高考一輪復(fù)習(xí)函數(shù)的應(yīng)用

1、第9講函數(shù)的應(yīng)用【2015年高考會(huì)這樣考】1考查二次函數(shù)模型的建立及最值問(wèn)題2考查分段函數(shù)模型的建立及最值問(wèn)題3考查指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)、“對(duì)勾”型函數(shù)模型的建立及最值問(wèn)題【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，主要抓好常見函數(shù)模型的訓(xùn)練，解答應(yīng)用問(wèn)題的重點(diǎn)在信息整理與建模上，建模后利用函數(shù)知識(shí)分析解決問(wèn)題基礎(chǔ)梳理1常見的函數(shù)模型及性質(zhì)(1)幾類函數(shù)模型一次函數(shù)模型：ykxb(k0)二次函數(shù)模型：yax2bxc(a0)指數(shù)函數(shù)型模型：yabxc(b0，b1)對(duì)數(shù)函數(shù)型模型：ymlogaxn(a0，a1)冪函數(shù)型模型：yaxnb.(2)三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)yax(a>1)ylogax(a&

2、gt;1)yxn(n>0)在(0，)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)xx0時(shí)，有l(wèi)ogaxxnax 一個(gè)防范特別關(guān)注實(shí)際問(wèn)題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域 四個(gè)步驟(1)審題：深刻理解題意，分清條件和結(jié)論，理順其中的數(shù)量關(guān)系，把握其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)；(2)建模：由題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；(3)解模：用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決轉(zhuǎn)化出的數(shù)學(xué)問(wèn)題；(4)還原：回到題目本身，檢驗(yàn)結(jié)果的實(shí)際意義，給出結(jié)論雙基自測(cè)

3、1(人教A版教材習(xí)題改編)從1999年11月1日起，全國(guó)儲(chǔ)蓄存款征收利息稅，利息稅的稅率為20%，由各銀行儲(chǔ)蓄點(diǎn)代扣代收，某人2011年6月1日存入若干萬(wàn)元人民幣，年利率為2%，到2012年6月1日取款時(shí)被銀行扣除利息稅138.64元，則該存款人的本金介于()A34萬(wàn)元 B45萬(wàn)元 C56萬(wàn)元 D23萬(wàn)元解析設(shè)存入的本金為x，則x·2%·20%138.64，x34 660.答案A2(2012·新鄉(xiāng)月考)某產(chǎn)品的總成本y(萬(wàn)元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系是y3 00020x0.1x2(0x240，xN*)，若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬(wàn)元，則生產(chǎn)者不虧本時(shí)(銷售收入不小

4、于總成本)的最低產(chǎn)量是()A100臺(tái) B120臺(tái) C150臺(tái) D180臺(tái)解析設(shè)利潤(rùn)為f(x)(萬(wàn)元)，則f(x)25x(3 00020x0.1x2)0.1x25x3 0000，x150.答案C3有一批材料可以圍成200米長(zhǎng)的圍墻，現(xiàn)用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場(chǎng)地(如圖)，且內(nèi)部用此材料隔成三個(gè)面積相等的矩形，則圍成的矩形場(chǎng)地的最大面積為()A1 000米2 B2 000米2C2 500米2 D3 000米2解析設(shè)三個(gè)面積相等的矩形的長(zhǎng)、寬分別為x米、y米，如圖，則4x3y200，又矩形場(chǎng)地的面積S3xy3x·x(2004x)4(x25)22 500，當(dāng)x25時(shí)，Smax2

5、500.答案C4(2011·湖北)里氏震級(jí)M的計(jì)算公式為：Mlg Alg A0，其中A是測(cè)震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅假設(shè)在一次地震中，測(cè)震儀記錄的最大振幅是1 000，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，則此次地震的震級(jí)為_級(jí)；9級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震最大振幅的_倍解析由lg 1 000lg 0.0016，得此次地震的震級(jí)為6級(jí)因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，設(shè)9級(jí)地震最大振幅為A9，則lg A9lg 0.0019解得A9106，同理5級(jí)地震最大振幅A5102，所以9級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的10 000倍答案610 0005(2012

6、83;東三校聯(lián)考)為了保證信息安全，傳輸必須使用加密方式，有一種方式其加密、解密原理如下：明文密文密文明文已知加密為yax2(x為明文，y為密文)，如果明文“3”通過(guò)加密后得到密文為“6”，再發(fā)送，接受方通過(guò)解密得到明文“3”，若接受方接到密文為“14”，則原發(fā)的明文是_解析依題意yax2中，當(dāng)x3時(shí)，y6，故6a32，解得a2.所以加密為y2x2，因此，當(dāng)y14時(shí)，由142x2，解得x4.答案4考向一一次函數(shù)、二次函數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用【例1】(2011·武漢調(diào)研)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為：Mf(x)f(x1)f(x)某公司每月生產(chǎn)x臺(tái)某種產(chǎn)品的收入為R(x)

7、元，成本為C(x)元，且R(x)3 000x20x2，C(x)500x4 000(xN*)現(xiàn)已知該公司每月生產(chǎn)該產(chǎn)品不超過(guò)100臺(tái)(1)求利潤(rùn)函數(shù)P(x)以及它的邊際利潤(rùn)函數(shù)MP(x)；(2)求利潤(rùn)函數(shù)的最大值與邊際利潤(rùn)函數(shù)的最大值之差審題視點(diǎn) 列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求最值解(1)由題意，得x1,100，且xN*.P(x)R(x)C(x)(3 000x20x2)(500x4 000)20x22 500x4 000，MP(x)P(x1)P(x)20(x1)22 500(x1)4 000(20x22 500x4 000)2 48040x.(2)P(x)20274 125，當(dāng)x62或x63時(shí)，

8、P(x)取得最大值74 120元；因?yàn)镸P(x)2 48040x是減函數(shù)，所以當(dāng)x1時(shí)，MP(x)取得最大值2 440元故利潤(rùn)函數(shù)的最大值與邊際利潤(rùn)函數(shù)的最大值之差為71 680元. 二次函數(shù)是我們比較熟悉的基本函數(shù)，建立二次函數(shù)模型可以求出函數(shù)的最值，解決實(shí)際中的最優(yōu)化問(wèn)題，值得注意的是：一定要注意自變量的取值范圍，根據(jù)圖象的對(duì)稱軸與定義域在數(shù)軸上表示的區(qū)間之間的位置關(guān)系討論求解【訓(xùn)練1】 經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，某種商品在過(guò)去50天的銷售量和價(jià)格均為銷售時(shí)間t(天)的函數(shù)，且銷售量近似地滿足f(t)2t200(1t50，tN)前30天價(jià)格為g(t)t30(1t30，tN)，后20天價(jià)格為g(t)45(

9、31t50，tN)(1)寫出該種商品的日銷售額S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系；(2)求日銷售額S的最大值解(1)根據(jù)題意，得S(2)當(dāng)1t30，tN時(shí)，S(t20)26 400，當(dāng)t20時(shí)，S的最大值為6 400；當(dāng)31t50，tN時(shí)，S90t9 000為減函數(shù)，當(dāng)t31時(shí)，S的最大值為6 210.6 2106 400，當(dāng)t20時(shí)，日銷售額S有最大值6 400.考向二指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用【例2】某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測(cè)：服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時(shí)間t(小時(shí))之間近似滿足如圖所示的曲線(1)寫出第一次服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(t)；(2)據(jù)進(jìn)一步測(cè)

10、定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時(shí)，治療有效求服藥一次后治療有效的時(shí)間是多長(zhǎng)？審題視點(diǎn) 根據(jù)圖象用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再分段求出時(shí)間長(zhǎng)解(1)設(shè)y當(dāng)t1時(shí)，由y4得k4，由1a4得a3.則y(2)由y0.25得或解得t5，因此服藥一次后治療有效的時(shí)間是5小時(shí) 可根據(jù)圖象利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，然后把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式問(wèn)題進(jìn)行求解【訓(xùn)練2】 某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬(wàn)人，如果年自然增長(zhǎng)率為1.2%，試解答以下問(wèn)題：(1)寫出該城市人口總數(shù)y(萬(wàn)人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式；(2)計(jì)算10年以后該城市人口總數(shù)(精確到0.1萬(wàn)人)；(3)計(jì)算大約多少年以后，該城市人口將達(dá)

11、到120萬(wàn)人(精確到1年)；(4)如果20年后該城市人口總數(shù)不超過(guò)120萬(wàn)人，年自然增長(zhǎng)率應(yīng)該控制在多少？(參考數(shù)據(jù)：1.01291.113,1.012101.127，lg 1.20.079，lg 20.3010，lg 1.0120.005，lg 1.0090.003 9)解(1)1年后該城市人口總數(shù)為y100100×1.2%100×(11.2%)2年后該城市人口總數(shù)為y100×(11.2%)100×(11.2%)×1.2%100×(11.2%)2.3年后該城市人口總數(shù)為y100×(11.2%)2100×(11.2

12、%)2×1.2%100×(11.2%)3.x年后該城市人口總數(shù)為y100×(11.2%)x.(2)10年后，人口總數(shù)為100×(11.2%)10112.7(萬(wàn)人)(3)設(shè)x年后該城市人口將達(dá)到120萬(wàn)人，即100×(11.2%)x120，xlog1.012log1.0121.2016(年)(4)由100×(1x%)20120，得(1x%)201.2，兩邊取對(duì)數(shù)得20lg(1x%)lg 1.20.079，所以lg(1x%)0.003 95，所以1x%1.009，得x0.9，即年自然增長(zhǎng)率應(yīng)該控制在0.9%.考向三函數(shù)yx模型的應(yīng)用【例3

13、】(2010·湖北)為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)(0x10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值審題視點(diǎn) 用基本不等式求最值，注意等號(hào)成立的條件解(1)由已知條件C(0)8則k40，因此f(x)6x20C(x)6x (0x10)(2)f(x

14、)6x10102 1070(萬(wàn)元)，當(dāng)且僅當(dāng)6x10即x5時(shí)等號(hào)成立所以當(dāng)隔熱層為5 cm時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小值，最小值為70萬(wàn)元 求函數(shù)解析式同時(shí)要注意確定函數(shù)的定義域，對(duì)于yx(a>0)類型的函數(shù)最值問(wèn)題，特別要注意定義域問(wèn)題，可考慮用均值不等式求最值，否則要考慮使用函數(shù)的單調(diào)性【訓(xùn)練3】 某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為800 m2的矩形蔬菜溫室，在溫室內(nèi)，沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1 m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3 m寬的空地，當(dāng)矩形溫室的邊長(zhǎng)各為多少時(shí)，蔬菜的種植面積最大？最大面積是多少？解設(shè)溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為x m，則后側(cè)邊長(zhǎng)為m.蔬菜種植面積y(x4)8082(4<x&

15、lt;400)x2 80，y8082×80648(m)2.當(dāng)且僅當(dāng)x，即x40，此時(shí)20 m，y最大648(m2)當(dāng)矩形溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為40 m，后側(cè)邊長(zhǎng)為20 m時(shí)，蔬菜的種植面積最大，為648 m2.規(guī)范解答5應(yīng)用題中的函數(shù)建模問(wèn)題(【問(wèn)題研究】 解決應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，因此，首先要熟悉和掌握幾類常用的函數(shù)模型.求解中容易在以下兩個(gè)地方出現(xiàn)失誤：,(1)列函數(shù)關(guān)系式時(shí)，會(huì)出現(xiàn)由于理不清楚各個(gè)量之間的關(guān)系，而導(dǎo)致列出錯(cuò)誤的關(guān)系式.這一點(diǎn)在求解應(yīng)用題時(shí)是常出現(xiàn)的錯(cuò)誤；,(2)列出解析式，在求最優(yōu)解的過(guò)程中，由于方法使用不當(dāng)而出現(xiàn)求解上的錯(cuò)誤.,【解決方案】 (1)閱讀

16、理解，審清題意.讀題要做到逐字逐句，讀懂題中的文字?jǐn)⑹?，理解敘述部分所反映的?shí)際背景，在此基礎(chǔ)上，分析出已知是什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.,(2)根據(jù)所給模型，列出函數(shù)關(guān)系式.根據(jù)已知條件和數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，在此基礎(chǔ)上將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)問(wèn)題.,(3)利用數(shù)學(xué)的方法將得到的常規(guī)函數(shù)問(wèn)題(即數(shù)學(xué)模型)予以解答，并求得結(jié)果.,(4)將所得結(jié)果代入原問(wèn)題中，對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行解答.)【示例】(本題滿分12分)(2011·湖北)提高過(guò)江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)當(dāng)橋上的

17、車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)研究表明：當(dāng)20x200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)(1)當(dāng)0x200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))f(x)x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值(精確到1輛/小時(shí)) 首先求函數(shù)v(x)為分段函數(shù)，然后利用一元二次函數(shù)配方法或基本不等式求解解答示范 (1)由題意：當(dāng)0x20時(shí)，v(x)60；當(dāng)20x200時(shí)，設(shè)v(x)axb，再由已知，得解得故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)(4分)(2)依題意并由(1)可得f(x)(6分)當(dāng)0x20時(shí)，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x20時(shí)，其最大值為60×201 200；(7分)當(dāng)20x200時(shí)，f(x