二次根式化簡的方法與技巧(完整資料).doc

1、【最新整理，下載后即可編輯】二次根式化簡的方法與技巧二次根式是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)內(nèi)容，讀者在掌握二次根 式有關(guān)的概念與性質(zhì)后，進(jìn)行二次根式的化簡與運(yùn)算時(shí)，一般 遵循以下做法： 先將式中的二次根式適當(dāng)化簡 二次根式的乘法可以參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn) 用公式石亦=( 0,Z? 0) 對于二次根式的除法，通常是先寫成分式的形式，然后 通過分母有理化進(jìn)行運(yùn)算. 二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，即在化簡的 基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類項(xiàng). 運(yùn)算結(jié)果一般要化成最簡二次根式.化簡二次根式的常用技巧與方法所謂轉(zhuǎn)化：解數(shù)學(xué)題的常用策略。常言道：“兵無常勢， 水無常形?！蔽覀冊诮馇ё?nèi)f化的數(shù)學(xué)題時(shí)，常常思維

2、受阻，怎么辦？運(yùn)用轉(zhuǎn)化策略，換個(gè)角度思考，往往可以打破僵局， 迅速找到解題的途徑。二次根式的化簡是二次根式教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，對于二 次根式的化簡，除了掌握基本概念和運(yùn)算法則外，還要掌握一 些特殊的方法和技巧，會(huì)收到事半功倍的效果，約分、合并是 化簡二次根式的兩個(gè)重要手段，因此我們在化簡二次根式時(shí)應(yīng) 想辦法把題目轉(zhuǎn)化為可以約分和和可以合并的同類根式?，F(xiàn)舉 例說明一些常見二次根式的轉(zhuǎn)化策略。一、巧用公式法例1 計(jì)算a - 2yba + b (i_byaya +b分析：本例初看似乎很復(fù)雜，其實(shí)只要你掌握好了公式，問題就簡單了，因?yàn)樾枧c麗成立，且分式也成立，故有(需-、樂工0) 而 同 時(shí)公式( Z

3、?)2 =a2 2ab + b29a2 -b2 = (a + b)(a Z?),可以幫助我們將 a 2yab + h 和變形，所以我們應(yīng)掌握好公式可以使一些 問題從復(fù)雜到簡單。解：原式+ yb)(yci ylb)yll + yb=(4a - Jb) + (Ja - Jb)2yci 2-b二、適當(dāng)配方法。3 + 2血-餡-例2.計(jì)算：1 +血-的分析：本題主要應(yīng)該從已知式子入手發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，分母含 有1 + V2-V3其分子必有含1 +血-0的因式，于是可以發(fā)現(xiàn) 3 + 2血=（1 +血j,且V3 + V6 = V3（l + /2）,通過因式分解，分子所 含的1 + V2-V3的因式就出來了。解：原

4、式_（3 + 2蟲）（館 + 后） 1 +V2 - V3_ （1 + 蟲）2 + 蟲） 1 +V2- V3=1 +三、正確設(shè)元化簡法。2聯(lián)例3:化簡、伍+的+、斥分析：本例主要說明讓數(shù)字根式轉(zhuǎn)化成字母的代替數(shù)字化 簡法，通過化簡替代，使其變?yōu)楹唵蔚倪\(yùn)算，再運(yùn)用有理數(shù)四 則運(yùn)算法則的化簡分式的方法化簡，例如：“ = 運(yùn)= c,4 = b、ab = g、正好與分子吻合。對于分子，我們發(fā)現(xiàn) a2+b2=c2所以a2+h2-c2=0,于是在分子上可加2+/?-c2=0,因 此可能能使分子也有望化為含有+ c因式的積，這樣便于約分化簡。解：設(shè) =則2ab = 2羽、且夕 +b2-c2 =0所以：_ 2a

5、bd + Z? + c2cib + d? + c?d + Z? + c_ (a + Z?)2 c2a + b + c(a + Z? + c )(tz + b c) a + b + c=a + b c=V2 +V3-V5四、拆項(xiàng)變形法例4,計(jì)算W+同佈+ )分析：本例通過分析仍然要想到，把分子化成與分母含有 相同因式的分式。通過約分化簡，如轉(zhuǎn)化成：字=丄+ ；再化 ab a b簡，便可知其答案。解：原式_ )(-x/5 - a/6 )(a/6 -+-_a/5 + V6a/6 + V7= (V5+V6XV6 + V7)+(V5+V6XV6 + V7)1 1/5 + a/6a/6 + a/v= a/

6、6-a/5+V7-V6=V7-a/5五、整體倒數(shù)法。(詰+、你加+1)例5、計(jì)算J + 2巧+ 1分析：本例主要運(yùn)用了變倒數(shù)后，再運(yùn)用有關(guān)公式： 斗亠 化簡但還要通過折項(xiàng)變形，使其具有公因式。ab a bAA.設(shè) A_（Q 餡+ 1）解設(shè)亦+ 2后1貝4 = (vXv+i) (V + v)+.(v +)+ i)1 i-x/3 -+- 1 V5 -+- V3V3 1 V5 V3 H2Vs 12所以“是=孚借用整數(shù)“1”處理法。1+3逅一2厲例6.計(jì)算、/2+75 +而分析：本例運(yùn)用很多方面的知識(shí)如：1 = （73 + d“-、用】（“-） X + b）二川-b ,然后再運(yùn)用乘法分配 率，使分子與

7、分母有相同因式，再約分化簡。解：原式_ (巧+ “_血)+3龐_2能_V2 + V3 + V6_ (a/3 + V2V3 V2)+ V6(V3 V2)_V2 + V3 + V6_ (a/3 V2)(V3 V2 + Vfi )-/3 + yp2. + yfG=a/3 V2六恒等變形整體代入結(jié)合法例7：巳知x=*(、/7 +腭),，=+(),求下列各式的 值。宀 Q + y2；(2)3y x分析：本例運(yùn)用整體代入把x+y與xy的值分別求出來， 再運(yùn)用整體代入法將x+y與xy代入例題中，但一定要把所求 多項(xiàng)式進(jìn)行恒等變形使題中含有x+y與xy的因式， j01x2-xy + y2=(x + y)2-3

8、xy ,然后再約分化簡。解：因?yàn)椋簒 = g(、/7 +的，y = |(V7-v,f5),所以：x+ y = yl,xy? = o 厶 xy + y=(x+ y)2 3xy= (a/7)2-3x!_ 1 1_ 2乂- + y_（乂 +，）2 2乂，(jy2 _2x_=12七、降次收幕法：例8、已知“2+血，求洱芋的值。2x-7分析：本例運(yùn)用了使題中2次幕項(xiàng)轉(zhuǎn)化成1次方的項(xiàng)再化 簡。如例題中把多項(xiàng)式x2+4a-1轉(zhuǎn)化為4X-1,這樣進(jìn)行低次 幕運(yùn)算就容易了。解：由 1 = 2 + 73,得(2)2=3 整理得：x2=4x lo 所以：3x2-2x + 5=3(4x 1) 2x + 5= 10(2

9、 +巧)+ 2= 22 + 10 循2x-7 = 2(2 + V3)-7 = 2a/3-3所以原式_ 22 10“Z-x/3 374-V3=42 H3二次根式的化簡與計(jì)算的策略與方法1.公式法小十2歷【例11計(jì)算后；ab 一衛(wèi)【解后評注】以上解法運(yùn)用了 “完全平方公式”和“平方差公式”，從而使計(jì)算較為簡便.2觀察特征法2后而3強(qiáng)【例2】計(jì)算：2+罷-聯(lián)【方法導(dǎo)引】若直接運(yùn)用根式的性質(zhì)去計(jì)算，須要進(jìn)行兩 次分母有理化，計(jì)算相當(dāng)麻煩，觀察原式中的分子與分母，可 以發(fā)現(xiàn)，分母中的各項(xiàng)都乘以爺，即得分子，于是可以簡解如下:【解】原式屋1邈二=百2+屈-壓【例3】把下列各式的分母有理化.亦-忌厶+ +

10、-1()-伍)麗-同；(2)+ Jx-1 ( A 1 )【方法導(dǎo)引】式分母中有兩個(gè)因式，將它有理化要乘以 兩個(gè)有理化因式那樣分子將有三個(gè)因式相等，計(jì)算將很繁，觀 察分母中的兩個(gè)因式如果相加即得分子，這就啟示我們可以用如下解法：=(羽-蟲)十(厲-五)=1+1解原式 廟-悶僦_婦 4b 4c 亦-r厲=亞心+衛(wèi)上0 =丄氣：爲(wèi)壬丄&E _cab a_b a -c) b -c【方法導(dǎo)引】式可以直接有理化分母，再化簡.但是， 不難發(fā)現(xiàn)式分子中廠的系數(shù)若為“1” ,那么原式的值就 等于“1” 了！因此，可以解答如下：=1+E1【解】原式 施盯+戶=丄，-rAr-l)(Vi + 1 + Va -1)(/

11、 +1 -1)十亞Hi土二Hr2 2 2 23.運(yùn)用配方法【例4】化簡出一厶胚72-22+1-2x72xl+l2【解】原式=【解后評注】注意這時(shí)是算術(shù)根，開方后必須是非負(fù)數(shù), 顯然不能等于“1 一血”4.平方法【例5化簡椒后+【解】.戶+W=6-./35 + 2j（6-侮“十倒十 6 十 735=12 + 2762-35 =714.屈+ J宀防=佰 【解后評注】對于這類共軌根式亦與“血的有關(guān)問題, 一般用平方法都可以進(jìn)行化簡5恒等變形公式法例6】化簡農(nóng)r民同+佔(zhàn)屈+屈2【方法導(dǎo)引】若直接展開，計(jì)算較繁，如利用公式 十窈+ -功2 = 2（啟+畀），則使運(yùn)算簡化.【解】原式=+ （V2 - V6

12、75 -（72 -/6）f=2卜療+=2x(3 + 8-473)= 22-8 柘6.常值換元法例 7化簡 J1998xl999x2000x 2001 + 1【解】令199,則:原式=也的）（皿）（a+3） +1=十於十免：十2）十=+ 3af + 2(2 + 3)+1=JG?十 3a 十 1)2 =/+3+1 = 19982+3x1998+1 =39979997.裂項(xiàng)法丄+_十十I一2一例8】化簡1十血 72 +/3 “,療十折-/99+ 7T00【解】原式各項(xiàng)分母有理化得原式=”5-1）十（75-池”人+1麗-極）+（麗防）=麗-1 = 10-1 = 9【例9化簡2 + 2J7 十 JT64

13、 十（靑+価衛(wèi)+療）近+価川+冋【方法導(dǎo)引】這個(gè)分?jǐn)?shù)如果直接有理化分母將十分繁鎖, 但我們不難發(fā)現(xiàn)每一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子等于分母的兩個(gè)因數(shù)之和, 于是則有如下簡解：_屯+77）+炒+珂丄+廁乂4+珂解原式一仿+肪;（”間+ I后+用帚“同1111=十十+77+a/102 十街 a/13 + 7104 + a/13710-a/7 占 _2 価-頂 4-713=+4+3333=*而_ J7+歷 _2+乖-折+ 4_,冋=|8. 構(gòu)造對偶式法 +2 + J異 -4 + 2 + J/ - 4例 10】化簡n+2-J滬-4 + 2 + 72-4【解】構(gòu)造對偶式，于是沒 = + 2 + a/2 - 4 i =

14、+ 2- a/2 4貝| a十 Z? = 2十 4 ,= 4滋十 8 ,血=2（& +b）a b 護(hù)+護(hù) 疔小攵=十一=二1 -2 = 一 2原式 ba ah ab 2=尬+2一2=九9. 由里向外，逐層化簡Jl 99&J1997 J1996 J19901993 + 1 + 1 + 1 +f解.71995x1993 + 1 = J(1994 +1)(1994-1) + 1廂羽 = 1994而 71596x1994+1 = 7(1595 + 1X1995-1) + 1 = Jl99 夕=199571997x1995+1 = J(1996 十 1)(19961)+1 = /那=1996.原式71998x1996 + 1 = J(1997+ 1)(1997-1) + 1 =加喬=1997【解后評注】對多重根式的化簡問題，應(yīng)采用由里向外， 由局部到整體，逐層化簡的方法