2008年高考數(shù)學試卷(陜西.文)含詳解

1、夢想不會辜負一個努力的人2008 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（陜西卷）文科數(shù)學（必修 + 選修）一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 （本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分）1sin330等于（ B ）A31 BC13 D2222解：sin 330sin30122已知全集 U 1，2，3，4，5 ，集合 A 1,3 ，B 3,4,5 ，則集合 U（A B） （ D ）A3B 4,5C 3,4,5D1，2，4，5解： A 1,3 ， B 3,4,5 A B 3 所以 U（A B） 1，2，4，53某林場有樹苗 30000 棵，其中松樹苗 4000 棵為

2、調(diào)查樹苗的生長情況，采用分層抽樣的方法抽取一個容量為 150 的樣本，則樣本中松樹苗的數(shù)量為（C）A30B 25 C 20D 15解：設樣本中松樹苗的數(shù)量為x，則150xx203000040004已知an 是等差數(shù)列， a1a24 ， a7a8 28 ，則該數(shù)列前10項和 S10 等于（ B ）A64B 100C110D1202a1d4a1110 9解：設公差為 d ，則由已知得S1010 1 2 1002a113d28 d225直線 3x y m 0與圓 x2 y2 2x 2 0 相切，則實數(shù) m等于（ C ）A 3 或 3B 3或 3 3C 3 3或 3D 3 3或3 322解 ： 圓 的

3、 方 程 (x 1)2 y2 3 ， 圓 心 (1,0) 到 直 線 的 距 離 等 于 半 徑| 3 m| 3 3 m 2 3 m 3或者 m 3 3 316“ a 1”是“對任意的正數(shù) x ， 2x a 1”的（ A ） xA充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解：aa 1 2x12x2 2x 1 2 2 1 ，顯然 a 2也能推出，所以“ a 1xxxall 試題5是“對任意的正數(shù) x， 2xa 1 ”的充分不必要條件。x7已知函數(shù)f(x) 2x 3，f 1(x)是 f (x) 的反函數(shù)，若mn 16 ( m，n R+ )，則f 1(m) f1(n) 的值為(A

4、10B4C1解：f (x)2x 31(x) log2 x3于是8f 1(m)f 1(n)log 2 m 3 log2 n 3 log2 mnlog216 6長方體ABCDA1B1C1D1 的 各 頂 點 都 在 半AB: AD : AA12:1: 3,則兩 A,B 點的球面距離為 ( CA4B 3C 22D3解：設 AD a,則 AB 2a, AA13a1B1ODCCB面上,其中D1A球的直徑 2R a2 4a2 3a22 2a即R 2a，在 AOB中， OA OB R 2a, AB2 2 22a, OA2 OB2 AB2AOB 90 從而 A,B 點的球面距離為 1 2 42229雙曲線 a

5、x2 by2 1a 0，b 0 )的左、 右焦點分別是F1， F2 ，過 F1作傾斜角為 30的直線交雙曲線右支于M 點，若 MF2 垂直于 x 軸，則雙曲線的離心率為(C 2DMF12c4 3c ，MF2 2c tan30cos3032aMF1 MF24 3c222 3c 2 3c333解：如圖在 Rt MF1F2 中， MF1F2 30 ,F1F2 2cl，AB )10如圖，B，A，B到l的距離分別是 a和b， AB與， 所成的角分別是A， m n和 ， AB 在 ，B， m內(nèi)的射影分別是n)D解：由勾股定理 a22n22 bm2AB2 ，又 a b ， m nbsin ，sina ,而

6、ab ，所以 sinsin ，得ABAB11定義在 R上的函數(shù) f (x) 滿足 f(x y) f (x)f (y) 2xy( x，yR )， f (1) 2 ，則 f ( 2) 等于(A )A2B3C6D 9解：令 x y 0f (0)0 ，令 xy 1 f (2)2f (1) 2 6；令 x 2,y2得0f (2 2)f (2) f( 2)8 f ( 2) 8f(2) 8 6 212為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關數(shù)據(jù)組成傳輸信息設定原信息為 a0 a1a2，ai 01， (i 0，1，2)，傳輸信息為 h0a0a1a2h1，其中， m nC， mh0a0a

7、1，h1h0a2 ，運算規(guī)則為： 0 0 0，0 1 1，101，110，例如原信息為 111，則傳輸信息為 01111傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導致接收信 息出錯，則下列接收信息一定有誤的是( C )A11010B01100C 10111D 00011解： C 選項傳輸信息 110， h0 0 1 1， h1 h0 a2 1 1 0應該接收信息 10110。 二、填空題：把答案填在答題卡相應題號后的橫線上(本大題共 4 小題，每小題 4 分，共 16 分)13 ABC的內(nèi)角 A，B，C的對邊分別為 a，b，c，若c2，b6，B 120 ，則a 2 解： 由正弦定理 6 2 sinC 1

8、 ，于是 C 30 A 30 a c 2 sin120 sinC 22114(1 )7的展開式中 2 的系數(shù)為 84 (用數(shù)字作答 )x x2解：Tr 1 C7r( 2)7 r ( 2)7 rC7r 17 r，令 7 r 2 r 5， xx因此展開式中 12 的系數(shù)為 ( 2)7 5C75 84x215關于平面向量 a，b，c 有下列三個命題： 若ab=ac，則b c若 a (1，k)，b ( 2，6)，ab，則k 3非零向量 a和b滿足|a| |b| |a b|，則a與a b的夾角為 60 夢想不會辜負一個努力的人22all 試題7其中真命題的序號為(寫出所有真命題的序號)解： a b a

9、c a(b c)0 ，向量 a 與 b c 垂直 a b b a1kk326|a| |b| |a b|a,b,ab構成等邊三角形， a 與a b的夾角應為 30所以真命題只有。16某地奧運火炬接力傳遞路線共分6 段，傳遞活動分別由 6名火炬手完成 如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳 遞方案共有 96種(用數(shù)字作答) 解：分兩類：第一棒是丙有 C11 C21 A44 48,第一棒是甲、乙中一人有 C21 C11 A44 48 因此共有方案 48 48 96 種三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟(本大題共 6 小題，共 74

10、分)17(本小題滿分 12 分)已知函數(shù) f (x) 2sin xcosx3cosx 4 4 2()求函數(shù) f(x) 的最小正周期及最值；)令 g(x)x ，判斷函數(shù) g(x) 的奇偶性，并說明理由3xx解：() f (x) sin 3cos222f (x) 的最小正周期 T4x2sin2當 sin x 23x1時， f (x) 取得最小值 2 ；當 sin x 231時， f (x) 取得最大值 2x)由()知 f (x) 2sin又 g(x)fx3231 xxg(x) 2sin x2sin2cos 2 3 3222xxg( x) 2cos 2cos g(x) 函數(shù) g(x) 是偶函數(shù)夢想不

11、會辜負一個努力的人18（本小題滿分 12 分）一個口袋中裝有大小相同的 2 個紅球 ,3 個黑球和 4 個白球 ,從口袋中一次摸出一個球 ,摸出的 球不再放回 .（）連續(xù)摸球 2 次,求第一次摸出黑球 ,第二次摸出白球的概率； （）如果摸出紅球 ,則停止摸球 ,求摸球次數(shù)不超過 3 次的概率2 2 2 解：（）從袋中依次摸出 2個球共有 A92種結果， 第一次摸出黑球、 第二次摸出白球有 A32A42種結果，則所求概率P1A3A29A242116（或P13498）第一次摸出紅球的概率為AA2911，第二次摸出紅球的概率為A92 ，第三次摸出紅球的all 試題19P A21 A71A21 A72

12、A21 7 P2 A91 A92 A93 12 BD:DC 1:2，BD6 BD，又3AB ，3AB3BCDBA ABC ，ADBBAC90 ，即 AD又 A1A AD A ，BC平面 A1AD ，概率為 A7A32 ，則摸球次數(shù)不超過 3次的概率為A9319（本小題滿分 12 分）三棱錐被平行于底面 ABC的平面所截得的幾何體如圖所示， 截面為 A1B1C1 ， BAC 90 ，A1A 平面 ABC， A1A3， AB2，AC2，A1C11，BD1DC2（）證明：平面 A1AD平面 BCC1B1 ；A1C1B1（）求二面角 A CC1B 的大小A解： 解法一：（） A1A平面 ABC，BC平

13、面ABC，A CBDA1A BC 在 RtABC 中， AB2，AC2，BC6BC 平面 BCC1B1 ， 平面 A1AD 平面 BCC1B1（）如圖，作 AE C1C交C1C 于E點，連接 BE， 由已知得 AB 平面 ACC1A1 AE 是 BE在面 ACC1A1 內(nèi)的射影由三垂線定理知 BE CC1 ，AEB為二面角 A CC1 B 的平面角過C1作C1F AC 交AC于F點，則 CF AC AF 1， C1F A1A3，C1CF 60 在 RtAEC 中， AE ACsin603在RtBAE中， tanAEB AAEB23AEB arctan 6 ，3y即二面角 A CC1 B為 ar

14、ctan 613解法二：（）如圖，建立空間直角坐標系，則 A（0，0，0）， B（ 2，0，0）， C（0，2，0）， A1（0，0，3）， BD:DC 1:2， BD 1BC3222D 點坐標為， ，0 33AD 2 2，2，0 ， BC （ 2，2，0），AA1 （0，0，3） 33BC AA1 0， BC AD 0， BC AA1， BC AD ，又 A1A AD A，BC 平面 A1AD ，又 BC 平面 BCC1B1 ， 平面 A1AD 平面 BCC1B1 ） BA 平面 ACC1 A1 ，取 m AB （ 2，0，0） 為平面 ACC1A1的法向量，設平面 BCC1B1 的法向量為

15、 n （l，0，CC1 n 0 m，n），則2l 2m m 3n0，0，l 2m， n3m ，如圖，可取 m 1 ，則 n32，1，33 ，cos m，n2 2 0 1 0 33155即二面角 A CC1B為15 arccos 520（本小題滿分 12 分）2已知數(shù)列 an的首項 a1 2，an 132anan 11,2,3, 1）證明：數(shù)列 1 1是等比數(shù)列；）數(shù)列 n的前 n 項和 Sn an解：（）an 12an ，1an 1111，an 1an 12an22an1112111(1） ，又 a1，1an 12 an13a12由（1數(shù)列 1 an）知an11是以為 首項，212n111 為

16、公比的等比數(shù)列21121n，即 a1n21n1，ann2n n 12 則 1Tn2 n 2由 得設Tn22212323223n2nn12nn2n 1，112Tn12212nTn 2 1n 1 n2n 1n2n又112(1 21n )112n(n 1)2數(shù)列 n 的前 n 項和 Sn ann(n 1)2n2n12nn，n1，2n 1n2n21（本小題滿分 12 分）已知拋物線 C：y 2x2，直線 y kx 2交C于A，B兩點，M是線段 AB的中點，過M作 x 軸的垂線交 C 于點 N （）證明：拋物線 C在點 N 處的切線與 AB平行；解： 解法一：（）把 y kx 2 代入由韋達定理得x1x

17、NxMx1設拋物線在點）是否存在實數(shù) k 使0 ，若存在，求 k 的值；若不存在，說明理由2如圖，設 A（ x1，2 x12 ），2x2 得 2x2 kx 2x2x22B(x2，2x22)，0，k2 ， x1x2 1，k，4N 點的坐標為k，k24，N 處的切線 l 的方程為 yk28x將 y 2x2 代入上式得 2xmkmxk280，直線 l 與拋物線 C 相切，8 mk4k282mkk2(mk)20， m k 即 l AB ）假設存在實數(shù)k，使 NA NB0，NANB，又 M 是 AB的中點，|MN | 1| AB|1由()知 yM 12(y1y2)12 (kx1kx2 2)12k(x1

18、x2) 41 k2422k242MN x軸， |MN | | yMyN |k242 k82k2 168又 |AB| 1 k2x1 x2x2)2 4x1x21 k24 ( 1) 21 k2 1k2 1681 k2 1 k2 16 ，解得 k 2 即存在 k2 ，使0解法二：（）如圖，22設 A( x1，2 x12 )， B ( x2，2 x22 ) ，把 ykx22 代入 y 2x2 得2x2 kx 2k0 由韋達定理得 x1 x2 2，x1x21xNxMx1 x22k， N 點的坐標為4k，k222x ， y 4x ，拋物線在點）假設存在實數(shù)N 處的切線 l 的斜率為 k ，使 NA NBk，lAB0由（）知 NAx1 k ，2x124k28，NBx2k ，2x224k28，則NA NB x1x2k2k2x1x22x1k2162x2k216x1x2k4x1x2x1x2x1x2k2164x1x2k(x1 x2)k24即存在k2164(1)k24k216k2163k240，3 3k24使 NA NB 0 0，解得 k222本小題滿分 14 分)3 2 2 2設函數(shù) f (x) x3 ax2 a2x 1,g(x) a