2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)理

1、2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)理一、選擇題.(每小題5分)1.若集合A=x|-2x1，B=x|x-1或x3，則AB=( )A.x|-2x-1B.x|-2x3C.x|-1x1D.x|1x3解析：集合A=x|-2x1，B=x|x-1或x3，AB=x|-2x-1.答案：A.2.若復(fù)數(shù)(1-i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )A.(-，1)B.(-，-1)C.(1，+)D.(-1，+) 解析：復(fù)數(shù)(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，可得，解得a范圍.答案：B.3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為( )A.2

2、B.C.D.解析：由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量S的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.答案：C.4.若x，y滿足，則x+2y的最大值為( )A.1B.3C.5D.9解析：畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解求解目標(biāo)函數(shù)的最值即可.答案：D.5.已知函數(shù)f(x)=3x-()x，則f(x)( ) A.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)B.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)D.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)解析：由已知得f(-x)=-f(x)，即函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，由函數(shù)y=3x為增函數(shù)，y=()x為減函數(shù)，結(jié)合“增”

3、-“減”=“增”可得答案.答案：A.6.設(shè)，為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得=”是“·0”的( )A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析：，為非零向量，存在負(fù)數(shù)，使得=，則向量，共線且方向相反，可得·0.反之不成立，非零向量，的夾角為鈍角，滿足·0，而=不成立.即可判斷出結(jié)論.答案：A.7.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為( )A.3B.2C.2D.2解析：根據(jù)三視圖可得物體的直觀圖，結(jié)合圖形可得最長(zhǎng)的棱為PA，根據(jù)勾股定理求出即可.答案：B.8.根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，

4、而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080，則下列各數(shù)中與最接近的是( )(參考數(shù)據(jù)：lg30.48) A.1033B.1053C.1073D.1093解析：根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：，可得：3=10lg3100.48，代入M將M也化為10為底的指數(shù)形式，進(jìn)而可得結(jié)果.答案：D.二、填空題(每小題5分)9.若雙曲線=1的離心率為，則實(shí)數(shù)m=_.解析：利用雙曲線的離心率，列出方程求和求解m 即可.答案：2.10.若等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1=b1=-1，a4=b4=8，則=_.解析：利用等差數(shù)列求出公差，等比數(shù)列求出公比，然后求解第二項(xiàng)，即可得到結(jié)果.答案：1.11.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在圓2-

5、2cos-4sin+4=0上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，0)，則|AP|的最小值為_.解析：先將圓的極坐標(biāo)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法求出圓上的點(diǎn)到點(diǎn)P的距離的最小值.答案：1.12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，若sin=，則cos(-)=_.解析：方法一：根據(jù)教的對(duì)稱得到sin=sin=，cos=-cos，以及兩角差的余弦公式即可求出；方法二：分在第一象限，或第二象限，根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角差的余弦公式即可求出.答案：-.13.能夠說明“設(shè)a，b，c是任意實(shí)數(shù).若abc，則a+bc”是假命題的一組整數(shù)a，b，c的值依次為_.解析：設(shè)a，

6、b，c是任意實(shí)數(shù).若abc，則a+bc”是假命題，則若abc，則a+bc”是真命題，舉例即可，本題答案不唯一.答案：-1，-2，-3.14.三名工人加工同一種零件，他們?cè)谝惶熘械墓ぷ髑闆r如圖所示，其中Ai的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，點(diǎn)Bi的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人下午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，i=1，2，3.(1)記Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù)，則Q1，Q2，Q3中最大的是_.(2)記pi為第i名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)，則p1，p2，p3中最大的是_.解析：(1)若Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù)，則Qi=Ai的綜坐標(biāo)+Bi的縱

7、坐標(biāo)；進(jìn)而得到答案.(2)若pi為第i名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)，則pi為AiBi中點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率；進(jìn)而得到答案.答案：Q1，p2.三、解答題15.在ABC中，A=60°，c=a.(1)求sinC的值；(2)若a=7，求ABC的面積.解析：(1)根據(jù)正弦定理即可求出答案，(2)根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系求出cosC，再根據(jù)兩角和正弦公式求出sinB，根據(jù)面積公式計(jì)算即可.答案：(1)A=60°，c=a，由正弦定理可得sinC=sinA=，(2)a=7，則c=3，CA，由(1)可得cosC=，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=，SA

8、BC=acsinB=×7×3×=.16.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，PD平面MAC，PA=PD=，AB=4.(1)求證：M為PB的中點(diǎn)；(2)求二面角B-PD-A的大??；(3)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.解析：(1)設(shè)ACBD=O，則O為BD的中點(diǎn)，連接OM，利用線面平行的性質(zhì)證明OMPD，再由平行線截線段成比例可得M為PB的中點(diǎn)；(2)取AD中點(diǎn)G，可得PGAD，再由面面垂直的性質(zhì)可得PG平面ABCD，則PGAD，連接OG，則PGOG，再證明OGAD.以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以GD、GO、G

9、P所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBD與平面PAD的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的大小可得二面角B-PD-A的大小；(3)求出的坐標(biāo)，由與平面PBD的法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值可得直線MC與平面BDP所成角的正弦值.答案：(1)證明：如圖，設(shè)ACBD=O，ABCD為正方形，O為BD的中點(diǎn)，連接OM，PD平面MAC，PD平面PBD，平面PBD平面AMC=OM，PDOM，則，即M為PB的中點(diǎn)；(2)解：取AD中點(diǎn)G，PA=PD，PGAD，平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，PG平面ABCD，則PGAD，連接OG，則PGOG，由G是AD的中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)

10、，可得OGDC，則OGAD.以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以GD、GO、GP所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標(biāo)系，由PA=PD=，AB=4，得D(2，0，0)，A(-2，0，0)，P(0，0，)，C(2，4，0)，B(-2，4，0)，M(-1，2，)，=(-2，0，2)，=(-4，4，0).設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量為=(x，y，z)，則由，得，取z=，得=(1，1，).取平面PAD的一個(gè)法向量為=(0，1，0).cos，=.二面角B-PD-A的大小為60°；(3)解：=(-3，-2，)，平面PAD的一個(gè)法向量為=(0，1，0).直線MC與平面BDP所成角的正弦值為|cos，|=.17.為了

11、研究一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥.一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制成如圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者.(1)從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率；(2)從圖中A，B，C，D四人中隨機(jī)選出兩人，記為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E()；(3)試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小.(只需寫出結(jié)論)解析：(1)由圖求出在50名服藥患者中，有15名患者指標(biāo)y的值小于60，由此能求出從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，此人

12、指標(biāo)小于60的概率.(2)由圖知：A、C兩人指標(biāo)x的值大于1.7，而B、D兩人則小于1.7，可知在四人中隨機(jī)選項(xiàng)出的2人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列和E().(3)由圖知100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差比未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差大.答案：(1)由圖知：在50名服藥患者中，有15名患者指標(biāo)y的值小于60，則從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，此人指標(biāo)小于60的概率為：p=.(2)由圖知：A、C兩人指標(biāo)x的值大于1.7，而B、D兩人則小于1.7，可知在四人中隨機(jī)選項(xiàng)出的2人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)的可能取值為0，1，2，P(=0)

13、=，P(=1)=，P(=2)=，的分布列如下：E()=0×+1×+2×=1.(3)由圖知100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差比未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差大.18.已知拋物線C：y2=2px過點(diǎn)P(1，1).過點(diǎn)(0，)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP、ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn).(1)求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)求證：A為線段BM的中點(diǎn).解析：(1)根據(jù)拋物線過點(diǎn)P(1，1).代值求出p，即可求出拋物線C的方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)設(shè)過點(diǎn)(0，)的直線方程為y=kx+，M(x1，y1)，N(x2

14、，y2)，根據(jù)韋達(dá)定理得到x1+x2=，x1x2=，根據(jù)中點(diǎn)的定義即可證明.答案：(1)y2=2px過點(diǎn)P(1，1)，1=2p，解得p=，y2=x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，準(zhǔn)線為x=-，(2)證明：設(shè)過點(diǎn)(0，)的直線方程為y=kx+，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線OP為y=x，直線ON為：y=，由題意知A(x1，x1)，B(x1，)，由，可得k2x2+(k-1)x+=0，x1+x2=，x1x2=，A為線段BM的中點(diǎn).19.已知函數(shù)f(x)=excosx-x.(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間0，上的最大值和最小值.解析：(1)求出f(x)

15、的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到所求方程；(2)求出f(x)的導(dǎo)數(shù)，再令g(x)=f(x)，求出g(x)的導(dǎo)數(shù)，可得g(x)在區(qū)間0，的單調(diào)性，即可得到f(x)的單調(diào)性，進(jìn)而得到f(x)的最值.答案：(1)函數(shù)f(x)=excosx-x的導(dǎo)數(shù)為f(x)=ex(cosx-sinx)-1，可得曲線y=f(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線斜率為k=e0(cos0-sin0)-1=0，切點(diǎn)為(0，e0cos0-0)，即為(0，1)，曲線y=f(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程為y=1；(2)函數(shù)f(x)=excosx-x的導(dǎo)數(shù)為f(x)=ex(cosx-sinx)-1，令g(x)=e

16、x(cosx-sinx)-1，則g(x)的導(dǎo)數(shù)為g(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2ex·sinx，當(dāng)x0，可得g(x)=-2ex·sinx0，即有g(shù)(x)在0，遞減，可得g(x)g(0)=0，則f(x)在0，遞減，即有函數(shù)f(x)在區(qū)間0，上的最大值為f(0)=e0cos0-0=1；最小值為f()=cos-=-.20.設(shè)an和bn是兩個(gè)等差數(shù)列，記cn=maxb1-a1n，b2-a2n，bn-ann(n=1，2，3，)，其中maxx1，x2，xs表示x1，x2，xs這s個(gè)數(shù)中最大的數(shù).(1)若an=n，bn=2n-1，求c1，c2，c3的值，并證

17、明cn是等差數(shù)列；(2)證明：或者對(duì)任意正數(shù)M，存在正整數(shù)m，當(dāng)nm時(shí)，M；或者存在正整數(shù)m，使得cm，cm+1，cm+2，是等差數(shù)列.解析：(1)分別求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由(bk-nak)-(b1-na1)0，則b1-na1bk-nak，則cn=b1-na1=1-n，cn+1-cn=-1對(duì)nN*均成立；(2)由bi-ain=b1+(i-1)d1-a1+(i-1)d2×n=(b1-a1n)+(i-1)(d2-d1×n)，分類討論d1=0，d10，d10三種情況進(jìn)行討論根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求得使得c

18、m，cm+1，cm+2，是等差數(shù)列；設(shè)=An+B+對(duì)任意正整數(shù)M，存在正整數(shù)m，使得nm，M，分類討論，采用放縮法即可求得因此對(duì)任意正數(shù)M，存在正整數(shù)m，使得當(dāng)nm時(shí)，M.答案：(1)a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，當(dāng)n=1時(shí)，c1=maxb1-a1=max0=0，當(dāng)n=2時(shí)，c2=maxb1-2a1，b2-2a2=max-1，-1=-1，當(dāng)n=3時(shí)，c3=maxb1-3a1，b2-3a2，b3-3a3=max-2，-3，-4=-2，下面證明：對(duì)nN*，且n2，都有cn=b1-na1，當(dāng)nN*，且2kn時(shí)，則(bk-nak)-(b1-na1)，=(2k-1)-nk-

19、1+n，=(2k-2)-n(k-1)，=(k-1)(2-n)，由k-10，且2-n0，則(bk-nak)-(b1-na1)0，則b1-na1bk-nak，因此，對(duì)nN*，且n2，cn=b1-na1=1-n，cn+1-cn=-1，c2-c1=-1，cn+1-cn=-1對(duì)nN*均成立，數(shù)列cn是等差數(shù)列；(2)證明：設(shè)數(shù)列an和bn的公差分別為d1，d2，下面考慮的cn取值，由b1-a1n，b2-a2n，bn-ann，考慮其中任意bi-ain，(iN*，且1in)，則bi-ain=b1+(i-1)d1-a1+(i-1)d2×n=(b1-a1n)+(i-1)(d2-d1×n)，下面分d1=0，d10，d10三種情況進(jìn)行討論，若d1=0，則bi-ain=(b1-a1n)+(i-1)d2，當(dāng)若d20，則(bi-ain)-(b1-a1n)=(i-1)d20，則對(duì)于給定的正整數(shù)n而言，cn=b1-a1n，此時(shí)cn+1-cn=-a1，