(xù)由例3可知，在處間斷；函數(shù)在直線上每一點處間斷如果在平面區(qū)域D內(nèi)每一點處都連續(xù)，則稱在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，也稱是D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，記為在區(qū)域D上連續(xù)函數(shù)的圖形是一張既沒有“洞”也沒有“裂縫”的曲面一元函數(shù)中關(guān)于極限的運算法則對于

12、多元函數(shù)仍適用，故二元連續(xù)函數(shù)經(jīng)過四則運算后仍為二元連續(xù)函數(shù)(在商的情形要求分母不為零)；二元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)與一元初等函數(shù)類似，二元初等函數(shù)是可用含的一個解析式所表示的函數(shù)，而這個式子是由常數(shù)、的基本初等函數(shù)、的基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及復(fù)合所構(gòu)成的，例如,等都是二元初等函數(shù)二元初等函數(shù)在其定義域的區(qū)域內(nèi)處處連續(xù)與閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)相類似，有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)有如下性質(zhì)性質(zhì)1(最值定理) 若在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則在D上必取得最大值與最小值推論 若在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則在D上有界性質(zhì)2 (介值定理) 若在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，M和m分別是在D上的最大值與最小值，

13、則對于介于M與m之間的任意一個數(shù)C，必存在一點,使得以上關(guān)于二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，可類推到三元以上的函數(shù)中去習(xí)題911判斷下列平面點集哪些是開集、閉集、區(qū)域、有界集、無界集？并分別指出它們的聚點組成的點集和邊界.(1) ； (2) ；(3) 2求下列函數(shù)的定義域，并畫出其示意圖：(1)； (2)；(3)； (4)3設(shè)函數(shù)，求(1); (2)； (3) .4討論下列函數(shù)在點處的極限是否存在：(1) ； (2)5求下列極限：(1) ； (2)； (3)； (4)6證明：二元函數(shù)在點連續(xù)7設(shè)二元函數(shù)，試判斷在點處的連續(xù)性8函數(shù)在何處是間斷的？第2節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與全微分

14、2.1 偏導(dǎo)數(shù)的概念2.1.1 偏導(dǎo)數(shù)的定義在研究一元函數(shù)時，我們從研究函數(shù)的變化率引入了導(dǎo)數(shù)概念由于二元函數(shù)的自變量有兩個，關(guān)于某點處函數(shù)的變化率問題相當(dāng)復(fù)雜，因此我們不能籠統(tǒng)地講二元函數(shù)在某點的變化率在這一節(jié)，我們考慮二元函數(shù)關(guān)于某一個自變量的變化率，這就是偏導(dǎo)數(shù)的概念設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，x在有改變量，而保持不變，這時函數(shù)的改變量為，稱為函數(shù)在處關(guān)于的偏改變量(或偏增量)類似地可定義關(guān)于的偏增量為有了偏增量的概念，下面給出偏導(dǎo)數(shù)的定義定義1 設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，如果存在，則稱此極限值為函數(shù)在處關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù),并稱函數(shù)在點處關(guān)于x可偏導(dǎo)記作類似地，可定義函數(shù)在點處關(guān)于自變量y的

15、偏導(dǎo)數(shù)為，記作如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)每一點處的偏導(dǎo)數(shù)都存在，即存在，則上述兩個偏導(dǎo)數(shù)還是關(guān)于x，y的二元函數(shù)，分別稱為z對x，y的偏導(dǎo)函數(shù)(簡稱為偏導(dǎo)數(shù))并記作不難看出，在關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)就是偏導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值，而就是偏導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值由于偏導(dǎo)數(shù)是將二元函數(shù)中的一個自變量固定不變，只讓另一個自變量變化，相應(yīng)的偏增量與另一個自變量的增量的比值的極限；因此，求偏導(dǎo)數(shù)問題仍然是求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題求時，把y看做常量，將看做x的一元函數(shù)對x求導(dǎo)；求時，把x看做常量，將看做y的一元函數(shù)對y求導(dǎo)三元及三元以上的多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，完全可以類似地定義和計算，這里就不討論了例1 求函數(shù)在點處的偏導(dǎo)數(shù)解 將y看成常

16、量，對x求導(dǎo)得；將x看成常量，對y求導(dǎo)得再將代入上式得例2 求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)解 ，例3 設(shè)，求證：證 因為，所以 例4 求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)解 將y和z看做常量，對x求導(dǎo)得，同樣可得，2.1.2 二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義由于偏導(dǎo)數(shù)實質(zhì)上就是一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線上切線的斜率，因此，二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也有類似的幾何意義設(shè)在點處的偏導(dǎo)數(shù)存在，由于就是一元函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，即，故只須弄清楚一元函數(shù)的幾何意義，再根據(jù)一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就可以得到的幾何意義在幾何上表示一曲面，過點作平行于xz面的平面，該平面與曲面相截得到截線：若將代入第一個方程，得可見截線是平面上一條平面曲線，在

17、上的方程就是從而表示在點處的切線對x軸的斜率(圖9-5)同理，表示平面與的截線：在處的切線對y軸的斜率(圖95)圖95例5 討論函數(shù)在點(0,0)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)是否存在解 同樣有這表明在處對x和對y的偏導(dǎo)數(shù)存在，即在處兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在由上節(jié)例3知：該函數(shù)在處不連續(xù)本例指出，對于二元函數(shù)而言，函數(shù)在某點的偏導(dǎo)數(shù)存在，不能保證函數(shù)在該點連續(xù)但在一元函數(shù)中，我們有結(jié)論：可導(dǎo)必連續(xù)這并不奇怪，因為偏導(dǎo)數(shù)只刻畫函數(shù)沿x軸與y軸方向的變化率，存在，只能保證一元函數(shù)在x0處連續(xù)，即與的截線在處連續(xù)同時只能保證在處連續(xù)，但兩曲線,在處連續(xù)并不能保證曲面在處連續(xù)2.2 高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)=,那

18、么在D內(nèi)及都是x, y的二元函數(shù)如果這兩個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)還存在，則稱它們是函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)按照對變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù)：， ，其中 (或)與 (或)稱為的二階混合偏導(dǎo)數(shù)同樣可定義三階，四階，n階偏導(dǎo)數(shù)二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)例6 求函數(shù)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)和解 因為=y+2xsiny, =x+x2cosy,所以 =2siny, 12xcosy, =1+2xcosy, =x2siny， 從本例我們看到,即兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等，這并非偶然事實上，有如下定理定理1 如果函數(shù)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)和在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則在該區(qū)域內(nèi)有定理1表明：二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下與求導(dǎo)的次

19、序無關(guān).對于二元以上的函數(shù)，也可以類似的定義高階偏導(dǎo)數(shù)，而且高階混合偏導(dǎo)數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件下也與求導(dǎo)的次序無關(guān)例7 驗證函數(shù)滿足方程 解 所以 ，故 =2.3 全微分2.3.1 全微分的概念我們知道，一元函數(shù)如果可微，則函數(shù)的增量 y可用自變量的增量x的線性函數(shù)近似求得在實際問題中，我們會遇到求二元函數(shù)的全增量的問題，一般說來，計算二元函數(shù)的全增量 z更為復(fù)雜，為了能像一元函數(shù)一樣，用自變量的增量x與 y的線性函數(shù)近似代替全增量，我們引入二元函數(shù)的全微分的概念定義2 設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)z在處的全增量可表示成，其中A，B是與x，y無關(guān)，僅與有關(guān)的常數(shù)，o（）表示當(dāng)x0，y0時關(guān)

20、于的高階無窮小量，則稱函數(shù)在處可微，而稱為在點處的全微分，記作或，即若在區(qū)域D內(nèi)處處可微，則稱在D內(nèi)可微，也稱是D內(nèi)的可微函數(shù)在處的全微分記作dz，即二元函數(shù)在點P(x,y)的全微分具有以下兩個性質(zhì)：(1) 是的線性函數(shù)，即；(2) ,，因此，當(dāng)都很小時，可將作為計算 z的近似公式多元函數(shù)在某點的偏導(dǎo)數(shù)即使都存在，也不能保證函數(shù)在該點連續(xù)但是對于可微函數(shù)卻有如下結(jié)論：定理2 如果函數(shù)在點處可微，則函數(shù)在該點必連續(xù)這是因為由可微的定義，得，即 即函數(shù)在點處連續(xù)一元函數(shù)可微與可導(dǎo)是等價的，那么二元函數(shù)可微與可偏導(dǎo)之間有何關(guān)系呢?定理3 如果函數(shù)在點處可微，則在該點的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，且有證 因為函

21、數(shù)在點處可微，故，令，于是由此得 ，即 同理可證得 定理3的逆命題是否成立呢? 即二元函數(shù)在某點的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在能否保證函數(shù)在該點可微分呢? 一般情況下答案是否定的如函數(shù)在處兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，但在處不連續(xù)，由定理2知，該函數(shù)在處不可微但兩個偏導(dǎo)數(shù)既存在且連續(xù)時，函數(shù)就是可微的我們不加證明地給出如下定理定理4 如果函數(shù)在處的偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則函數(shù)在該點可微類似于一元函數(shù)微分的情形，規(guī)定自變量的微分等于自變量的改變量即，于是由定理3有以上關(guān)于二元函數(shù)的全微分的概念及結(jié)論，可以類推到三元以上的函數(shù)中去比如若三元函數(shù)在點處可微，則它的全微分為例8 求下列函數(shù)的全微分： (1) ； (2) 解 (1)

22、 因為,，所以(2) 因為，,，所以 例9 求在點處的全微分解 因,得，于是 3.1.2全微分的運算法則類似于一元函數(shù)微分的運算法則，有定理5 (全微分四則運算法則) 設(shè)，在處可微，則1) 在處可微，且;2) 若k為常數(shù)，在點處可微，且；3) 在點處可微，且;4) 當(dāng)g(x,y)0時，在點處可微，且 例10 求的全微分解 ，習(xí)題921求下列各函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：(1) ; (2) ； (3) ； (4) 2已知，求，3設(shè)，求4設(shè)，求證：5求下列函數(shù)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)(1) ; (2) ； (3) ； (4) 6設(shè)，求及7驗證滿足8求下列函數(shù)的全微分.(1) ； (2) ； (3 ) ； (4) 9設(shè)，

23、求10設(shè)求第3節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的求導(dǎo)法則3.1復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則3.1.1 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則現(xiàn)在要將一元函數(shù)微分學(xué)中復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則推廣到多元復(fù)合函數(shù)的情形，多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則在多元函數(shù)微分學(xué)中也起著重要作用定理1 設(shè)函數(shù)), 其中,如果函數(shù),都在x點可導(dǎo)，函數(shù)在對應(yīng)的點處可微，則復(fù)合函數(shù)在x處可導(dǎo)，且 (9-3-1)證 設(shè)自變量x的改變量為x，中間變量和的相應(yīng)的改變量分別為u和v，函數(shù)z的改變量為z因在處可微，由可微的定義有，其中,，且，故有因為和在點x可導(dǎo)，故當(dāng)時，u0，v0，0，在上式中令x0，兩邊取極限，得注意，當(dāng)x0時，0這是由于，這說明x0時，是有界量，為無窮小量從

24、而0（x0）用同樣的方法，可以得到中間變量多于兩個的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則比如,而,，則 （9-3-2）例1 設(shè)，,求解 利用公式(9-3-1)求導(dǎo)，因為 ，,，所以 本題也可將,代入函數(shù)中，再用一元函數(shù)的取對數(shù)求導(dǎo)法，求得同樣的結(jié)果觀察公式(9-3-1) ，(9-3-2)可以知道，若函數(shù)z有2個中間變量，則公式右端是2項之和，若z有3個中間變量，則公式右端是3項之和，一般地，若z有幾個中間變量，則公式右端是幾項之和，且每一項都是兩個導(dǎo)數(shù)之積，即z對中間變量的偏導(dǎo)數(shù)再乘上該中間變量對x的導(dǎo)數(shù)公式(9-3-1),(9-3-2)可借助復(fù)合關(guān)系圖來理解和記憶圖96公式(9-3-1) ，(9-3-2)稱為

25、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則上述定理還可推廣到中間變量依賴兩個自變量x和y的情形關(guān)于這種復(fù)合函數(shù)的求偏導(dǎo)問題，有如下定理：定理2 設(shè)在(u,v)處可微，函數(shù)及在點的偏導(dǎo)數(shù)存在，則復(fù)合函數(shù)在處的偏導(dǎo)數(shù)存在，且有如下的鏈式法則 （9-3-3）可以這樣來理解（9-3-3）：求時，將y看做常量，那么中間變量u和v是x的一元函數(shù)，應(yīng)用定理1即可得但考慮到復(fù)合函數(shù)以及與都是x, y的二元函數(shù)，所以應(yīng)把（9-3-1）中的全導(dǎo)數(shù)符號“”改為偏導(dǎo)數(shù)符號“”公式（9-3-3）也可以推廣到中間變量多于兩個的情形例如，設(shè),的偏導(dǎo)數(shù)都存在，函數(shù)可微，則復(fù)合函數(shù)對x和y的偏導(dǎo)數(shù)都存在，且有如下鏈式法則 （9-3-4）特別對

26、于下述情形：可微，而的偏導(dǎo)數(shù)存在，則復(fù)合函數(shù)對x及y的偏導(dǎo)數(shù)都存在，為了求出這兩個偏導(dǎo)數(shù)，應(yīng)將f中的變量看做中間變量：此時， 由公式（9-3-4）得 （9-3-5）注 這里與的意義是不同的是把中的u與y都看做常量對x的偏導(dǎo)數(shù)，而卻是把二元復(fù)合函數(shù)中y看做常量對x的偏導(dǎo)數(shù)公式（9-3-3），（9-3-4），（9-3-5）可借助圖97理解圖97例2 設(shè), 求解 ，例3 設(shè)可微，求對x及y的偏導(dǎo)數(shù)解 引入中間變量,由(9-3-3)得， 注 記號與分別表示對第一個變量與第二個變量在(）處的偏導(dǎo)數(shù)，可簡寫為與，后面還會用到這種表示方法例4 設(shè)，下面給出經(jīng)濟學(xué)中經(jīng)常遇到的齊次函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)的定義域為D，

27、且當(dāng)時，對任給的tR，t0，仍有如果存在非負常數(shù)k，使對任意的，恒有，則稱二元函數(shù)為k次齊次函數(shù)k=1時，稱為線性齊次函數(shù)例5 證明k次齊次函數(shù)滿足證明 在中，令，當(dāng)取定一點時是t的一元函數(shù)，于是有又因為，所以有因此，對任意的t，有.3.1.2 全微分形式不變性我們知道一元函數(shù)的一階微分形式具有不變性，多元函數(shù)的全微分形式也具有不變性下面以二元函數(shù)為例來說明設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分如果u,v是中間變量，即,，且這兩個函數(shù)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)的全微分為可見，無論z是自變量u,v的函數(shù)還是中間變量u,v的函數(shù)，它的全微分形式都是一樣的，這種性質(zhì)叫做多元函數(shù)的全微分形式的不變性例6 利用

28、一階全微分形式的不變性求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分解 引入中間變量，則因此 ，3.2 隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在一元函數(shù)的微分學(xué)中，我們曾介紹了隱函數(shù)的求導(dǎo)方法：方程兩邊對x求導(dǎo)，再解出y現(xiàn)在我們介紹隱函數(shù)存在定理，并根據(jù)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法導(dǎo)出隱函數(shù)的求導(dǎo)公式3.2.1 一個方程的情形定理3 設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)且,，則方程在點的某鄰域內(nèi)惟一確定一個具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，并且有 (9-3-6)公式(9-3-6)就是隱函數(shù)的求導(dǎo)公式這里僅對公式(9-3-6)進行推導(dǎo)將函數(shù)代入方程得恒等式其左端可以看作是x的一個復(fù)合函數(shù)，上式兩端對x求導(dǎo)，得由于連續(xù)，且，所以存在點的一個鄰域，在這個鄰

29、域內(nèi)，所以有如果的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù)，我們可以把(9-3-6)的兩端看作x的復(fù)合函數(shù)而再一次求導(dǎo)，得到例7 驗證方程在點的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)且時，并求這個函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)在的值解 設(shè)，則.由此，由定理3可知，方程在點的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)且時.所以 ，；例8 設(shè), 求解法一 令，則由公式(9-3-6)得解法二 方程兩邊對x求導(dǎo)，注意y是x的函數(shù)，得解得 注 在第一種方法中x與y都視為自變量，而在第二種方法中要將y視為x的函數(shù)y(x)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù)，下面介紹三元方程確定二元隱函數(shù)的定理定理4 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)

30、數(shù)，且，則方程在點的某一鄰域內(nèi)能惟一確定一個有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，并且有 (9-3-7)這里僅對公式(9-3-7)進行推導(dǎo)將函數(shù)代入方程得恒等式其左端可以看作是x和y的一個復(fù)合函數(shù)，上式兩端對x和y求導(dǎo)，得由于連續(xù)，且，所以存在點的一個鄰域，在這個鄰域內(nèi)，所以有例9 設(shè)求解 設(shè)，則當(dāng)時，得所以 3.2.2 方程組情形方程組 （9-3-8）中有四個變量，一般其中只能有兩個變量獨立變化，因此方程組（9-3-8）就可以確定兩個二元函數(shù)下面給出方程（9-3-8）能確定兩個二元函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y)的條件以及求u,v的偏導(dǎo)數(shù)公式定理5 設(shè)，在點的某鄰域內(nèi)具有對各個變量的連續(xù)偏導(dǎo)

31、數(shù)，又，且偏導(dǎo)數(shù)組成的函數(shù)行列式（稱為雅可比( Jacobi )式）在點不等于零，則方程組（9-3-8）在點的某鄰域內(nèi)惟一確定連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的兩個函數(shù)，它們滿足，且有， ， (9-3-9)定理5我們不證，關(guān)于公式(9-3-9)作如下推導(dǎo)：由于上述等式兩邊對x求偏導(dǎo)得由假設(shè)可知在點的某鄰域內(nèi)，系數(shù)行列式，解上述二元線性方程組得，同理可得公式(9-3-9) 的另外兩個式子例10 設(shè),求解 方程兩邊對x求偏導(dǎo)，注意u,v是x,y的二元函數(shù)，得將看成未知量，解上述方程組，在系數(shù)行列式時，方程組有唯一解.類似的，在系數(shù)行列式的條件下，可求得一般求方程組所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或偏導(dǎo)數(shù))，通常不用公式

32、法，而是對各方程的兩邊關(guān)于自變量求導(dǎo)(或求偏導(dǎo))，得到所求導(dǎo)數(shù)(或偏導(dǎo)數(shù))的方程組，再解出所求量例11 設(shè)函數(shù),方程確定u是x, y的函數(shù)，其中可微；連續(xù)，且，求證：解 隱函數(shù)看成由方程組所確定當(dāng)然同時還確定了另一函數(shù)對方程組的兩個方程關(guān)于x求偏導(dǎo)，得解得 類似地可求得 故 習(xí)題931求下列復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)：(1) 設(shè)，求；(2) 設(shè)，求; (3) 設(shè)，求;(4) 設(shè)，求;(5) 設(shè)，求;(6) 設(shè)，求.2設(shè)，其中為可微函數(shù)，驗證：3設(shè)，其中為可微函數(shù)，證明：4設(shè)，求5設(shè)，求和6求下列函數(shù)的(其中f 具有二階偏導(dǎo)數(shù))：(1) ； (2); (3) 7設(shè)，證明：.8求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1

33、) 設(shè)，求； (2) 設(shè)，求；(3) 設(shè)，求； (4) 設(shè)，求.9設(shè)，求.10設(shè)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，和分別由方程和確定，求 11設(shè)證明12設(shè)都是由方程所確定的具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，證明13求由下列方程組所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)：(1) 設(shè)，求； (2) 設(shè)，求； (3) 設(shè)，其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求. 14設(shè)函數(shù)由方程組所確定，求第4節(jié) 方向?qū)?shù)和梯度4.1 方向?qū)?shù)利用二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)可以解決函數(shù)沿平行于坐標軸方向的變化率問題在許多實際問題中，還需要考慮函數(shù)沿其他方向的變化率如要預(yù)報某地的風(fēng)速(風(fēng)力與風(fēng)向)，就必須知道氣壓在該處沿某些方向的變化率因此，有必要引進多元函數(shù)在某點沿一給定方向的方向

34、導(dǎo)數(shù)的概念定義1 設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，為自點引出的射線，從x軸的正向逆時針轉(zhuǎn)到射線l的轉(zhuǎn)角為，為l上的另一點，記 (圖98)如果極限存在，則稱該極限值為函數(shù)在處沿方向l的方向?qū)?shù)，記作或，即 （9-4-1）圖98定義中的極限表達式還可表示成另一形式設(shè)l的方向向量為e，則l的參數(shù)方程為所以，從而(9-4-1)式可表示為 （9-4-2）關(guān)于方向?qū)?shù)存在的條件及計算方法，有如下的定理定理1 如果函數(shù)在點處可微分，則函數(shù)在該點處沿任何方向l的方向?qū)?shù)都存在，且 = （9-4-3）證 由于函數(shù)在點處可微分，因此函數(shù)的增量為， 因為 ，所以 從而得到這表明了方向?qū)?shù)是存在的，且有例1 求函數(shù)在點

35、處從點到的方向的方向?qū)?shù)解 這里射線l的方向就是向量的方向，將單位化得：，得 ， ，由偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)可知函數(shù)在xOy平面上是可微的，所以公式9-4-3)還有另外的形式：設(shè)與l同向的單位向量為，其中，分別為l與x軸正向和y軸正向所成夾角(方向角)則當(dāng)滿足定理1的條件時，有 （9-4-4）同樣可以證明：如果函數(shù)函數(shù)在點可微分，那么函數(shù)在該點沿著方向的方向?qū)?shù)為 （9-4-5）例2 求函數(shù)在點沿l的方向的方向?qū)?shù)，其中l(wèi)的方向角分別為解 與l同方向的單位向量為：所以有函數(shù)在xOy平面上是可微的，所以4.2 梯度函數(shù)在某點沿方向l的方向?qū)?shù)刻畫了函數(shù)沿方向l的變化情況，那么函數(shù)在某點究竟沿哪一個方向增加最

36、快呢?為此將函數(shù)在處的方向?qū)?shù)的公式改寫為，這里el(cos，sin)和為兩個向量，且el(cos，sin)為與方向l一致的單位向量，于是有可見，g與el的方向一致(亦即g與l的方向一致)時，達到最大，即函數(shù)變化最快，的最大值為，即于是給出梯度的定義定義2 設(shè)在點處存在偏導(dǎo)數(shù)和,則稱向量為函數(shù)在點P處的梯度，記作（或)，即梯度的長度(或模)為 故函數(shù)在點P處沿方向l的方向?qū)?shù)可寫為梯度方向就是函數(shù)值增加最快的方向，或者說函數(shù)變化率最大的方向，也就是說函數(shù)在P點處的所有方向?qū)?shù)(若存在)中，沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大，并且等于梯度的長度；沿梯度反方向的方向?qū)?shù)最小且為例3 設(shè)，求在點處沿任意方向的

37、方向?qū)?shù)，并求方向?qū)?shù)的最大值和取得最大值的方向解 因為，所以由于沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大，且最大方向?qū)?shù)為梯度的長度，而，graDf因此在處方向?qū)?shù)的最大值為，取得最大值的方向為例4 設(shè)，求及解 因為 ，所以有習(xí)題941求在點(1，2)處沿該點到點(2，2+)的方向的方向?qū)?shù)2求在點(1，1，1)處沿該點到點(2，2，2)的方向的方向?qū)?shù)3求在點(1，1，2)處沿方向l的方向?qū)?shù)，其中l(wèi)的方向角分別為4求函數(shù)在點A(0，0，0)和點處的梯度以及它們的模5求函數(shù)在點處沿與Ox軸的正方向所成角為的方向l上的方向?qū)?shù)問在什么情況下，此方向?qū)?shù)取得最大值？最小值？等于零？6求函數(shù)在點處變化最快的方向

38、,并求這個方向的方向?qū)?shù)第5節(jié) 多元函數(shù)的應(yīng)用5.1 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用5.1.1 空間曲線的切線與法平面設(shè)空間曲線的參數(shù)方程為：這里假定在上可導(dǎo). 現(xiàn)在要求曲線上一點處的切線和法平面. 這里，. 在曲線上點的附近取一點. 作曲線的割線，其方程為，其中.以除上式各分母，得，當(dāng)點M沿著趨于點M0時割線的極限就是曲線在點M0處的切線. 所以當(dāng)Dt®0，即M®M0時, 得曲線在點M0處的切線方程為. 曲線的切向量: 切線的方向向量稱為曲線的切向量. 向量T 就是曲線在點M0處的一個切向量. 法平面: 通過點M0而與切線垂直的平面稱為曲線在點M0 處的法平面，其法平面方程為

39、. 例1 求曲線在點處的切線及法平面方程. 解 因為，而點所對應(yīng)的參數(shù).所以切線的方向向量為.于是, 切線方程為,法平面方程為 即. 若曲線的方程為：則曲線方程可看作參數(shù)方程:若都在處可導(dǎo)，由上面的討論知，切向量為T .因此曲線在點處的切線方程為，在點處的法平面方程為.若曲線的方程為是曲線上的一個點. 設(shè)有對各個變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且這時方程組在點的附近能確定惟一連續(xù)可微的隱函數(shù)組使得 在方程組的兩邊分別對取導(dǎo)數(shù)，得到故可解得所以，得到曲線在點處的切線方程為曲線在點處的法平面方程為 同理可推出：當(dāng)和時，曲線在點處的切線方程和法平面方程. 例2 求曲線在點處的切線及法平面方程. 解 為求切向量，將

40、所給方程的兩邊對x 求導(dǎo)數(shù).得,解方程組得，. .所求切線方程為,法平面方程為即 .5.1.2 曲面的切平面與法線 設(shè)曲面的方程為 是曲面上的一點，并設(shè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在該點連續(xù)且不同時為零. 在曲面上，過點任意引一條曲線,假定曲線的參數(shù)方程式為,對應(yīng)于點且不全為零. 曲線在點的切向量為T .曲面方程兩端在的全導(dǎo)數(shù)為： .引入向量n=易見T與n是垂直的.因為曲線是曲面上通過點的任意一條曲線，它們在點的切線都與同一向量n垂直，所以曲面上通過點的一切曲線在點的切線都在同一個平面上. 這個平面稱為曲面在點的切平面. 切平面的方程式是.曲面的法線: 通過點且垂直于切平面的直線稱為曲面在該點的法線. 法線方

41、程為.曲面的法向量: 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量. 向量 n =就是曲面在點處的一個法向量. 例3 求球面在點處的切平面及法線方程式. 解 , . 法向量為n = 或n =. 所求切平面方程為 即.法線方程為 . 討論: 若曲面方程為，問曲面的切平面及法線方程式是什么形式.提示: 此時. n = .例4 求旋轉(zhuǎn)拋物面在點處的切平面及法線方程. 解 n=,n.所以在點處的切平面方程為，即.法線方程為.5.2 多元函數(shù)的極值及其求法5.2.1 多元函數(shù)的極值與最值類似一元函數(shù)的極值概念，我們有多元函數(shù)極值的概念定義1 設(shè)函數(shù)的定義域為， 為的內(nèi)點. 若存在的某個鄰域，對于該鄰域內(nèi)異于

42、的任意點，都有，則稱函數(shù)在點有極大值，點稱為函數(shù)的極大值點；若對于該鄰域內(nèi)異于的任意點，都有，則稱函數(shù)在點有極小值，點稱為函數(shù)的極小值點極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值使函數(shù)取得極值的點稱為函數(shù)的極值點例如：函數(shù)在點處取得極小值；函數(shù)在點處取得極大值；而函數(shù)在點處既不取得極大值也不取得極小值這是因為，而在點的任何鄰域內(nèi)，既可取正值(、象限)，也可取負值(、象限)以上關(guān)于二元函數(shù)的極值的概念，可推廣到元函數(shù). 設(shè)元函數(shù)的定義域為， 為的內(nèi)點. 若存在的某個鄰域，對于該鄰域內(nèi)異于的任意點，都有（或），則稱函數(shù)在點有極大值(或極小值).由一元函數(shù)取極值的必要條件，我們可以得到類似的二元函數(shù)取極值的必要

43、條件定理1(極值存在的必要條件) 設(shè)函數(shù)在點處的兩個一階偏導(dǎo)數(shù)都存在，若是的極值點，則有證 若是的極值點，則固定變量，所得的一元函數(shù)在處取得相同的極值由一元函數(shù)極值存在的必要條件可得，即同樣可證 使得兩個一階偏導(dǎo)數(shù)都等于零的點稱為的駐點定理1表明，偏導(dǎo)數(shù)存在的函數(shù)的極值點一定是駐點，但駐點未必是極值點如，是它的駐點，但不是它的極值點函數(shù)也有可能在偏導(dǎo)數(shù)不存在的點取得極值如在處取得極大值，但該點的偏導(dǎo)數(shù)不存在怎樣判斷一個駐點究竟是否為極值點？下面給出一個判定定理定理2 (極值存在的充分條件) 設(shè)點是函數(shù)的駐點，且函數(shù)在點處的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，記， 則有(1) 如果，則為的極值點；且當(dāng)

44、時，為極小值；當(dāng)時，為極大值(2) 如果，則不是的極值點(3) 如果，則不能確定點是否為的極值點例5 求的極值解 由方程組得駐點又 , ，在點處，又，所以函數(shù)取得極小值；在點處，函數(shù)在該點不取得極值；在點處，該點不是極值點；在點處，又，所以函數(shù)取得極大值與一元函數(shù)類似，我們也可提出如何求多元函數(shù)的最大值和最小值問題如果在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則函數(shù)在D上必有最大(小)值，最大(小)值點可以在D的內(nèi)部，也可以在閉區(qū)域D的邊界上如果在D的內(nèi)部取得最大(小)值，那么這最大(小)值也是函數(shù)的極大(小)值，在這種情況下，最大(小)值點一定是極大(小)值點之一因此，要求函數(shù)在有界閉區(qū)域D上的最大(小)值時，

45、需將函數(shù)的所有極大(小)值與邊界上的最大(小)值比較，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值這種處理方法遇到的麻煩是求區(qū)域邊界上的最大(小)值往往相當(dāng)復(fù)雜例6 求二元函數(shù)在由直線，x軸和y軸所圍成的閉區(qū)域D上的最大值與最小值解 由得，和，其中點在區(qū)域D的內(nèi)部又 利用定理2：，因此點是的極大值點，為極大值再考慮區(qū)域D的邊界上的函數(shù)值：在邊界及上，在邊界上，將代入中，得記，令得或已考慮，時，這時比較以上各函數(shù)值：，,可知在閉域D上的最大值為，最小值為在實際問題中，如果能根據(jù)實際情況斷定最大(小)值一定在D的內(nèi)部取得，并且函數(shù)在D的內(nèi)部只有一個駐點的話，那么肯定這個駐點處的函數(shù)值就是在D上的最大(小

46、)值例7 某廠要用鋼板制造一個容積為的有蓋長方形水箱，問長、寬、高各為多少時能使用料最省?解 要使得用料最省，即要使得長方體的表面積最小，設(shè)水箱的長為x，寬為y，則高為，表面積由，得駐點(，）由題意知，表面積的最小值一定存在，且在開區(qū)域的內(nèi)部取得，故可斷定當(dāng)長為，寬為，高為=時，表面積最小，即用料最省的水箱是正方形水箱5.2.2 條件極值和拉格朗日乘數(shù)法以上討論的極值問題，除了函數(shù)的自變量限制在函數(shù)的定義域內(nèi)以外，沒有其他約束條件，這種極值稱為無條件極值但在實際問題中，往往會遇到對函數(shù)的自變量還有附加條件限制的極值問題，這類極值問題稱為條件極值問題例如：假設(shè)某企業(yè)生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別為，

47、該企業(yè)的利潤函數(shù)為同時該企業(yè)要求兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量滿足的附加條件為怎樣求企業(yè)的最大利潤呢?直接的做法就是消去約束條件，從中，求得，然后將代入利潤函數(shù)中得這樣問題轉(zhuǎn)化為無條件極值問題按照一元函數(shù)的求極值方法，令得，再代入附加條件得因此，當(dāng)企業(yè)生產(chǎn)5個單位的A產(chǎn)品和7個單位的B產(chǎn)品時，可獲利潤最大，最大利潤為但是很多情況下，要從附加條件中解出某個變量不易實現(xiàn)，這就迫使我們尋求一種求條件極值的直接方法，拉格朗日乘數(shù)法能夠解決這個問題我們來分析函數(shù)在條件 下取得極值的必要條件如果函數(shù)在處取得極值，則有假定在的某一鄰域內(nèi)函數(shù)與均有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，而且. 由隱函數(shù)存在定理可知，方程確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù),將其代入，得函數(shù)在取得的極值，相當(dāng)于函數(shù)在點取得的極值由一元可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件可知而由隱函數(shù)的求導(dǎo)公式有，把它代入上式得這個式子與就構(gòu)成了函數(shù)在條件下在