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1、數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題測(cè)試時(shí)間:120分鐘分滿分:150解答題(本題共9小題,共150分,解答應(yīng) 寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)1. 2016 -銀川一模(本小題滿分15分)在等差數(shù)列an中,& = 3,其前n項(xiàng)和為Sn,比數(shù)列bn的各項(xiàng)均為正數(shù),b1 = 1,公比為S2q(q#1), 且 b2 + S2=12)q=7 b2(1)求 an 與 bn;(2)證明:1111 23芯十至+ Sn1 ,所以.11 一 J .,&2,于是 2&1 所以:w211 i3 3n+1 3目. 11112“ 八、即A+ cTt(15 分)3 Sis2Sn 32. 2017 -黃岡質(zhì)檢(
2、本小題滿分15分)已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1 = |, * =,近N*.(1)求證:數(shù)列7-1為等比數(shù)列;an、一 111(2)記3=+,若S100,求最 a1 a2an,大正整數(shù)n.解證明:因?yàn)?=1+5 , 1所以一1Hn+ 11111=_ _=_ 13an 3 3 an.又因?yàn)?一1*0)所以一1#0(nG N*), a1an 1, j一一,、所以數(shù)列-1為等比數(shù)列.(7分)an(2)由(1),可得 1_1 = 2X 1n dn33所以 l2x3n+1.111所以 & = + + = n + d1d2dn1 1 _ 1 _ 123+= n+2x33n113若&100)則n+1;1n100)所
3、以最大正整 3數(shù)n的值為99.(15分)3. 2016 新鄉(xiāng)許昌二調(diào)(本小題滿分15 分)已知an是等差數(shù)列,bn是各項(xiàng)都為正數(shù)的 等比數(shù)列)且 3 = 2)b = 3)a3+b5=56)as + b3 = 26.(1)求數(shù)列an , bn的通項(xiàng)公式;- o2bn 、*(2)右x +3x0消 d 得 2q4 q228=0,,(2q2+7)( q24)=0);bn是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列,2,所以d=3, (4分).an=3n1, bn=3.2nT.(8 分)、3 - 2n-i(2)己 Cn= c id)2n+ i n-i 2niCn+i Cn=3 , 2, c 4 c c2n+i2n+3所以C
4、n最小值為Ci = i, (i2分)c2bn *因?yàn)橐粁 +3xw 2n+1對(duì)任息nG N恒成立,所以一x2 + 3xW2,解得 x2 或 xW1,所以 xG(oo, 1U2, +oo).(15 分)4. 2016 江蘇聯(lián)考(本小題滿分15分) 在等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn中,a1 = 1, b1 = 2, bn0(nGN),且 b1)a2, b2成等差數(shù)列)a2, b2) a3+2成等比數(shù)列.5. )求數(shù)列 an、 bn的通項(xiàng)公式;設(shè)Cn=abn,數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和為Sn, _S2n + 4n若4二4;an + t對(duì)所有正整數(shù)n恒成立,求常數(shù) Sn+ 2nt的取值范圍.解(1)設(shè)等差數(shù)列an
5、的公差為d,等比數(shù) 列bn的公比為q(q0).由 題 意) 得解得d= q2 1 + d =2+2q, 2q 2=1 + d3+2d= 3.(3 分),an=3n 2, bn = 2 - 31.(5 分)(2) Cn = 3 - bn 2=2 - 3n 2.(7 分) Sn=c1 + C2 + + Cn= 2(31 + 32 + 3n) 2n= 3n 2n3.(10 分)Sn+4n 32n 3n八2n=3n-3 = 3+1.(11 刀)3n+13n2 + t 恒成立,即 t 0,所以f(n)單調(diào)遞增.(14分)故tf(1) =3,即常數(shù)t的取值范圍是(一 8, 3). (15 分)5. 201
6、6 天津高考(本小題滿分15分) 已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列,公差為d. 對(duì)任息的nG N)bn是an和an+1的等比中項(xiàng).(1)設(shè) Cn=bn+ 1 bn, nGN 求證:數(shù)歹U Cn 是等差數(shù)列;2n 設(shè) a = d,=工 1( 1)kb2, nG N*,求證:證明(1)由題意得bn=anan+1)有Cn=bn+1 bn= a(i+舊什 2 ana(i+1 2dan+1, (3 分)因此Cn+ 1Cn = 2d( an+ 2 an+ 1) = 2d , 所以 Cn是等差數(shù)列.(6分)一 2222(2) Tn = ( b + bz) + ( bs b4)+ + (一 b2n-1 + b
7、2n)=2d( a?+ a4 + + a2n)na? + a2n= 2d2n(n+1) . (9 分)、,二 1k k+1-2?3所以乙7 =I k1-kh(12 分)1,= 2d2. 1 n+ 12 時(shí)n的取值范圍.解(1) - a + 2a2+3a?+ na= n)所1 以 aI + 2a2 + 3a3 + + ( n 1)an1 = n 一 1(n2).1八兩式相減得an=n(n2) , (4分)又 a1=1 滿足上式,/.an= n(nGN*),(5 分)2n 1(2)由(1)知 bn = -2T-)(6 分)1 . 3 . 5 ,1 2n1113 52n1Tn= 2+ 22+23+,
8、 +2n ,2Tn= 22+ 23+ 2+ , + 2門(mén)+1兩式相減得11 1 c2Tn= 2. 21 1 22+23+12n-12n2n 1 )11111 c2Tn=2+2X2n 1 ,八八、2門(mén)+1 ) (9 分)22 2n , 211-21 12n1- 2n+ 3Tn = 1 + 4 2 2n 2n = 3 2n )(10 分),2n+32n+1由 Tn Tn - 1 = 3 -Zn - 3- n-1 =222n 12n當(dāng)RE時(shí),Tn-Tn-10,所以數(shù)列Tn單調(diào)遞增.(12分)丁4=3 1137 516=1632=所以 n5 時(shí),TnT5|, 故所求n5, nG N.(15分)7. 2
9、016 吉林二模(本小題滿分 20分) 已知數(shù)列an前n項(xiàng)和S滿足:2S + an= 1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè) bn=12an+;,數(shù)列bnI 十 anI 十 an+ 1,一 、, 1的刖n項(xiàng)和為T(mén)n,求證:Tn.ai=&)3所以數(shù)列an是公比為1.的等比數(shù)列.(6分)3痂 11n11n故 an= 2= 2 ,333 1 n數(shù)列an的迪項(xiàng)公式為an= - .(8分)32an+ 1(2)證明:= bn=) 1 +an1 +an+1f _2T .3n+1-3 +13n+11尹一)(11分)11. Tn = b + b2 + + bn = 31 + 1 32_p 1 + (一.32+
10、 133+ 1 + 3n+13n +1111=4尸工14, (18 分) 1 八,Tn4,(20 分)8.2016 浙江高考(本小題滿分20分)設(shè)數(shù)列 an滿足an an+ 11, nG N.(1)證明:| an| 42 nT(| a| 2), nG N;3 n* 一證明(1)由an+ 1aL 2右| an| w 2)nG N)證明:| an| W2)n一 /曰一1w 1,侍 | an| 一 21 an+1| W1,故| an | an + 112n2n+11 一* ,2b nG N, (3 分)1 a1|21| an|_| a1| a2|2=21 一 22十| an-1| an|11+ +
11、!- - 2nW + /+ +12in,| an|2n am| 2m| an| an+1|2n2門(mén)+1| an+1| an+ 2|2門(mén)+1 2n+2| am- 1| a,2m- 12m11+ + 2m_12“-1, (12 分)3 m n-2n2故L LadL”1| an|n,均有-3 m n | an|2 + 4 2 .由m的任意性得| an| . t 、上 加 , 否則,存在n0 G N ,有| an0|2 ,取正整數(shù)2 | ano| - 2molog 3 42n0且 mino)貝U& | ano| - 23 照3log 3-,2 o -4 2 0 - 442no= |an|一2,與式矛盾
12、,綜上,對(duì)于任意nG N,均有| an| W2.(20分)9. 2016 金麗衢十二校聯(lián)考(本小題滿分 _I_1 .20 分)設(shè)數(shù)列an湎足:ai = 2)an+i = can + (c an、為正頭數(shù),nEN),記數(shù)列an的刖n項(xiàng)和為Sn.(1)證明:當(dāng) c=2 時(shí),2n+1-2Sn0(nGN),由 an+1 =2an+;,得7 =2+-2,所以an是遞增數(shù)列, ananan2從而有 an2,故a2+13, (2 分) an4由此可得 an+i3an3an1,,2an22an-1- - - 2nai = 2n 1,所以2+22+2n=2計(jì)-2, (6分)所以,當(dāng) c=2 時(shí),2n+1-2S.
13、、 、 tN)成立.(8分)13(2)由 a = 2 可得 a2=2c + a2,解得 c4)(10 分)若數(shù)列an是單調(diào)遞減數(shù)列,則=c + anan r ,記t = r 1 c1 - c又 an+ 1 t = ( an t)因?yàn)閍n t ( nGN*)均為正數(shù))所以c0)即an1. ta ntc由an0(nG N*)及 c, t 0可知 an+i t c(ant ) cn( a t) = cn(2 t)進(jìn)而可得 ancnT(2t)+t.由兩式可得,對(duì)任意的自然數(shù)n,;cn tc1(2 -t) +t恒成立.因?yàn)?0cf? t2,所以二t)即:2.(14分).、一 一 13 r 一 下面證明:當(dāng)2c2時(shí))由an+1 =一工
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