中考數(shù)學：旋轉(zhuǎn)問題

1、學習必備歡迎下載中考數(shù)學：聚焦“旋轉(zhuǎn)問題”旋轉(zhuǎn)是新課標教材新增的內(nèi)容，它是圖形變換的重要手段之一，因此備受中考命題者 的青睞。圖形的旋轉(zhuǎn)問題已成為中考試題的一道美麗風景，很值得同學們關(guān)注、欣賞。一.旋轉(zhuǎn)角例 1.如圖 1,在等腰 Rt ABC 中，P 是斜邊 BC 的中點，以 P 為頂點的直角的兩邊分別與 邊 AB、AC交于點 E、F，連接 EF。當/ EPF 繞頂點 P 旋轉(zhuǎn)時(點 E 不與 A、B 重合)， PEF 也始終是等腰直角三角形，請你說明理由。.旋轉(zhuǎn)直線(線段)2.如圖 3,平行四邊形點，將直線 AC 繞點 O 順時針旋轉(zhuǎn)，分別交 BC、AD 于點 E、F,(1) 證明：當旋轉(zhuǎn)角

2、為 90時，四邊形 ABEF 是平行四邊形；(2) 試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段 AF 與 EC 總保持相等；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形 BEDF 可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能,說明理由并求出此時 AC 繞點 O 順時針旋轉(zhuǎn)的度 數(shù)。圖 3圖 43.如圖 4,直角梯形 ABCD 中，AD/BC , AB 丄 BC, AD=3 , BC=5，將腰 DC 繞點 D 逆時 針方向旋轉(zhuǎn) 90至 DE，連接 AE，則 ADE 的面積是()A. 1B. 2C. 3D. 4ABCD 中，AB 丄 AC , AB=1 ,對角線 AC、BD 交于 O學習必備歡迎下載三.旋轉(zhuǎn)三角(板)形4._如圖5,將

3、厶AOB繞點0逆時針旋轉(zhuǎn)90,得到I.K 若點A的坐標為(a,b), 則點 A?的坐標為_ 5.已知/ AOB=90 ，在/ AOB 的平分線 OM 上有一點 C,將一個三角板的直角頂點與 C 重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB (或它們的反向延長線)相交于點D、E 當三角板繞點 C 旋轉(zhuǎn)到 CD 與 OA 垂直時如圖 6 (1)，易證：OD+OE=仁。當三 角板繞點 C 旋轉(zhuǎn)到 CD 與 OA 不垂直時，在圖 6 (2)，圖 6 (3)這兩種情況下，上述結(jié)論 是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段OD、OE、OC 之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明。(!) 圖 6四.

4、旋轉(zhuǎn)矩形6.如圖 7,在平面直角坐標系 xOy 中，把矩形CFED，設(shè) FC 與 AB 交于點 H，且 A ( 0, 4)、COAB 繞點 C 順時針旋轉(zhuǎn)角，得到矩形C (6, 0)(如圖 7)圖 7(1)當時，CBD的形狀是_(2)當 AH=HC 時，求直線 FC 的解析式;圖 5圖 8學習必備歡迎下載(3) 當.1時(如圖 8)，請?zhí)骄浚航?jīng)過點 D，且以點 B 為頂點的拋物線，是否經(jīng)過矩形 CFED 的對稱中心 M，交說明理由。學習必備歡迎下載五.旋轉(zhuǎn)正方形7.如圖 9,AABC 是等腰直角三角形，其中 CA=CB，四邊形 CDEF 是正方形，連接 AF、BD。圖 9（1）觀察圖形，猜想

5、AF 與 BD 之間有怎樣的關(guān)系，并證明你的猜想；（2） 若將正方形 CDEF 繞點 C 按順時針方向旋轉(zhuǎn)， 使正方形 CDEF 的一邊落在 ABC 的內(nèi)部，請你畫出一個變換后的圖形，并對照已知圖形標記字母，題（1 ） 中猜想的結(jié)論是 否仍然成立？若成立，直接寫出結(jié)論，不必證明；若不成立，請說明理由。若 CD 邊在 ABC 的內(nèi)部時，如圖 10；或若 CF 邊在 ABC 的內(nèi)部時，如圖 11。六.旋轉(zhuǎn)半圓8.如圖 12,半圓 M 的直徑 AB 為 20cm,現(xiàn)將半圓 M 繞著點 A 順時針旋轉(zhuǎn) 180（1）請你畫出旋轉(zhuǎn)后半圓 M 的圖形；（2）求出在整個旋轉(zhuǎn)過程中，半圓M 所掃過區(qū)域的面積（結(jié)

6、果精確到.1.）o七.旋轉(zhuǎn)圖案八.旋轉(zhuǎn)拋物線圖 129 如圖14,將學習必備歡迎下載析式。10.把二次函數(shù)孟的圖象拋物線繞頂點P 旋轉(zhuǎn) 180,求旋轉(zhuǎn)后的二次函數(shù)解學習必備歡迎下載中考數(shù)學：聚焦“旋轉(zhuǎn)問題”答案與解析一.旋轉(zhuǎn)角1.如圖 1,在等腰 Rt ABC 中，P 是斜邊 BC 的中點，以 P 為頂點的直角的兩邊分別與邊AB、AC 交于點 E、F,連接 EF。當/ EPF 繞頂點 P 旋轉(zhuǎn)時(點 E 不與 A、B 重合)， PEF 也始終是等腰直角三角形，請你說明理由。解析：解答此題必須變 “動”為“靜”，如圖 2,連接 PA，易知 PA 丄 PC,又 AB 丄 AC ,/ 1 = / C

7、=45 由/ EPF= / APC=90 ，得/ 2= / 3PA=1BC=PC而 -PAEPCF ( ASA ) PE=PF故厶 PEF 始終是等腰直角三角形二.旋轉(zhuǎn)直線(線段)2.如圖 3,平行四邊形 ABCD 中，AB 丄 AC , AB=1 , BC = Js ，對角線 AC、BD 交于 O點，將直線 AC 繞點 O 順時針旋轉(zhuǎn)，分別交 BC、AD 于點 E、F,(1) 證明：當旋轉(zhuǎn)角為 90時，四邊形 ABEF 是平行四邊形；(2)試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段 AF 與 EC 總保持相等；(3) 在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形 BEDF 可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能， 說明理由并求出

8、此時 AC 繞點 O 順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)。證明：(1)當/ AOF=90。時，AB/EF ,又 AF/BE ,四邊形 ABEF 為平行四邊形(2)相等。四邊形 ABCD 為平行四邊形 AO=CO，/ FAO= / ECO，/ AOF= / COE ,學習必備歡迎下載 AOF COE (ASA )學習必備歡迎下載 AF=EC（3）四邊形 BEDF 可以是菱形，理由：如圖 3,連接 BF、DE，由（2）知厶 AOFCOE，得 OE=OF , EF 與 BD 互相平分，當 EF 丄 BD 時，四邊形 BEDF 為菱形，在 Rt ABC 中，=、：=. OA=1=AB ,又 AB 丄 AC, / AOB

9、=45 , / AOF=45 ,故 AC 繞點 O 順時針旋轉(zhuǎn) 45時，四邊形 BEDF 為菱形3.如圖 4,直角梯形 ABCD 中，AD/BC , AB 丄 BC, AD=3 , BC=5，將腰 DC 繞點 D 逆時 針方向旋轉(zhuǎn) 90至 DE，連接 AE，則 ADE 的面積是（）則 CH=丨 I _ _亠：J :。由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易證 DHCDFE。貝 U EF=CH=2 ,=EF=r3x2=3故選 Co三旋轉(zhuǎn)三角（板）形4._ 如圖 5,將厶 AOB 繞點 O 逆時針旋轉(zhuǎn) 90,得到 MOB1。若點 A 的坐標為（a, b）, 則點 A?的坐標為。A. 1B. 2C. 3圖 3D. 4解析：此

10、題關(guān)鍵是求出厶EF 丄 AD 的延長線于 F,學習必備歡迎下載由旋轉(zhuǎn)知識得，.1- I h -，Jh 丄匚 則:5.已知/ AOB=90 ，在/ AOB 的平分線 OM 上有一點 C,將一個三角板的直角頂點與 C 重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB （或它們的反向延長線）相交于點D、E。當三角板繞點 C 旋轉(zhuǎn)到 CD 與OA垂直時如圖 6（ 1），易證：OD+OE=、. 。當三 角板繞點 C 旋轉(zhuǎn)到 CD 與 OA 不垂直時，在圖 6（ 2），圖 6（ 3）這兩種情況下，上述結(jié)論 是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段OD、OE、OC 之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明

11、。(2) 圖 6析證：本題是將三角板進行旋轉(zhuǎn)，由特殊到一般，結(jié)論由不變到變，先提出結(jié)論，再由學生操作實驗猜出結(jié)論，然后加以證明，圖（2）結(jié)論： + | F 丄.，過 C 分別作OA、OB 的垂線，垂足分別為 P、Q,如圖 6 （2）,易證 CPDCQE , DP=EQ , OP=OD+DP , DQ=OE - EQ ，又 OP+OQ= 血 C ,即-Xi I. I：.：，圖（3）結(jié)論：二I -四.旋轉(zhuǎn)矩形6.如圖，在平面直角坐標系 xOy 中,把矩形 COAB 繞點 C 順時針旋轉(zhuǎn)亠角，得到矩形 CFED , 設(shè)學習必備歡迎下載FC 與 AB 交于點 H，且 A （ 0, 4）、C （6, 0

12、）（如圖 7）學習必備歡迎下載(1)_ 當 a=6 時，CBD的形狀是_ ；(2) 當 AH=HC 時，求直線 FC 的解析式；(3)當 時(如圖 8)，請?zhí)骄浚航?jīng)過點 D，且以點 B 為頂點的拋物線，是否經(jīng) 過矩形 CFED 的對稱中心 M，交說明理由。解析：這是一道旋轉(zhuǎn)問題的綜合題，它把圖形與旋轉(zhuǎn)，圖形與坐標，坐標與函數(shù)有機地結(jié)合起來。(1) 利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 BC=CD，易知/ BCD=60 ,故厶 CBD 為正三角形。(2) 設(shè) AH=xh 一叮-叮-M - 由題意得 Ji-二I= . r： .=丄二:在 Rt BHC 中，HCa=BC2+ HB2,即 J IL,13圖 7學習必備歡迎

13、下載36k + b = 0把C (6, 0)代入，得學習必備歡迎下載5解得 L51272yFC=-x+ FC55(3)拋物線頂點為 B (6, 4),設(shè)：7 二一+ -，把點 D (0, 0)代入得匚,.-扣訶+4,依題可得，點 M 坐標為(8，3)。把代入宀沙一件得 y=3。故此拋物線經(jīng)過矩形 CFED 的對稱中心 M。五.旋轉(zhuǎn)正方形7.如圖 9,A ABC 是等腰直角三角形，其中CA=CB，四邊形 CDEF 是正方形，連接 AF、BD。圖 9(1) 觀察圖形，猜想 AF 與 BD 之間有怎樣的關(guān)系，并證明你的猜想；(2)若將正方形 CDEF 繞點 C 按順時針方向旋轉(zhuǎn)， 使正方形 CDEF

14、 的一邊落在 ABC 的內(nèi)部，請你畫出一個變換后的圖形，并對照已知圖形標記字母，題(1 )中猜想的結(jié)論是 否仍然成立？若成立，直接寫出結(jié)論，不必證明；若不成立，請說明理由。析證：本題是一道實驗推理性題目，主要考查同學們的觀察、動手操作、邏輯推理和 探究等能力。(1)猜想：AF=BD 且 AF 丄 BD。理由：設(shè) AF 與 DC 交點為 G。/ BCD=90 +/ ACD，/ ACF=90 + / ACD ,/ BCD= / ACF ,而 FC=DC , AC=BC ACFBCD ( SAS)學習必備歡迎下載 AF=BD，/ AFC= / BDC學習必備歡迎下載而/ AFC+ / FGC=90。

15、，/ FGC= / DGA ,/ BDC+ / DGA=90 AF 丄 BD。故 AF=BD 且 AF 丄 BD。(2)結(jié)論：AF=BD 且 AF 丄 BD。若 CD 邊在 ABC 的內(nèi)部時，如圖 10;或若 CF 邊在 ABC 的內(nèi)部時，如圖 11。圖 10圖 11六.旋轉(zhuǎn)半圓8.如圖 12,半圓 M 的直徑 AB 為 20cm,現(xiàn)將半圓 M 繞著點 A 順時針旋轉(zhuǎn) 180（1）請你畫出旋轉(zhuǎn)后半圓 M 的圖形；（2）求出在整個旋轉(zhuǎn)過程中，半圓M 所掃過區(qū)域的面積（結(jié)果精確到.FT/）o圖 12解析：半圓 M 所掃過的區(qū)域是由半圓 M 和以 A 點為圓心，AB 長為半徑的半圓兩部分 組成的，找出這樣的區(qū)域是解題的關(guān)鍵。（1）畫圖如圖 13 ,=-HX 20a+-!-xxlOa= 250z785(cma)(2)半圓 M 所掃過的面積 J圖 13七.旋轉(zhuǎn)圖案9.如圖 14,將正方