最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)應(yīng)用

1、實(shí)用文檔文案大全最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)應(yīng)用（一）-、知識(shí)要點(diǎn)：1、性質(zhì)1:如果a、b兩數(shù)的最大公約數(shù)為d,貝U a=md,b=nd,并且（m,n） =1。例如：（24,54 ） =6,24=4 X 6,54=9 X 6, （4,9） =1。2、性質(zhì)2:兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。a與b的最小公倍數(shù)a,b是a與b的所有 倍數(shù)的最大公約數(shù)，并且 axb=a,b x （a,b ）。例如：（18, 12） =, 18 , 12=（18, 12） X 18 , 12=3、兩個(gè)數(shù)的公約數(shù)一定是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)3、輾轉(zhuǎn)相除法 二、熱點(diǎn)考題：求鴕榴僦?jǐn)?shù)限練一練：甲數(shù)是36

2、,甲、乙兩數(shù)的最大公約數(shù)是 4,最小公 倍數(shù)是288,求乙數(shù)。例2兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)是7,最小公倍數(shù)是 210o這兩個(gè)自然數(shù)的和是 77,求這兩個(gè)自然數(shù)。分析與解：如果將兩個(gè)自然數(shù)都除以7,則原題變?yōu)椋骸皟膳好驳母缬H鏢春音獺f傳數(shù)是30。這兩個(gè)自然T 3b已C 口白fa鼻攵y20公n欲千。12和15 分析與解：因?yàn)?2, 15都是a的約數(shù)，所以a應(yīng)當(dāng)是12與15的公 倍數(shù)，即是12, 15=60的倍數(shù)。再由a, b, c=120知，a只能是 60或12Q a, c=15,說(shuō)明c沒(méi)有質(zhì)因數(shù)2又因?yàn)閍, b, c=120=23 x 3X5,所以 c=15。練一練：已知兩數(shù)的最大公約數(shù)是21,最

3、小公倍數(shù)是126,求這兩個(gè)數(shù)的和是多少？例4已知兩個(gè)自然數(shù)的和是50,它們的最大公約數(shù)是5,求這兩個(gè)自然數(shù)。例5已知兩個(gè)自然數(shù)的積為 240,最小公 倍數(shù)為60,求這兩個(gè)數(shù)。習(xí)題四1 .已知某數(shù)與24的最大公約數(shù)為4,最 小公倍數(shù)為168,求此數(shù)。2 .已知兩個(gè)自然數(shù)白勺最大公約數(shù)為4,最小公倍數(shù)為120,求這兩個(gè)數(shù)。3 .已知兩個(gè)自然數(shù)的和為 165,它們的最 大公約數(shù)為15,求這兩個(gè)數(shù)。4 .已知兩個(gè)自然數(shù)的差為 48,它們的最 小公倍數(shù)為60,求這兩個(gè)數(shù)。5 .已知兩個(gè)自然數(shù)的差為 30,它們的最小公倍 數(shù)與最大公約數(shù)的差為450,求這兩個(gè)自然數(shù)。6.已知兩個(gè)自然數(shù)的和為900,它們的最

4、大公約 數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積為432求這兩個(gè)自然數(shù)。7、五年一班去劃船，他們算了一下，如果增加一條船，正好每船坐6個(gè)，如果減少一條船，正好每船坐9人，這個(gè)班有多少人？8、一個(gè)數(shù)被2除余1,被3除余2,被4除余3, 被5除余4,被6除余5,此數(shù)最小是幾？9、已知A與B的最大公約數(shù)為6,最小公倍數(shù)為84,且 AX B= 42,求 Bo10、已知A和B的最大公約數(shù)是31,且AX B= 5766,求 A和 B。11、有一盤水果，3個(gè)3個(gè)地?cái)?shù)余2個(gè)，4個(gè)4 個(gè)數(shù)余3, 5個(gè)5個(gè)數(shù)余4個(gè)，問(wèn)這個(gè)盤子里最 少有多少個(gè)水果？家庭練習(xí)1 .拖拉機(jī)前輪直徑64厘米，后輪直徑96厘 米，拖拉機(jī)開動(dòng)后，前輪至少轉(zhuǎn)多少

5、圈，才 能使前、后輪同時(shí)著地的兩點(diǎn)重新同時(shí)著 地？2 .現(xiàn)在有香蕉42千克，蘋果112千克，桔 子70千克，平均分給幼兒園的幾個(gè)班，每 班分到的這三種水果的數(shù)量分別相等，那么最多分給了多少個(gè)班？每個(gè)班至少分到了三種水果各多少千克？3、一個(gè)數(shù)被2除余1,被3除余2,被4除 余3,被5除余4,被6除余5,此數(shù)最小是 幾？4、將72和120的乘積寫成它們的最大公約 數(shù)和最最小公倍數(shù)的乘積的形式。5、兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)是12,最小公倍數(shù)是72。滿足條件的自然數(shù)有哪幾組？例1用自然數(shù)a去除498, 450, 414, 得到相同的余數(shù)，a最大是多少？分析與解：因?yàn)?98, 450, 414除以a所得的

6、余 數(shù)相同，所以它們兩兩之差的公約數(shù)應(yīng)能被 a整 除。498-450=48, 450-414=36, 498-414=84。 所 求數(shù)是( 48, 36, 84) =12。例2現(xiàn)有三個(gè)自然數(shù)，它們的和是1111, 這樣的三個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)中，最大的 可以是多少？分析與解：只知道三個(gè)自然數(shù)的和，不知道三個(gè) 自然數(shù)具體是幾，似乎無(wú)法求最大公約數(shù)。只能 從唯一的條件“它們的和是1111”入手分析。三 個(gè)數(shù)的和是1111,它們的公約數(shù)一定是1111的 約數(shù)。因?yàn)?111=101X 11,它的約數(shù)只能是1, 11, 101和1111,由于三個(gè)自然數(shù)的和是1111, 所以三個(gè)自然數(shù)都小于1111, 111

7、1不可能是三 個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)，而101是可能的，比如取三 個(gè)數(shù)為101, 101和909。所以所求數(shù)是101。練習(xí)：1、在1000到2000之間，能同時(shí)被 6、8、10這三個(gè)自然數(shù)整除的自然數(shù)一共有幾個(gè)？2、三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，它們分別是12、14、 16的倍數(shù)，比它們大的這樣三個(gè)偶數(shù)最 小各是多少？ 3、四個(gè)連續(xù)自然數(shù)，它們分別是 6、7、9的倍數(shù)，比它們大的這樣四個(gè)自然 數(shù)最小各是多少?4、甲、乙、丙三人沿600米的環(huán)形跑道 從同一地點(diǎn)出發(fā)同時(shí)同向跑步，甲每秒 跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米, 至少經(jīng)過(guò)多少時(shí)間三人又同時(shí)從出發(fā)點(diǎn) 出發(fā)？ 5、兩數(shù)的乘積是9000,它們的最大公因 數(shù)是15,

8、這個(gè)兩數(shù)各是多少？6、甲、乙、丙三人繞操場(chǎng)競(jìng)走，他們走 一圈分別需要1分、1分15秒和1分30 秒。三人同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)，最少需多長(zhǎng) 時(shí)間才能再次在起點(diǎn)相會(huì)？ 7、兩個(gè)小于150的數(shù)的積是2028,它們 的最大公約數(shù)是13,求這兩個(gè)數(shù)、有一堆桔子，按每4個(gè)一堆分少1個(gè), 按每5個(gè)一堆分也少1個(gè)，按每6個(gè)一 堆分還是少1個(gè)。這堆桔子至少有多少 個(gè)？【例3】狐貍和袋鼠進(jìn)行跳遠(yuǎn)比賽，狐貍 每次跳4.5米，袋鼠每次跳2.75米，它 們每秒都只跳一次。比賽途中，從起點(diǎn) 開始，每隔12.375米設(shè)一個(gè)陷阱，當(dāng)它 們之中一個(gè)先掉進(jìn)陷阱時(shí)，另一個(gè)跳了 多少米？【例5】用長(zhǎng)9厘米、寬6厘米、高4 厘米的長(zhǎng)方體搭一

9、個(gè)正方體，至少需要 多少塊這樣的長(zhǎng)方體木塊？【例61 (1) A B兩數(shù)的乘積是216,它們的最小公倍數(shù)是36。A、B兩數(shù)的最大公因數(shù)是多少?最小公倍數(shù)是(2)甲乙兩數(shù)的 最大公因數(shù)是4,甲數(shù)是36,乙數(shù)是多少?【例7】 加工某種機(jī)器零件，要經(jīng)過(guò)三 道工序.第一道工序每個(gè)工人每小時(shí)可 完成3個(gè)零件，第二道工序每個(gè)工人每 小時(shí)可完成10個(gè)，第三道工序每個(gè)工人 每小時(shí)可完成5個(gè)，要使加工生產(chǎn)均衡, 三道工序至少各分配幾個(gè)工人？練習(xí)：1 .甲數(shù)是乙數(shù)的三分之一，甲數(shù)和乙數(shù) 的最小公倍數(shù)是54,甲數(shù)是多少？乙數(shù) 是多少？2 .一塊長(zhǎng)方形地面，長(zhǎng)120米，寬60米,要在它的四周和四角種樹，每?jī)煽弥g 的

10、距離相等，最少要種樹苗多少棵？每 相鄰兩棵之間的距離是多少米？3 .已知兩個(gè)自然數(shù)的積是5766,它們的 最大公約數(shù)是31.求這兩個(gè)自然數(shù)。4 .有一隊(duì)同學(xué)去野炊，吃飯時(shí)，他 們兩人一個(gè)飯碗，三個(gè)人一個(gè)菜碗， 四個(gè)人一個(gè)湯碗，一共用了 91個(gè)碗。 參加野炊的至少有多少同學(xué)？實(shí)用文檔帶余數(shù)的除法前面我們講到除法中被除數(shù)和 除數(shù)的整除問(wèn)題.除此之外，例如： 16+3=-1,即 16=5X 3+1.此時(shí)，被 除數(shù)除以除數(shù)出現(xiàn)了余數(shù)，我們稱之 為帶余數(shù)的除法。一般地，如果a是整數(shù)，b是整 數(shù)（bw0）,那么一定有另外兩個(gè)整 數(shù) q和 r, 0&rvb,使得 a=bx q+r o當(dāng)r=0時(shí)，我們稱a能被

11、b整除。當(dāng)r?0時(shí)，我們稱a不能被b 整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a 除以b的不完全商（亦簡(jiǎn)稱為商）. 用帶余除式又可以表示為 a+ b=q r, 0Wrb。 文案大全實(shí)用文檔例1 一個(gè)兩位數(shù)去除251,得到的余 數(shù)是41.求這個(gè)兩位數(shù)。分析這是一道帶余除法題，且要求 的數(shù)是大于41的兩位數(shù).解題可從帶 余除式入手分析。解：.被除數(shù)+除數(shù)=商余數(shù)， 即被除數(shù)=除數(shù)義商十余數(shù)，.251二除數(shù) X 商 +41,251-41二除數(shù)X商，.210=除數(shù)義商。 210=2義 3X5X7,210的兩位數(shù)的約數(shù)有10、14、 15、21、30、35、42、70,其中 42 和70大于余數(shù)41.所以除數(shù)是4

12、2或 70.即要求的兩位數(shù)是42或70。文案大全實(shí)用文檔例2用一個(gè)自然數(shù)去除另一個(gè)整數(shù)， 商40,余數(shù)是16.被除數(shù)、除數(shù)、商 數(shù)與余數(shù)的和是933,求被除數(shù)和除 數(shù)各是多少？解：:被除數(shù)=除數(shù)義商十余數(shù)， 即被除數(shù)=除數(shù)義40+16。由題意可知：被除數(shù)十除數(shù)=933-40-16=877,（除數(shù) X 40+16） + 除數(shù)=877, 除數(shù)X 41=877-16,除數(shù)=861+ 41,除數(shù)=21,. 被除數(shù)=21X40+16=856。答:被除數(shù)是856,除數(shù)是21。 例3某年的十月里有5個(gè)星期六， 文案大全4個(gè)星期日，問(wèn)這年的10月1日是 星期幾？解：十月份共有31天，每周 共有7天，.31=7

13、X4+3,根據(jù)題意可知：有5天的星 期數(shù)必然是星期四、星期五和星期 六。這年的10月1日是星期四。 例4 3月18日是星期日，從3月 17日作為第一天開始往回?cái)?shù) （即3 月16日（第二天），15日（第三 天），）的第1993天是星期幾？解：每周有7天，1993+7=284（周）5 （天），文案大全實(shí)用文檔從星期日往回?cái)?shù) 5天是星期 二，所以第1993天必是星期二. 例5 一個(gè)數(shù)除以3余2,除以5余 3,除以7余2,求適合此條件的最 小數(shù)。這是一道古算題.它早在孫子算經(jīng)中記有：“今有物不知其七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？ ”關(guān)于這道題的解法，在明朝就流傳 著一首解題之歌：“三人同行七十稀，五 樹梅花廿

14、一枝，七子團(tuán)圓正半月，除百 零五便得知.”意思是，用除以3的余數(shù) 乘以70,用除以5的余數(shù)乘以21,用除 以7的余數(shù)乘以15,再把三個(gè)乘積相加. 如果這三個(gè)數(shù)的和大于105,那么就減去 105,直至小于105為止.這樣就可以得到滿足條件的解.其解法如下：方法 1: 2X70+3X21+2X 15=233233-105X2=23 符合條件的最小自然數(shù)是23。例5的解答方法不僅就這一種，還可以這樣解：方法 2: 3, 7+2=2323除以5恰好余3。所以，符合條件的最小自然數(shù)是23方法2的思路是什么呢？讓我們?cè)賮?lái)看下面兩道例題 例6 一個(gè)數(shù)除以5余3,除以6余4,除 以7余1,求適合條件的最小的自

15、然數(shù)。分析“除以5余3”即“加2后被5整 除，同樣“除以6余4”即“加2后被6整除”解:個(gè)條件。想:除余1”5 , 6-2=2：28+5 ,的條件?適合前兩6 X ?之后能滿足“ 728+5, 6 X 4=148, 148=21X7+1, 又 148210=5, 6, 7所以，適合條件的最小的自然數(shù)是148。例7 一個(gè)數(shù)除以3余2,除以5余3,除以7余4,求符合條件的最小自然數(shù)。解：想：2+3X ?之后 能滿足“5除余3”的條件？2+3X 2=8。再想：8+3, 5 X?之 后能滿足“7除余4”的條 件？8+3 , 5 X 3=53。符合條件的最小的 自然數(shù)是53。歸納以上兩例題的解 法為：逐

16、步滿足條件法.當(dāng) 找到滿足某個(gè)條件的數(shù)后， 為了再滿足另一個(gè)條件，需 做數(shù)的調(diào)整，調(diào)整時(shí)注意要 加上已滿足條件中除數(shù)的 倍數(shù)。解這類題目還有其他 方法，將會(huì)在有關(guān)“同余” 部分講到。例8 一個(gè)布袋中裝有小球 若干個(gè).如果每次取3個(gè)， 最后剩1個(gè)；如果每次取5 個(gè)或7個(gè)，最后都剩2個(gè). 布袋中至少有小球多少 個(gè)？解：2+5 , 7 X 1=37（個(gè)）:37除以3余1,除以5余2,除以7余2,布袋中至少有小球37個(gè)。例9 69、90和125被某個(gè)正整數(shù)N除時(shí)，余數(shù)相同， 試求N的最大值。分析在解答此題之前，我 們先來(lái)看下面的例子：15除以2余1, 19除 以2余1,即15和19被2除余數(shù) 相同（余數(shù)都是1）。但是19-15能被2整 除.由此我們可以得到這 樣的結(jié)論：如果兩個(gè)整數(shù)a 和b,均被自然數(shù)m除，余 數(shù)相同，那么這兩個(gè)整數(shù)之 差（大-?。┮欢鼙籱整 除。反之，如果兩個(gè)整數(shù)之 差恰被m整除，那么這兩個(gè)文案大全實(shí)用文檔整數(shù)被m除的余數(shù)一定相 同。例9可做如下解答：.三個(gè)整數(shù)被N除余數(shù)相同，N| (90-69),即 N | 21, N |(125-90),即 N| 35,.N是21和35的公約數(shù)。;要求N的最大值，N是21和35的最大 公約數(shù)。.21和35的