數(shù)學(xué)建模之輸油管的布置

1、2010高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）： 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名

2、號(hào)的話）： 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 年 月 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2010高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專 用 頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：輸油管的布置 摘要 “輸油管的布置”數(shù)學(xué)建模的目的是建立起數(shù)學(xué)模型尋求使鋪設(shè)管道費(fèi)用最低的設(shè)計(jì)方案。但是不同于普遍的最短路徑問題，他受各種實(shí)際情況影響，例如，城區(qū)和

3、郊區(qū)費(fèi)用的不同，采用共用管線和非公用管線價(jià)格的不同等都會(huì)對(duì)設(shè)計(jì)產(chǎn)生影響。我們基于最短路徑模型，對(duì)于題目實(shí)際情況進(jìn)行研究和分析，對(duì)三個(gè)問題都設(shè)計(jì)了合適的數(shù)學(xué)模型做出了相應(yīng)的解答和處理。問題一：此問只需考慮兩個(gè)煉油廠和鐵路之間的位置關(guān)系，根據(jù)位置的不同設(shè)計(jì)相應(yīng)的模型，我們根據(jù)光的傳播原理和兩大間線段最短的原則設(shè)計(jì)了最短路徑模型，在不考慮共用管線價(jià)格差異時(shí)，只需考慮如何設(shè)計(jì)最短路線即可得到最低費(fèi)用的設(shè)計(jì)方案；在考慮共用管線差價(jià)的情況下，只需建立兩個(gè)未知變量，當(dāng)代入已知常量，就可以解出變量的值。問題二：此問給出了兩個(gè)加油站的具體位置，在此基礎(chǔ)上增加了城區(qū)和郊區(qū)鋪設(shè)管線單位價(jià)格的不同，我們進(jìn)一步改進(jìn)了數(shù)

4、學(xué)模型，由于鋪設(shè)費(fèi)用存在差異，輸油管在城區(qū)和郊區(qū)的鋪設(shè)將不會(huì)是直線方式，基于該模型，我們?cè)谀Ｐ突A(chǔ)上建立直角坐標(biāo)系，設(shè)計(jì)2個(gè)變量就可以列出最低費(fèi)用函數(shù)，利用C+編輯程序求借出最小值。問題三：該問題的解答方法和問題二類似，但由于城郊管線和共用管線三者的價(jià)格均不一樣，我們利用問題二中設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行改進(jìn)，在坐標(biāo)系內(nèi)增加一個(gè)變量，建立最低費(fèi)用函數(shù)，并且利用C+解出最低費(fèi)用和路徑坐標(biāo)。 關(guān)鍵字： c+程序設(shè)計(jì) 光的傳播原理 數(shù)學(xué)模型 最低費(fèi)用輸油管的布置一、問題的重述某油田計(jì)劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠，同時(shí)在鐵路線上增建一個(gè)車站，用來(lái)運(yùn)送成品油。由于這種模式具有一定的普遍性，油田設(shè)計(jì)院希望建立管線

5、建設(shè)費(fèi)用最省的一般數(shù)學(xué)模型與方法。1. 針對(duì)兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，提出你的設(shè)計(jì)方案。在方案設(shè)計(jì)時(shí)，若有共用管線，應(yīng)考慮共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用相同或不同的情形。2. 設(shè)計(jì)院目前需對(duì)復(fù)雜情形進(jìn)行具體的設(shè)計(jì)。兩煉油廠的具體位置由附圖所示，其中A廠位于郊區(qū)（圖中的I區(qū)域），B廠位于城區(qū)（圖中的II區(qū)域），兩個(gè)區(qū)域的分界線用圖中的虛線表示。圖中各字母表示的距離（單位：千米）分別為a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。 若所有管線的鋪設(shè)費(fèi)用均為每千米7.2萬(wàn)元。 鋪設(shè)在城區(qū)的管線還需增加拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用，為對(duì)此項(xiàng)附加費(fèi)用進(jìn)行估計(jì)，聘請(qǐng)三家工程咨詢公

6、司（其中公司一具有甲級(jí)資質(zhì)，公司二和公司三具有乙級(jí)資質(zhì)）進(jìn)行了估算。估算結(jié)果如下表所示：工程咨詢公司公司一公司二公司三 附加費(fèi)用（萬(wàn)元/千米）212420請(qǐng)為設(shè)計(jì)院給出管線布置方案及相應(yīng)的費(fèi)用。3. 在該實(shí)際問題中，為進(jìn)一步節(jié)省費(fèi)用，可以根據(jù)煉油廠的生產(chǎn)能力，選用相適應(yīng)的油管。這時(shí)的管線鋪設(shè)費(fèi)用將分別降為輸送A廠成品油的每千米5.6萬(wàn)元，輸送B廠成品油的每千米6.0萬(wàn)元，共用管線費(fèi)用為每千米7.2萬(wàn)元，拆遷等附加費(fèi)用同上。請(qǐng)給出管線最佳布置方案及相應(yīng)的費(fèi)用。二、模型假設(shè)1、管道均以直線段鋪設(shè)，不考慮地形影響。2、不考慮管道的接頭處費(fèi)用。3、忽略鋪設(shè)過程中的勞動(dòng)力費(fèi)用，只考慮管線費(fèi)用。4、將兩煉

7、油廠和車站近似看作三個(gè)點(diǎn)。5、將鐵路近似看作一條直線。6、不考慮施工之中的意外情況，所有工作均可順利進(jìn)行。7、共用管線的價(jià)格如果和非公用管線不一致，則共用管線價(jià)格大于任意一條非公用管線價(jià)格，小于兩條非公用管線價(jià)格之和。8、根據(jù)查詢資料我們可以為所給出的三個(gè)工程咨詢公司進(jìn)行分權(quán)，甲級(jí)資質(zhì)分權(quán)0.4，乙級(jí)資質(zhì)分權(quán)為0.3。9、假設(shè)共用管線與非共用管線存在價(jià)格差時(shí)，共用管線價(jià)格大于非共用管線價(jià)格低于兩倍的非共用管線價(jià)格。10、默認(rèn)A煉油廠距離鐵路比B煉油廠近。三、符號(hào)說(shuō)明W：方案的經(jīng)費(fèi)a：A廠到鐵路的距離b：B廠到鐵路的距離c: A廠到城郊分界線的距離l: A、B兩廠之間的鐵路長(zhǎng)度m：共用管道的費(fèi)用

8、（萬(wàn)元/千米）n：非共用管道費(fèi)用（萬(wàn)元/千米）L: 為管線總長(zhǎng)度h：共用管線的長(zhǎng)度x1：車站的橫坐標(biāo)（問題二）y1：城郊分界處拐點(diǎn)的縱坐標(biāo)（問題二）x2：共用管線和非共用管線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（問題三）y2：城郊分界處拐點(diǎn)的縱坐標(biāo)（問題三）p：附加費(fèi)用的估計(jì)值。四、問題分析問題一：首先要考慮兩個(gè)工廠是否在鐵路的同一側(cè)，如果兩個(gè)工廠在鐵路的同一側(cè)那么一定要考慮共用管線的問題。如果不在鐵路的同一側(cè)那么就沒有必要考慮共用管線這個(gè)問題。當(dāng)兩個(gè)工廠在鐵路兩邊時(shí)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的原理只要求出兩廠之間的距離，就可以得到最低費(fèi)用設(shè)計(jì)；當(dāng)兩個(gè)工廠在鐵路的同一側(cè)時(shí)，且當(dāng)沒有共用管線時(shí)，只需利用光的傳播原理可得到最

9、短路徑；在考慮到有共用管線時(shí)，需建立方程求解最低消費(fèi)設(shè)計(jì)方案。問題二：這個(gè)問題從市區(qū)和郊區(qū)分兩個(gè)部分分析，火車站建立在郊區(qū)費(fèi)用要少；因?yàn)榻紖^(qū)非共用管線與共用管線的費(fèi)用相同，所以可以用最短路徑的方法來(lái)考慮，同時(shí)又要求費(fèi)用最小，可以通過方程解出最低費(fèi)用及對(duì)應(yīng)的鋪設(shè)線路。問題三：通過建立坐標(biāo)系設(shè)兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)也是表示出管線的長(zhǎng)度，然后再與各自的費(fèi)用之積確定總的費(fèi)用，從而算出兩點(diǎn)的坐標(biāo)值。即確定了管線的路線。五、模型的建立與求解 5.1關(guān)于問題1的模型建立與求解 對(duì)于管線布置的分析，分為兩種情況：1、 兩個(gè)煉油廠在鐵路兩側(cè)，如圖所示：CAEDablB兩煉油廠A,B直接的連線與鐵路的交點(diǎn)E為車站位置

10、 此時(shí)L=此時(shí)為最低費(fèi)用設(shè)計(jì)方案。2、兩個(gè)煉油廠位于鐵路的同一側(cè),則需考慮有無(wú)共用管線兩種情況：a.當(dāng)沒有公用管線時(shí)，此時(shí)找出兩廠與鐵路交點(diǎn)連線的最近路線即可，如圖：CAEDablBAa過鐵路CD作A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AB，與鐵路相交于點(diǎn)E即為車站所在位置，此時(shí)L= 此時(shí)為最低費(fèi)用設(shè)計(jì)方案。b當(dāng)存在共用管線時(shí)：A、當(dāng)共用管線與非共用管線價(jià)格相同，均為m時(shí)： 設(shè)計(jì)方案如圖所示ACDBblhEFa2xxYX假設(shè)公共管線長(zhǎng)度為h；（0hb）x=a-h （1）L=+h （2）L=+h （3）W=Lm=m*+m*h （4）當(dāng)實(shí)際情況下已知a，b，l的情況下，上式只存在一個(gè)未知數(shù)h，再結(jié)合h的范圍即可得出

11、最低費(fèi)用的設(shè)計(jì)方案。B、當(dāng)共用管線價(jià)格為m，非共用管線價(jià)格為n；（nm2n）設(shè)計(jì)方案如圖所示：AaClxhFEbBDW=h*m+n*+n*其中： 0xl； 0hb；實(shí)際情況下的費(fèi)用可以根據(jù)已知道的常量a、b、l再結(jié)合x、h的取值范圍可以得出最小費(fèi)用。5.2關(guān)于問題2的模型建立與求解因?yàn)樵诔菂^(qū)和郊區(qū)鐵路管線的費(fèi)用相同，而在城區(qū)有拆遷和工程補(bǔ)償?shù)荣M(fèi)用，所以城區(qū)和郊區(qū)要分為兩部分來(lái)考慮。我們從三家咨詢公司給出的三個(gè)方案來(lái)看，我們考慮到甲級(jí)資質(zhì)和乙級(jí)資質(zhì)的評(píng)估準(zhǔn)確性，所以我們對(duì)三家公司進(jìn)行分權(quán)，甲級(jí)資質(zhì)的權(quán)重為40%，乙級(jí)資質(zhì)的權(quán)重為30%所需要的附加費(fèi)預(yù)估值為p=0.4*21+0.3*24+0.3*

12、20=21.6(萬(wàn)元/千米)由于城區(qū)管線鋪設(shè)所花費(fèi)的費(fèi)用比較大 ，所以車站站點(diǎn)建設(shè)在郊區(qū)才是相對(duì)節(jié)約經(jīng)費(fèi)的。我們根據(jù)共用管線與非共用價(jià)格相同設(shè)計(jì)出如下圖所示模型：F（x1，h）G（5，y1）A5ChEBD82015x2xYX如上圖所示建立坐標(biāo)系，在城區(qū)部分我們可以得到每千米鋪設(shè)管線費(fèi)用為21.6+7.2=28.8萬(wàn)元。W=7.2*（h+）+28.8* （1）x=5-h （2）W= 7.2*（h+）+28.8* （3）其中 0h8 0y18利用C+程序編輯器編輯程序求解：最小費(fèi)用W=283.201萬(wàn)。5.3關(guān)于問題3的模型建立與求解根據(jù)城郊管線之間以及共用管線之間存在價(jià)格差異，我們建立出如下圖的

13、模型：F（x2，h）G（5，y2）A5ChEBD82015x2xYXG為B管線與分界線之間的交點(diǎn)；F為A，B管線間的交點(diǎn)；A廠到F點(diǎn)距離：AF=；GF之間距離：FG=；B廠到G點(diǎn)距離：BG=；共用管道FE距離為h；0h8；5x220；0y28；總費(fèi)用：W=5.6*AF+6*GF+7.2*EF+（21.6+6）*BG (1)W=5.6*+6*+7.2*h+27.6*利用C+程序編輯器編輯程序求解：得到最低的費(fèi)用為W=252.474萬(wàn)元。六、模型的評(píng)價(jià)與應(yīng)用從實(shí)際的生活出發(fā)輸油管道是石油生產(chǎn)過程中的重要環(huán)節(jié)，石油工業(yè)始終離不開輸油管線的鋪設(shè)問題。它是煉油廠、車站、用戶、產(chǎn)地之間的重要環(huán)節(jié)。優(yōu)點(diǎn)：利

14、用數(shù)學(xué)模型的建立，是復(fù)雜的實(shí)際問題簡(jiǎn)單化，同時(shí)又與實(shí)際情況相聯(lián)系。建立合適的數(shù)學(xué)模型可以使設(shè)計(jì)達(dá)到最優(yōu)的目的，使解決復(fù)雜的時(shí)間問題更加簡(jiǎn)單化，更加得節(jié)約和快捷。缺點(diǎn)：該模型進(jìn)行了很多假設(shè)，比如忽略接頭問題，和施工費(fèi)用問題，以及忽略了地形對(duì)施工的影響。在計(jì)算過程中由于C+程序編程循環(huán)過于龐大，即采用由粗至細(xì)的運(yùn)算方法，存在一定誤差。應(yīng)用：模型在實(shí)際運(yùn)用中，不僅僅可以用在成品油運(yùn)輸管布置，還可運(yùn)用到原油輸送和污水處理，電線電纜的布置還有公路鐵路的修建等一些列的線路布置問題。附錄問題二的C+程序片段#include<iostream.h>#include<math.h>voi

15、d main() double h,y1,w;double a,b;h=0;int i,j;double min=10000;for(j=0;j<=80000;j+)h=h+0.0001;y1=0;for(i=0;i<=80000;i+)y1=y1+0.0001;w=28.8*sqrt(8-y1)*(8-y1)+25)+(sqrt(y1+5-2*h)*(y1+5-2*h)+225)+h)*7.2;if(min>w)min=w;a=h;b=y1;cout<<"w="<<min<<'n'cout<<

16、;"h="<<a<<'n'cout<<"y1="<<b<<'n'問題二的C+程序片段：#include<iostream.h>#include<math.h>void main() double h,y2,x2,w;double a,b,c;h=0;y2=0;x2=5;int i,j,k;double min=10000;for(i=0;i<=8;i+)h=h+1;y2=0;for(j=0;j<=8;j+)y2=y2+1;x2=5;for(k=0;k<=15;k+)x2=x2+1;w=27.6*sqrt(8-y2)*(8-y2)+25)+5.6*sqrt(5-h)*(5-h)+(20-x2)*(20-x2)+6*sqrt(x2-5)*(x2-5)+(y2-h)*(y2-h)+7.2*h;if(min>w)min=w;a=h;進(jìn)一步細(xì)化：#include<iostream.h>#include<math.h>void main() double h,y2,x2,w;double a,b,c;h=0.13;y2=0;x