2018屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)學(xué)案文

1、第五節(jié) 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線、面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2 能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.主于知訊整臺(tái)7知識(shí)點(diǎn)一直線與平面垂直1 .直線與平面垂直(1) 定義：若直線I與平面a內(nèi)的_ 一條直線都垂直，則直線I與平面a垂直.(2) 判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條 _直線都垂直，則該直線與此平面垂直(線線垂直？線面垂直).即：a?a,b?a,I丄a,I丄 b,anb=P? _ .(3) 性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線 _.即：a丄a,b丄a? _ .2 .直線與平面所成的角(1)

2、定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條斜線和這個(gè)平面所 成的角.答案1 . (1)任意(2)相交I丄a平行a/b對(duì)點(diǎn)快堆1. (2 016 浙江卷)已知互相垂直的平面a,3交于直線I，若直線m n滿足m/a,n丄B ,則()A. m/ IB. m/ nC. n丄ID.mLn解析：因?yàn)閍 n 3=I，所以I?3,又n丄3,所以n丄I.故選 C.答案：C(2)線面角0的范圍:-2 -2.（必修P69 練習(xí)題）如圖，正方形SGGG中，E F分別是GG2,GG的中點(diǎn)，D是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿SE SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使G,G, G三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為G則在四面體

3、SEF3必有（）A.SGL平面EFGB.SDL平面EFGC. GFL平面SEFD. GDL平面SEF解析： 解法1:在正方形SGGG中，SG丄GE, SG丄GF,在四面體SEFG,SGL GE SG丄GF GEHGF=G所以SGL平面EFG解法 2：GF即GF不垂直于SF,所以可以排除C;在厶GSD中 ,GS= a（正方形邊長(zhǎng)），GD=,SD=342a,所以SGM SD+GD,/SD390,從而排除 B 和 D.答案：A3 線段AB的長(zhǎng)等于它在平面a內(nèi)射影長(zhǎng)的 2 倍，則AB所在直線與平面a所成的角為1解析：由題意知 COSa= ,又T0W a W90, a= 60.答案：60知識(shí)點(diǎn)二二面角的

4、有關(guān)概念1 二面角的有關(guān)概念（1）_二面角：從一條直線出發(fā)的所組成的圖形叫做二面角.（2）二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作_的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.-3 -4 -丄a答案1 . (1)兩個(gè)半平面(2)垂直于棱2 .垂線I?3l丄a交線a丄BI?3 a n 3=a l _L a對(duì)點(diǎn)快堆4.（2017 衡水模擬）設(shè)l是直線，a,3是兩個(gè)不同的平面()A. 若l/ a ,l/ 3 ,則a / 3B. 若l/a ,l丄3 ,則a丄3C. 若a丄3 ,l丄a ,則l丄3D. 若a丄3 ,l/ a ,則l丄3解析：對(duì)于 A,若1/a ,l/ 3 ,

5、貝U a,3可能相交；對(duì)于B, 若1/a,則平面a內(nèi)必存在一直線m與l平行，則ml 3 ,又n?a,故a3.選項(xiàng)c,l可能平行于3或l在平面3內(nèi)；選項(xiàng) D, l 還可能平行于3或在平面3內(nèi).答案：B5 .如圖，在三棱錐D-ABC中，若AB= CB AD= CD E是AC的中點(diǎn)，則下列命題中正確的有_（填序號(hào)）.1平面ABCL平面ABD2平面ABDL平面BCD3平面ABCL平面BDE且平面ACDL平面BDE4平面ABCL平面ACD且平面ACDL平面BDE解析：因?yàn)锳B= CB且E是AC的中點(diǎn)，所以BE! AC同理有DEL AC DE? BE= E,于是ACL平面BDE因?yàn)锳C?平面ABC所以平面

6、ABCL平面BDE又由于AC?平面ACD所以平面ACD_平面BDE故只有正確.答案：熱點(diǎn)命題突於02需堂卄羋強(qiáng)掛提能熱點(diǎn)一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)-5 -【例 1】已知四棱錐P ABCD勺底面是菱形，且PA= PC PB= PD若O是AC與BD的交點(diǎn)，求證：POL平面ABCD【證明】 在厶PBD中,PB= PD O為BD的中點(diǎn)，所以PCLBD在厶PAC中,PA= PC, O為AC的中點(diǎn)，所以PCLAC又因?yàn)锳8 BD= Q所以PCL平面ABCD【例 2】 如圖，在直三棱柱ABC- ABC中，已知AC丄BC BC= CC,設(shè)AB的中點(diǎn)為D,B CnBC=E求證：(1 )DE/平面AACC(2)

7、BCLAB.【證明】 由題意知，E為BC的中點(diǎn)，又D為AB的中點(diǎn)，因此DE/ AC又因?yàn)镈H平面AACC, AC?平面AACQ,所以DE/平面AAGC因?yàn)槔庵鵄BC- ABC是直三棱柱，所以CC丄平面ABC因?yàn)锳C?平面ABC所以ACLCC.又因?yàn)锳CLBC CC?平面BCCB,BC?平面BCCB,B8 CC=C,所以ACL平面BCCB.又因?yàn)锽G?平面BCCBi,所以BG丄AC因?yàn)锽C-CG,所以矩形BCCB是正方形，因此BG丄BC因?yàn)锳C BiC?平面BAC A8 BC=C,所以BC丄平面BAC-6 -又因?yàn)锳B?平面BAC所以BC丄AB.【總結(jié)反思】(1) 證明直線和平面垂直的常用方法：

8、判定定理；垂直于平面的傳遞性(a/b,a丄a?b丄a)；面面平行的性質(zhì)(a丄a, aB?aX3);面面垂直的性質(zhì).(2) 證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此， 判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.(3) 線面垂直的性質(zhì)，常用來證明線線垂直P如圖，在四棱錐P ABCD中 ,PAL底面ABCD ABL AD, ACL CD/ABC=60 ,PA= AB=BCE是PC的中點(diǎn).證明：(1)CDLAE(2)PDL平面ABE證明：(1)在四棱錐P- ABCD, /PA!底面ABCD CD?平面ABCD PA! CD又ACL CD且PAnAC= A,

9、CDL平面PAC而AR平面PACCDL AE(2)由PA= AB= BC/ABC=60,可得AC= PA / E是PC的中點(diǎn)，AE! PC由(1)知AE丄CD且PS CD= C,AE!平面PCD而PC?平面PCDAE! PD-7-/ PA!底面ABCD AE?平面ABCD PAI AB又AB丄AD且PAPAD= AAB丄平面PAD而PD?平面PADAB! PD又ABA AE= APDL平面ABE熱點(diǎn)二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)A DB【例 3】(2016 江蘇卷)如圖，在直三棱柱ABO ABC中，D E分別為AB BC的中點(diǎn)， 點(diǎn)F在側(cè)棱BB上，且BD丄AF,AQ丄AB.求證：直線DE/平面A

10、CF;(2)平面BDEL平面AQF.【證明】(1)在直三棱柱ABOAiBC中，AiC/AC在厶ABC中，因?yàn)镈, E分別為AB BC的中點(diǎn)，所以DE/ AC于是DE/ AC.又DE?平面ACF, AiC?平面ACF,所以直線DE/平面ACF.(2)在直三棱柱ABC-ABC中，A A丄平面AB C.因?yàn)锳 C?平面A B C,所以AA丄A C. 又AiC丄AiB,AiA?平面ABBAi,AiB?平面ABBA,AAAAiB=A,所以AQ丄平面ABBA. 因?yàn)锽 D?平面ABBA，所以AiC丄B D又B D AiF,A C?平面AiCF,A F?平面A CF,AQAAiF=A,Aj-8 -所以B D

11、丄平面A CF.因?yàn)橹本€B D?平面B DE所以平面B DEL平面A CF.【總結(jié)反思】(i )掌握證明兩平面垂直常轉(zhuǎn)化為線面垂直，利用判定定理來證明.也可作出二面角的平面 角，證明平面角為直角，利用定義來證明.(2)已知兩個(gè)平面垂直時(shí)，過其中一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)作交線的垂線，則由面面垂直的性質(zhì)定理可得此直線垂直于另一個(gè)平面，于是面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，由此得出結(jié)論：兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線也垂直于第三個(gè)平面(2017 南昌模擬)如圖，已知在四棱錐P ABCD，底面ABC是邊長(zhǎng)為 4 的正方形，PAD是正三角形，平面PAD_平面ABCD E,F,G分別是PD PC BC的中點(diǎn)

12、.(1) 求證：平面EFGL平面PAD(2) 若M是線段CD上一點(diǎn)，求三棱錐MEFG的體積.解：證明：因?yàn)槠矫鍼ADL平面ABCD平面PAD平面ABC徐AD Ct?平面ABCD CD丄AD所以CDL平面PAD又因?yàn)镻CD中 ,E,F分別是PD PC的中點(diǎn)所以EF/ CD所以EF丄平面PAD因?yàn)镋F?平面EFG所以平面EFGL平面PAD因?yàn)镋F/CD EF?平面EFG CD?平面EFG所以CD/平面EFG因此CD上的點(diǎn)M到平面EFG的距離等于點(diǎn)D到平面EFG的距離，所以VEFG=VEFG,-9 -取AD的中點(diǎn)H,連接GH EH則EF/GH因?yàn)镋F丄平面PAD EH?平面PAD所以EF丄EH1于是

13、XEHh2=EFG,因?yàn)槠矫鍱FGL平面PAD平面EF平面PAD= EHEHD是正三角形，所以點(diǎn)D到平面EFG的距離等于正EHD勺高，即為，3.因此，三棱錐M- EFG勺體積EFMVEFG=SAEF畝 3=33熱點(diǎn)三平行與垂直的綜合問題【例 4】 如圖所示，平面ABCDL平面BCE四邊形ABCD為矩形，BC= CE點(diǎn)F為CE的 中占I八、(1) 證明：AE/平面BDF(2) 點(diǎn)M為CD上任意一點(diǎn)，在線段AE上是否存在點(diǎn)P,使得PML BE?若存在，確定點(diǎn)P的位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解】(1)證明：連接AC交BD于點(diǎn)O連接OF四邊形ABC毘矩形，O為AC的中點(diǎn).又F為EC的中點(diǎn)

14、，OF/ AE又OF?平面BDF AE?平面BDFAE/平面BDF(2)當(dāng)點(diǎn)P為AE的中點(diǎn)時(shí)，有PMLBE證明如下：取BE的中點(diǎn)H,連接DP PH CH/ P為AE的中點(diǎn)，H為BE的中點(diǎn)，PH/ AB又AB/ CD - PH/ CDP,H, C, D四點(diǎn)共面.-10 -平面ABCL平面BCE且平面ABCCT平面BCE= BC CDLBCCDL平面BCE又BE?平面BCECDLBE BC=CE且H為BE的中點(diǎn)，CHL BE / CH CD= C,BE!平面DPHC又PM?平面DPHCPMLBE【總結(jié)反思】處理空間中平行或垂直的探索性問題，一般先根據(jù)條件猜測(cè)點(diǎn)的位置，再給出證明，探索 點(diǎn)存在問題，

15、點(diǎn)多為中點(diǎn)或n等分點(diǎn)中的某一個(gè)，需根據(jù)相關(guān)的知識(shí)確定點(diǎn)的位置（2016 四川卷）如圖，在四棱錐P ABCD中，PAL CD AD/ BC/ADC=ZPAB=90,BC= CD=*AD(I)在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M使得直線CM平面PAB并說明理由;(n)證明：平面PABL平面PBD解:(I)取棱AD的中點(diǎn)皿皿平面PAD，點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn)理由如下：1因?yàn)锳D/ BC BC=2AD所以BC/ AM且BC= AM所以四邊形AMC是平行四邊形，從而CM/AB又AB?平面PAB CM平面PAB所以CM/平面PAB(說明：取棱PD的中點(diǎn)N,則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn))-11 -(n)由已知，PAL

16、 AB PAL CD1因?yàn)锳D/ BC BC=?AD所以直線AB與CD相交.所以PA!平面ABCD從而PAI BD連接BM-12 -1因?yàn)锳D/ BC BC=2AD所以BC/ MD且BC= MD所以四邊形BCDMI平行四邊形.1所以BM= CD=2AD所以BDL AB又ABn APA,所以BDL平面PAB又BD?平面PBD所以平面PABL平面PBD1 .證明線面垂直的方法(1)線面垂直的定義：a與a內(nèi)任何直線都垂直？aLa；a ,mnn=A?l丄l丄n判定定理 2：a/b,aL a?bL a；面面平行的性質(zhì)：a/3,aL a?aL 3；面面垂直的性質(zhì)：a L 3,a n 3=l,a?a,aLl

17、?aL 3-2 .證明線線垂直的方法(1)定義：兩條直線所成的角為90;(2)平面幾何中證明線線垂直的方法;線面垂直的性質(zhì)：aLa,b?a?aLb；(4)線面垂直的性質(zhì)：aL a ,b/a?aLb.3 .證明面面垂直的方法(1)利用定義：兩個(gè)平面相交，所成的二面角是直二面角;判定定理：a?a,aL 3?a L 3.4 .轉(zhuǎn)化思想：垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化判定廠判定判定1線線垂直云線面垂直眾面面垂直判定定理 1:m n?l丄m,-13 -f性質(zhì)性質(zhì)I性質(zhì)在證明兩平面垂直時(shí)一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在,則可通過作輔助線來解決.專題四高考解答題鑒賞立體幾何考試方向從近五年的高考試

18、題來看，立體幾何是歷年高考的重點(diǎn)，約占整個(gè)試卷的13%通常以一大一小的模式命題，以中、低檔難度為主三視圖、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積，點(diǎn)、線、 面位置關(guān)系的判定與證明以及空間角的計(jì)算是考查的重點(diǎn)內(nèi)容，前者多以客觀題的形式命題， 后者主要以解答題的形式加以考查著重考查推理論證能力和空間想象能力，而且對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn) 算的要求有加強(qiáng)的趨勢(shì)，轉(zhuǎn)化與化歸思想貫穿整個(gè)立體幾何的始終.考題鑒宜【典例】（2016 新課標(biāo)全國卷I,12 分）如圖，已知正三棱錐PABO的側(cè)面是直角三角形，PA=6.頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D, D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E,連接PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G-14 -（1）證明：G是A

19、B的中點(diǎn)；（2）在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說明作法及理由），并求四面體PDEF勺體積.【標(biāo)準(zhǔn)解答】證明：因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以ABL PD因?yàn)镈在平面PAB內(nèi)的正投影為E,所以AB丄DE（2 分）又PDA DE= D,所以AEL平面PED故ABL PG又由已知可得，PA= PB從而G是AB的中點(diǎn).（4 分）（2）在平面PAB內(nèi),過點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F,F即為E在平面PAC內(nèi)的正投影.（5分）理由如下：由已知可得PELPA PB丄PC又EF/ PB所以EFLPA EFLPC又PAAPC= P,因此EF丄平面PAC即點(diǎn)F為E在平 面PAC內(nèi)的正投影.（7 分）理由如下：由已知可得PBLPA PB丄PC又EF/PB所以EFLPA EFLPC又PAAPC= P,因此EF丄平面PAC即點(diǎn)F為E在平 面PAC內(nèi)的正投影.連接CG因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以D是正三角形ABC的中心,由（1）知，2G是AB的中點(diǎn)，所以D在CG上 ,故CD=3。9 分）由題設(shè)可得PCL平面PAB DEL平面PAB21所以DE/ PC因此PE=-PG DE=-PCC-15 -33由已知，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且