2019年山東省臨沂市高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)

1、頁眉內(nèi)容2019 年山東省臨沂市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）、選擇題：本題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的15 分）設(shè)A 125 分）已知集合A （ 1， 1）C（ 1，1）35 分）已知向量A 84，則 z 的虛部是（BM1，1，C 2iD 2（ ）2）2B（ 1，D（1，2）22，1）， （ 1，k）， （2 ），則 k（）B6C6D85 分）把函數(shù) 的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變） ，再將圖象向右平移個單位長度得到函數(shù) g（ x），則下列說法正確的是（5ABCDx）x）x）x）在上單調(diào)遞增的圖象關(guān)于 對稱的最小正周期

2、為 4的圖象關(guān)于 y 軸對稱5 分）已知 x， y 滿足約束條件，若的最大值為4，則實數(shù) m的值為（ ）6A2B3C4D85 分）趙爽是三國時代的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家， 他為周髀算經(jīng) 一書作序時，介紹了“勾陰影）如股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖” ，圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形圖，設(shè) AB：BC1：3，若向弦圖內(nèi)隨機拋擲 5000 顆米粒（大小忽略不計） ，則落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為（A 134B67C200D2507（5 分）給出下列四個命題： 命題 p：； 的值為 0 ； 若 f（x）x2ax+1 為偶函數(shù)，則曲線 yf（x）在點（ 1， f（ 1）處的切線方程是 y 2

3、x 已知隨機變量 N（ 1， 1），若 P（ 1<<3） 0.9544 ，則 P（ <3） 0.9772其中真命題的個數(shù)是（A1B2CD8（5 分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（A1CD9（ 5 分）在 ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，a3，c 2 ， bsinA（A1CD10（ 5 分）某幾何體的三視圖如圖所示（俯視圖中的虛線為半圓），則該幾何體的體積為A 8 2BCD上不單調(diào)的一個充分不必要條件是 （ ）A11（ 5分）函數(shù) （f x）CD12（5分）F1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點，直線 l 為雙曲線C 的一條漸近線， F1 關(guān)于直線 l 的

4、對稱點為，且點在以 F2 為圓心、以半虛軸長 b 為半徑的圓上，則雙曲線 C 的離心率為（ ）A BC 2D二、填空題：本大題共 4小題，每小題 5 分，共 20分13（ 5 分）已知 sin+cos14（5 分）（2x+y）（x2y）5 展開式中 x3y3 的系數(shù)為15（5 分）已知橢圓的左、右焦點分別為 F1，F(xiàn)2，過左焦點 F1 作斜 率為 2的直線與橢圓交于 A，B兩點， P是AB的中點， O為坐標(biāo)原點，若直線 OP的 斜率為 ，則 a 的值是 16（5分）在 ABC 中，A ，AB10，AC6，O為 ABC所在平面上一點，且滿足，則 m+3n 的值為 三、解答題：共 70 分解答應(yīng)寫

5、出文字說明、證明過程或演算步驟第17 21 題為必考題，每個試題考生都必須作答第22、 23 題為選考題，考生要根據(jù)要求作答 （一）必考題：共 60 分17（ 12 分）設(shè) Sn為數(shù)列 an的前 n項和，已知 a13，對任意 nN*，都有 2Snannan （ 1）求數(shù)列 an的通項公式；（2）令，求數(shù)列 bn的前 n項和 Tn18（12 分）如圖，平面 ABCD 平面 ABE，四邊形 ABCD 是邊長為 2 的正方形， AE1， F 為 CE 上的點，且 BF 平面 ACE（ 1）求證： AE平面 BCE；（ 2）線段 AD 上是否存在一點 M，使平面 ABE 與平面 MCE 所成二面角的余

6、弦值為 ？ 若存在，試確定點 M 的位置；若不存在，請說明理由19（ 12 分）已知拋物線 C： y22px（ p>0）的焦點為 F， P為拋物線上一點， O 為坐標(biāo)原 點， OFP 的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，且外接圓的周長為3（ 1）求拋物線 C 的方程；（2）設(shè)直線 l 交 C于A，B兩點，M 是AB的中點，若 |AB| 12，求點 M到y(tǒng)軸的距離 的最小值，并求此時 l 的方程20（ 12分）隨著快遞行業(yè)的崛起，中國快遞業(yè)務(wù)量驚人，2018 年中國快遞量世界第一，已連續(xù)五年突破五百億件，完全超越美日歐的總和，穩(wěn)居世界第一名某快遞公司收取費 的標(biāo)準(zhǔn)是：不超過 1kg 的包裹收費 8

7、 元；超過 1kg 的包裹，在 8 元的基礎(chǔ)上，每超過 1kg （不足 1kg，按 1kg 計算）需再收 4 元該公司將最近承攬（接收并發(fā)送）的 100 件包裹的質(zhì)量及件數(shù)統(tǒng)計如下（表1）：表 1 ：包裹重量（單位： kg）0，1 （1，2 （ 2，3 （3，4 （ 4，5包裹件數(shù) 43 30 15 8 4公司對近 50 天每天承攬包裹的件數(shù)（在表 2 中的“件數(shù)范圍”內(nèi)取的一個近似數(shù)據(jù)）件數(shù)范圍及天數(shù)，列表如表（表2）：表 2 ：件數(shù)范圍0 99100 199天數(shù) 510每天承攬包裹 50150的件數(shù)200299300399400 5002555250350450（1）將頻率視為概率， 計算

8、該公司未來 3 天內(nèi)恰有 1天攬件數(shù)在 100299之間的概率；（2） 根據(jù)表 1中最近 100 件包裹的質(zhì)量統(tǒng)計， 估計該公司對承攬的每件包裹收取快遞 費的平均值： 根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)，公司將快遞費的三分之一作為前臺工作人員的工資和公司利潤， 其余用作其他費用目前，前臺有工作人員 5 人，每人每天攬件數(shù)不超過 100 件，日工 資 80 元公司正在考慮是否將前臺人員裁減1 人，試計算裁員前、后公司每天攬件數(shù)的數(shù)學(xué)期望；若你是公司決策者，根據(jù)公司每天所獲利潤的期望值，決定是否裁減前臺工 作人員 1 人？2x21（12 分）已知函數(shù) f（x）（ ax22x+a） ex（aR ）（1）當(dāng) a0 時，

9、求 f（x）的單調(diào)區(qū)間；（ 2）若存在 a（， 0，使得 f（x） bln（x+1）在 x0，+）上恒成立，求實數(shù)b 的取值范圍選考題：共 10 分請考生在第 22，23 題中任選一題作答如果多做，則按所做的第一題 計分 選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講 22（10 分）在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C1 的參數(shù)方程為（ 為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系（ >0，0 <2），點 A 為曲線 C1 上的動點，點 B在線段 OA 的延長線上，且滿足 |OA|?|OB|6，點 B的軌跡為 C2 （1）求 C1，C2 的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點 C的極坐標(biāo)為

10、（ 2，0），求 ABC面積的最小值 選修 4-5：不等式選講 23已知函數(shù) f（x） |x 5|+|x1|1）求 f（ x）的最小值 m；2）若正實數(shù) a，b 滿足m2019 年山東省臨沂市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）參考答案與試題解析、選擇題：本題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的15 分）設(shè) ，則 z 的虛部是（A 1B)C 2iD 2考點】 A5 ：復(fù)數(shù)的運算分析】 直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案解答】解：則 z 的虛部是 2故選： D 2（5 分）已知集合A （ 1， 1）C（ 1，1）1，2）1，2B（ 1，D（1，

11、（2）2考點】 1H ：交、并、補集的混合運算【分析】 解分式不等式化簡集合 M，再由交集的運算求出 M（ ?RN）【解答】 解：，（ x2）（ x+1） 0，且 x+10， 1<x2，M x|1<x2，?RN x|x1 且 x3 且 x5 ，M（?RN）x|1<x2且 x1故選： C 3（ 5 分）已知向量 （ 2， 1）， （ 1，k）， （ 2 ），則 k（）A 8B6C6D8考點】 9T ：數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系分析】 可求出 ，根據(jù) 即可得出 ，進行數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可求出 k 的值【解答】 解：； k 8故選： D （縱坐標(biāo)不變） ，再將圖象向右平移4（

12、 5 分）把函數(shù) 的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的個單位長度得到函數(shù) g（ x），則下列說法正確的是（Ax）Bx）在上單調(diào)遞增的圖象關(guān)于 對稱Cx）的最小正周期為 4Dx）的圖象關(guān)于 y 軸對稱考點】 HJ：函數(shù) yAsin （ x+）的圖象變換分析】 根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，求出g（x）的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性，對稱性以及周期性分別進行判斷即可（縱坐標(biāo)不變） ，解答】 解：函數(shù) 的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的得到 y sin（個單位長度得到函數(shù)g（ x），即 g（x） sin2（x ）+ +sin），再將圖象向右平移+) sin( 2x2xA當(dāng) xBg（）sin（），此時 g（x）為

13、增函數(shù)，故 A 正確，） 1 0，即 g（ x）的圖象關(guān)于不對稱，故 B 錯誤，C g（ x）的最小正周期為 ，故 C 錯誤，Dg（x）不是偶函數(shù)，關(guān)于 y軸不對稱，故 D 錯誤， 故選： A 5（ 5分）已知 x，y 滿足約束條件，若的最大值為 4，則實數(shù) m的值為（ ）A 2B3C 4D 8【考點】 7C ：簡單線性規(guī)劃【分析】 畫出不等式組表示的平面區(qū)域，根據(jù)z 3x 2y 的最大值為 4，得出直線 x+y m 0，過直線 3x2y4 和直線 x20 的交點 A，從而求得 m 的值【解答】 解：畫出不等式組 表示的平面區(qū)域，如圖所示，根據(jù) z3x 2y 的最大值為 4，得出直線 x+y

14、m 0，過直線 3x2y4 和直線 x 20的交點 A（ 2，1），計算 m 2+1 3故選： B 6（5 分）趙爽是三國時代的數(shù)學(xué)家、 天文學(xué)家， 他為周髀算經(jīng) 一書作序時， 介紹了“勾 股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖” ，圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形（陰影）如圖，設(shè) AB：BC1：3，若向弦圖內(nèi)隨機拋擲 5000 顆米粒（大小忽略不計） ，則落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為（ ）A 134B 67【考點】 CF：幾何概型【分析】 由幾何概型中的面積型可得：C200D250又設(shè)小正方形的邊長為a，易得大正方形的邊長為 5a，由正方形面積公式運算可得解解答】 解：設(shè)小正方形的邊長

15、為 a，則四個全等的直角三角形的兩直角邊長分別為：3a， 4a，則大正方形的邊長為 5a，22則 S小正方形 a ， S大正方形 25a ，設(shè)落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為n，由幾何概型中的面積型可得：解得 n 200， 故選： C 7（5 分）給出下列四個命題： 命題 p：； 的值為 0 ； 若 f（x）x2ax+1 為偶函數(shù)，則曲線 yf（x）在點（ 1， f（ 1）處的切線方程是 y 2x 已知隨機變量 N（ 1， 1），若 P（ 1<< 3） 0.9544，則 P（ <3） 0.9772其中真命題的個數(shù)是（）A 1B2C 3D 4【考點】 2K ：命題的真假判斷

16、與應(yīng)用【分析】 根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進行判斷 根據(jù)積分的定義和公式進行計算 根據(jù)偶函數(shù)的定義先求出 a 0，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義進行求解判斷 根據(jù)概率的對稱性結(jié)合概率公式進行求解判斷即可【解答】 解： 命題 p 的p：?x>2，x210；故 錯誤，（2xcosx）| 2 cos（ 2cos（ ） 2+1（ 2+1） 4；故 錯誤； 若 f（x）x2ax+1 為偶函數(shù)，則 f（ x） f（ x），22即 x +ax+1 x ax+1，即 ax ax，則 aa，即 a0，則 f（x） x2+1，則 f（1） 2，f（ x） 2x，則 f（1） 2，則曲線 yf（x）在點（ 1，f（

17、1）處的切線方程是 y22（x1），即 y2x，故 正 確 已知隨機變量 N（ 1， 1），若 P（ 1<< 3） 0.9544，則 P（ 3） P（ 1） （ 1P（ 1< < 3） （10.9544） 0.0228，則 P（ <3） 1P（3）10.2280.9772，故 正確，故正確的命題是 ，共兩個，故選： B 8（5 分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（A1BCD0考點】EF：程序框圖分析】根據(jù)程序框圖，利用模擬驗算法進行求解即可解答】解：第二次循環(huán)，第一次循環(huán)， k 1， S cos0 1， k1+1 2，k> 6 不成立，S 1+cos 1

18、+k2，k2+13，k>6 不成立；第三次循環(huán)，k3，S1+ +cos 1+ + + ，k3+14，k>6 不成立；第四次循環(huán)，第五次循環(huán)，k4，k5，s + 1+，k4+15，k> 6 不成立，k 5+1 6， k>6 不成立；第六次循環(huán)，k6，S1+cos1，k6+17，k>6 成立1輸出 S 1，故選： A 9（ 5 分）在 ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，（b，c，a3，c 2 ，bsinAA1BCD考點】 HR ：余弦定理分析】 由正弦定理得 bsinAasinB，與 bsinA acos（ B+），由此能求出 B由余弦定理即可解得 b

19、的值解答】 解：在 ABC 中，由正弦定理得：，得 bsinA asinB，又 bsinA acos( B+） asinB acos( B+） cosBcos），即 sinB cos（ sinBsin cosBsinB，頁眉內(nèi)容2tanB 又 B （ 0， ）， B 在 ABC 中， a3，c2 ，由余弦定理得 b 故選： C 10（ 5 分）某幾何體的三視圖如圖所示（俯視圖中的虛線為半圓）A 8 2BC，則該幾何體的體積為D考點】 L! ：由三視圖求面積、體積【分析】 根據(jù)三視圖知該幾何體是以俯視圖為底面的四棱錐，中間挖去一個半圓錐， 結(jié)合圖中數(shù)據(jù)計算該幾何體的體積即可解答】 解：根據(jù)三視圖

20、知，該幾何體是以俯視圖為底面的四棱錐，中間挖去一個半圓錐，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，計算該幾何體的體積為：×2×2× 2×2×2×2×?12?2VV 四棱錐 V 半圓錐 故選： C 11（ 5分）函數(shù) （f x）上不單調(diào)的一個充分不必要條件是 （ ）A B考點】 6B ：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【分析】 先求導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)函數(shù) f（x）在（ 1， 3）上不單調(diào)，得 g（1）g（3）0 且 0，從而可求 a 的取值范圍【解答】 解：由題意， f（ x） ax2a+ ，函數(shù) f（ x）在（ 1，3）上不單調(diào)， 分子應(yīng)滿足在（ 1， 3）有實

21、根，設(shè) g（x） ax 2ax+1，a 0 時，顯然不成立，a 0 時，只需，解得：a 1 或 a<故 a（， ） 1 ，+），其子集是 A，故選： A 12（5分）F1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點，直線 l 為雙曲線C 的一條漸近線， F1關(guān)于直線 l 的對稱點為 ，且點 在以 F2 為圓心、以半虛軸 長 b 為半徑的圓上，則雙曲線 C 的離心率為（ ）A BC 2D【考點】 KC ：雙曲線的性質(zhì)【分析】 設(shè) F1（ c，0）， F2（c，0）， F1'（m， n），直線 l：y x，運用中點坐標(biāo)公式 和兩直線垂直的條件：斜率之積為 1，可得對稱點的坐標(biāo)，以及兩點的距離公式，化簡

22、整理，結(jié)合離心率公式可得所求值x，方法二、運用中位線定理和勾股定理，以及離心率公式，可得所求值解答】 解：設(shè) F1（ c，0）， F2（c，0），F(xiàn)1'（m，n），直線 l： yF1 關(guān)于直線 l 的對稱點為可得，n，），解得 m可得 F1'b，由題意可得 |F2F1'|結(jié)合 a2+b2 c2，化為 b2 4a2，可得 e 另解：設(shè) F1關(guān)于直線 bxay0對稱點為 F1'，設(shè) M 為漸近線與 F1F1'的交點，連接 F1'F2，可得由 OM 為 F1F 2F 1'的中位線，可得 |OM |F2F1'| b，到直線 bx ay 0

23、 的距離為 db，即有 b2+ b2 c2，可得 5（c2a2） 4c2， 即 c2 5a2，可得 e 故選： B 、填空題：本大題共 4小題，每小題 5 分，共 20分13（5 分）已知sin+cos考點】 GF：三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值分析】 由同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出sincos，再由兩角差的正弦函數(shù)公式化簡求值即可解答】解：由 sin+cos，得 ，2( sin cos) 1 2sincos故答案為：14（5 分）（2x+y）（x2y）5 展開式中 x3y3 的系數(shù)為 120【考點】 DA ：二項式定理【分析】 根據(jù)題意，結(jié)合二項式定理把（ x+2y）5 按照二項式定理展開，由多項

24、式乘法的 性質(zhì)分析可得答案頁眉內(nèi)容【解答】 解：根據(jù)題意， （x2y）5x5 10x4y+40x3y280x2y3+80xy432y5， 則（2x+y）（x+2y）5 展開式中 x3y3的系數(shù)為 2×（ 80） +1× 40 160+40 120， 故答案為： 12015（ 5 分）已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過左焦點 F1 作斜率為 2的直線與橢圓交于 A，B兩點， P是AB的中點， O為坐標(biāo)原點，若直線 OP的斜率為 ，則 a 的值是 2考點】 K4 ：橢圓的性質(zhì)分析】 利用點差法得 a2 2b2，進一步求得 a解答】 解：設(shè) A（x1，y1），B（x2， y

25、2），P（x0，y0），兩式相減得： 4， a22b2 4， a 2故答案為： 216（5分）在 ABC 中，A ，AB10，AC6，O為 ABC所在平面上一點，且滿足 ，則 m+3n 的值為【考點】 9E ：向量數(shù)乘和線性運算分析】 由外心是中垂線的交點及投影的概念得：則 10×30，所以，所以由平面向量的數(shù)量積公式得：得解解答】 解：由得：| | | |，則點 O 是 ABC 的外心，由10× 30所以所以所以 m+3n ，故答案為：17 21 題為必考三、解答題：共 70 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第題，每個試題考生都必須作答第22、 23 題為選考題，

26、考生要根據(jù)要求作答 （一）必考 題：共 60 分17（12 分）設(shè) Sn為數(shù)列 an的前 n項和，已知 a13，對任意 nN*，都有 2Snannan （ 1）求數(shù)列 an的通項公式；（2）令 ，求數(shù)列 bn的前 n項和 Tn【考點】 8E ：數(shù)列的求和； 8H：數(shù)列遞推式 【分析】（1）直接利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項公式2）利用（ 1）的結(jié)論，進一步利用裂項相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用法求出數(shù)列的和解答】 解：（ 1）已知 a13，對任意 nN* ，都有 2Snannan ，當(dāng) n2 時， 2Sn1an1（ n1） an1 ， 得：所以：，故： 解得： an 3n（首項符合通項） ， 故： a

27、n 3n2）由于 an 3n，故：ABCD平面 ABE，四邊形 ABCD 是邊長為 2 的正方形，AE1，則：F 為 CE 上的點，且 BF 平面 ACE（ 1）求證： AE平面 BCE；（ 2）線段 AD 上是否存在一點 M，使平面 ABE 與平面 MCE 所成二面角的余弦值為 ？ 若存在，試確定點 M 的位置；若不存在，請說明理由考點】 LW ：直線與平面垂直； MJ ：二面角的平面角及求法分析】（1）推導(dǎo)出 BF AE，BCAB，從而 CB平面 ABE，進而 CB AE，由此能證 明 AE平面 BCE 2）推導(dǎo)出 AE BE，以 A 為原點，建立空間直角坐標(biāo)系 A xyz，利用向量法推導(dǎo)

28、出線 段 AD 上存在一點 M，當(dāng) AM 時，使平面 ABE 與平面 MCE 所成二面角的余弦值為解答】 證明：（ 1） BF平面 ACE，AE? 平面 ACE， BF AE，四邊形 ABCD 是正方形， BC AB，平面 ABCD 平面 ABE，平面 ABCD 平面 ABEAB， CB平面 ABE，AE? 平面 ABE，CBAE，BFBCB， AE平面 BCE解：（2）線段 AD 上存在一點 M，當(dāng) AM 時，使平面 ABE 與平面 MCE 所成二面角的余弦值為理由如下： AE平面 BCE，BE? 平面 BCE， AEBE，在 RtAEB 中， AB 2，AE1， ABE 30°，

29、 BAE60°，以 A 為原點，建立空間直角坐標(biāo)系 A xyz，設(shè) AMh，則 0h 2，0），B（0，2，0），C（0，2， AE 1， BAE 60°， M（0，0，h），E2）， h）， （ ， ， 2），設(shè)平面 MCE 的一個法向量 （ x，y， z），取 z 2，得2+3h），h2，2），平面 ABE 的一個法向量 （ 0， 0，1），由題意得：|cos<> |解得 h 或 h （舍），線段 AD 上存在一點 M，當(dāng) AM 時，使平面 ABE 與平面 MCE 所成二面角的余弦值為 2319（ 12 分）已知拋物線 C： y22px（ p>0）的焦

30、點為 F， P為拋物線上一點， O 為坐標(biāo)原點， OFP 的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，且外接圓的周長為（ 1）求拋物線 C 的方程；（2）設(shè)直線 l 交 C于A，B兩點，M 是AB的中點，若 |AB| 12，求點 M到y(tǒng)軸的距離 的最小值，并求此時 l 的方程【考點】 KN ：直線與拋物線的綜合【分析】（1）先求出 OFP 的外接圓的半徑長，再利用拋物線的定義可求出p 的值，從而得出拋物線 C 的方程；（ 2）法一：設(shè)直線 l 的方程為 ykx+b，設(shè)點 A（x1，y1）、B（x2，y2），設(shè)點 M（ x0，y0）， 將直線 l 的方程與拋物線 C 的方程聯(lián)立，列出韋達定理，并計算出 |AB|

31、的表達式，根據(jù)條 件|AB|12得出 k與 b所滿足的關(guān)系式，并求出點 M的坐標(biāo)，結(jié)合關(guān)系式并利用基本不 等式可求出點 M 到 y軸距離的最小值，利用等號成立的條件得出k與 b 的值，從而求出直線 l 的方程；法二：設(shè)直線 l 的方程為 xmy+n，設(shè)點 A（x1，y1）、 B（x2，y2），將直線 l 的方程與拋 物線 C 的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用弦長公式計算|AB|，并利用條件 |AB |12，得出m與n所滿足的關(guān)系式， 然后求出點 M的坐標(biāo)，可得出點 M到 y軸距離的表達式， 將關(guān) 系式代入并結(jié)合基本不等式可得出點 M 到 y 軸距離的最小值，并由等號成立的條件得出 m與 n的值，

32、從而得出直線 l的方程【解答】解：（1） OFP 的外接圓與拋物線 C的準(zhǔn)線相切， OFP 的外接圓圓心到 準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑，圓周長為 3，所以，圓的半徑為，又圓心在 OF 的垂直平分線上， ， ，解得 p 2， 因此，拋物線的方程為 y24x；（2）法一： 當(dāng) l 的斜率不存在時， |AB|12， 4x 62，得 x9，點 M 到 y 軸的距離為 9，此時，直線 l 的方程為 x9； 當(dāng) l的斜率存在且 k0時，設(shè)l的方程為 ykx+b，設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），M（x0，16kb+16>0，y0），得 k2x2+2 （kb 2） x+b2 0，由韋達定理得 ，即又當(dāng)

33、且僅當(dāng)，等號成立，將，即，或這兩種情況均滿足 16 16kb>0，合乎題意！得則直線 l 的方程為或綜上所述，點 M 到 y 軸距離的最小值為 5，此時，直線 l 的方程為或法二：由題意可知直線 l 的斜率不為零，設(shè) l： x my+ n，設(shè)點 A（x1，y1）、 B（x2，y2），則點，點 M 到 y 軸的距離為由，整理得 y2 4my4n0 16m2+16n>0，由韋達定理得 y1+y2 4m，y1y24n ，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即 m22，即當(dāng)時，等號成立，此時， 16m2+16 n>0 成立，合乎題意！因此，點 M 到 y 軸的距離的最小值為 5，此時，直線 l 的方程為

34、 20（ 12分）隨著快遞行業(yè)的崛起，中國快遞業(yè)務(wù)量驚人，2018 年中國快遞量世界第一，已連續(xù)五年突破五百億件，完全超越美日歐的總和，穩(wěn)居世界第一名某快遞公司收取費 的標(biāo)準(zhǔn)是：不超過 1kg 的包裹收費 8 元；超過 1kg 的包裹，在 8 元的基礎(chǔ)上，每超過 1kg （不足 1kg，按 1kg 計算）需再收 4 元該公司將最近承攬（接收并發(fā)送）的 100 件包裹的質(zhì)量及件數(shù)統(tǒng)計如下（表 1）：表 1 ：包裹重量（單位： kg） （0，1 （1，2 （ 2，3 （3，4 （ 4，5包裹件數(shù) 43 30 15 8 4公司對近 50 天每天承攬包裹的件數(shù)（在表 2 中的“件數(shù)范圍”內(nèi)取的一個近似

35、數(shù)據(jù)） 件數(shù)范圍及天數(shù)，列表如表（表2）：表 2 ：件數(shù)范圍0 99100 199200299300399400 500天數(shù)5102555每天承攬包裹50150250350450的件數(shù)（1）將頻率視為概率， 計算該公司未來 3 天內(nèi)恰有 1天攬件數(shù)在 100299之間的概率；（2） 根據(jù)表 1中最近 100 件包裹的質(zhì)量統(tǒng)計， 估計該公司對承攬的每件包裹收取快遞 費的平均值： 根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)，公司將快遞費的三分之一作為前臺工作人員的工資和公司利潤， 其余用作其他費用目前，前臺有工作人員 5 人，每人每天攬件數(shù)不超過 100 件，日工 資 80 元公司正在考慮是否將前臺人員裁減 1 人，試計算

36、裁員前、后公司每天攬件數(shù)的 數(shù)學(xué)期望；若你是公司決策者，根據(jù)公司每天所獲利潤的期望值，決定是否裁減前臺工 作人員 1 人？【考點】 B7：分布和頻率分布表； BB ：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)； CB：古典概型及其概 率計算公式【分析】（ 1）樣本中包裹件數(shù)在 100 299 之間的天數(shù)為 35，未來 3 天中，包裹件數(shù)在100299 之間的天數(shù) X 服從二項分布，即 XB（3，由此能求出結(jié)果2） 樣本中快遞費用及包裹件數(shù)如下表格，故樣本中每件快遞收取的費用的平均值 根據(jù)題意及 ，攬件數(shù)每增加 1 ，公司快遞收入增加 12 元，若不裁員，則每天可攬件 的上限為 500 件，公司每日攬件數(shù)情況如表格

37、若裁員 1 人，則每天可攬件的上限為 400 件，公司每日攬件數(shù)情況如表格可得公司平均每日利潤的期望值【解答】 解：（1）由題意得近 50天每天承攬包裹的件數(shù)在 100299 之間的天數(shù)為 35， 每天攬件數(shù)在 100299 之間的概率為 ，未來 3天中，包裹件數(shù)在 100 299之間的天數(shù) X 服從二項分布 XB（3， ），未來 3 天內(nèi)恰有 1 天攬件數(shù)在 100 299 之間的概率：P P（ 2） 估計該公司對承攬的每件包裹收取快遞費的平均值為：43×8+30×（8+4）+15×（8+4×2）+8×（ 8+4× 3）+4

38、5;（8+4×4）12（元） 根據(jù)題意及 ，攬件數(shù)每增加 1，公司快遞收入增加 12 元， 若不裁員，則每天可攬件的上限為500 件，公司每日攬件數(shù)情況如下：包裹件數(shù)范 圍0 99100 199200299300 399400 500包裹件數(shù)（近50150250350450似處理）實際攬件數(shù)50150250350450頻率0.10.20.50.10.1EY50×0.1+150×0.2+250×0.5+350×0.1+450× 0.1240故公司平均每日利潤的期望值為240×12× 5× 80 560（元）

39、；若裁員 1 人，則每天可攬件的上限為 200 件，公司每日攬件數(shù)情況如下：包裹件數(shù)范0 99100 199200299300 399400 500圍包裹件數(shù)（近50150250350450似處理）實際攬件數(shù)50150250350400頻率0.10.20.50.10.1EY50×0.1+150×0.2+250×0.5+350×0.1+400× 0.1185故公司平均每日利潤的期望值為185×12× 4× 80 420（元）因 420< 560，故公司不應(yīng)將前臺工作人員裁員1 人2x21（12 分）已知函數(shù) f

40、（x）（ ax22x+a） e x（aR ）（1）當(dāng) a0 時，求 f（x）的單調(diào)區(qū)間；（ 2）若存在 a（， 0，使得 f（x） bln（x+1）在 x0，+）上恒成立，求實數(shù) b 的取值范圍【考點】 6B ：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性； 6E：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值 【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a 的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（ 2）通過討論 b 的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定 b的范圍即可【解答】 解：（ 1） f（x）的定義域是 R，f（ x） ex（x 1）（ax a2），（ i） a 0 時， f （ x） 2e x （ x 1），令 f（ x）> 0，解得： x> 1，令 f（ x）< 0，解得： x< 1，故 f（x）在（， 1）遞減，在（ 1， +）遞增；（ii ）a>0時， 1+ >1，令 f（ x）> 0，解得： 1< x<1+ ，令 f（ x）< 0，解得： x< 1 或 x> 1+ ，故 f（x）在（， 1）遞減，在（ 1， 1+ ）遞增，在（ 1+ ，+）遞減； （2）f（x）bln（ x+1）在 x0，+）上恒成立，當(dāng) x0時， f（0） bln（0+1），故 a0 成立，又 a（， 0，故 a 0，（i）