2019年高考全國2卷理科數(shù)學(xué)及答案

1、絕密 啟用前2019 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)本試卷共 23 題，共 150 分，共 5 頁?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 注意事項(xiàng)： 1答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在 條形碼區(qū)域內(nèi)。2選擇題必須使用2B 鉛筆填涂；非選擇題必須使用0 5 毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。 5保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮 紙刀。5 分，共 60 分

2、。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一一、選擇題：本題共 12 小題，每小題 項(xiàng)是符合題目要求的。2 5x 6>0 ， B x|x 1<0，則 AB 1設(shè)集合 A x|xA （，1）B（2，1）C（ 3，1）D （3 ， ）2設(shè) z 3 2i，則在復(fù)平面內(nèi) z 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A 第一象限B 第二象限C第三象限D(zhuǎn) 第四象限 （2,3 ），A 3B 2C2D33已知 AB （2,3 ）， AC （3 ， t）， BC 1，則 AB BC4 2019 年 1 月 3 日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事 業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問

3、題是地面與探測(cè) 器的通訊聯(lián)系為解決這個(gè)問題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星 “鵲橋 ”，鵲橋沿著圍繞地月拉 格朗日 L2 點(diǎn)的軌道運(yùn)行 L2 點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長線上設(shè)地球質(zhì)量為M ，r ，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力月球質(zhì)量為 M ，地月距離為 R， L2 點(diǎn)到月球的距離為 定律， r 滿足方程：(R r) r(RR3 4 5設(shè)值為r ，由于的值很小，因此在近似計(jì)算中3 32(1 )3 3 ，則 r 的近似A3MC 32 RM3M2M理科數(shù)學(xué)試題 第 1 頁（共 9 頁）5演講比賽共有 9 位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成 績(jī)時(shí)，9從個(gè)原始 評(píng)分中去掉1 個(gè)最高分、 1 個(gè)最低分

4、，得到 相比，不變的數(shù)字特征是7 個(gè)有效評(píng)分 7 個(gè)有效評(píng)分與9 個(gè)原始評(píng)分6789A 中位數(shù)B平均數(shù)C方差D極差A(yù)ACa> b ，則ln( a- b ) >0B3a<3bCa3- b3>0D>b， 為兩個(gè)平面，則 的充要條件是 內(nèi)有無數(shù)條直線與 平行， 平行于同一條直線B 內(nèi)有兩條相交直線與D， 垂直于同一平面 平行2 2px(p>0 )的焦點(diǎn)是橢圓若拋物線 yA2B3為周期且在區(qū)間(列函數(shù)中，以Af (x)cos2xBf (x)， 2sin 2 cos 210已知 (0 ，1 的一個(gè)焦點(diǎn)，則p 3pC4D，)4 2單調(diào)遞增的是sin2 x1，則sinC

5、f (x ) cosDf (x) sin x1A5BCD2511 設(shè) F為雙曲線C：1(a0,b的右焦點(diǎn)，0)3O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓2交于 P ，Q 兩點(diǎn)若PQOF ，則C 的離心率為 與圓ABC2D12設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?R ，滿足f (x1)2 f (x) ，且當(dāng) x(0,1 時(shí)，f (x)x(x1)若對(duì)任意x, m，都有f ( x)8，則m 的取值范圍是A(二、填空題：9, 4本題共B4 小題，每小題7, 35 分，共 20 分。CD13我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有點(diǎn)率為 0 97 ，有 20 個(gè)車次的正點(diǎn)率為0停該站高鐵列車所有車次的

6、平均正點(diǎn)率的估 計(jì)值為98 ，有 10 個(gè)車次的正點(diǎn)率為10 個(gè)車次的正0 99，則經(jīng)若 f (ln2 ) 8 ，則a ax理科數(shù)學(xué)試題第 2 頁(共 9 頁)14 已知 f (x) 是奇函數(shù)， 且當(dāng) x 0 時(shí)，( )e15 ABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對(duì)邊分別為a,b,c若b 6,a 2c, B，則 ABC 的面為積 316中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形狀多為長方體、正方體 或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是 “半正多面體 ”（圖 1 ）半正多面 體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體 半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美 圖 2 是一個(gè)棱數(shù)為 48 的

7、半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正 方體的棱長為 1則該半正多面體共有 個(gè)面，其棱長為 （本題第一空 2 分，第二空 3 分）三、解答題： 共 70 分。解答應(yīng)寫出文字說明， 證明過程或演算步驟第 1721 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共 60 分。17（ 12 分）如圖，長方體 ABCD A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，點(diǎn) E 在棱 AA1 上，BE EC1（ 1）證明： BE平面 EB1C1；（2）若 AE A 1 E，求二面角 B EC C1 的正弦值18（ 12 分）11 分制乒乓球比

8、賽，每贏一球得 得 2 分的一方獲勝， 該局比賽結(jié)束1 分，當(dāng)某局打成 10:10 平后， 每球交換發(fā)球權(quán)， 甲、 乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的先多概率為 0 5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0 4 ，各球的結(jié)果相互獨(dú)立在某局雙方10:10 平后，甲先發(fā)球，兩人又打了 X 個(gè)球該局比賽結(jié)束1）求 P（X 2）；2）求事件 “X4 且甲獲勝 ”的概率19（ 12 分）4bn 1 3bn an 4 已知數(shù)列 an和 bn滿足 a11，b10， 4a n 1 3an bn 4 ，（ 1）證明： an bn 是等比數(shù)列， a nb n 是等差數(shù)列；（2）求 an 和 bn 的通項(xiàng)公式20（

9、12 分）已知函數(shù) f x ln x x 1 x 1（ 1 ）討論 f （x ）的單調(diào)性，并證明f （x ）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）設(shè) x0 是 f （x ）的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線yln x 在點(diǎn) A（x 0， ln x 0）處的切線也是曲線xy e 的切線21（ 12 分）1 已知點(diǎn) A（- 2,0 ）， B（2,0 ），動(dòng)點(diǎn) M （x,y）滿足直線 AM 與 BM 的斜率之積為 - 記 M2 的軌跡為曲線 C （ 1 ）求 C 的方程，并說明 C 是什么曲線；（ 2）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C 于 P，Q 兩點(diǎn)，點(diǎn) P 在第一象限， PEx 軸，垂足為 E，連結(jié) QE 并延長交 C 于點(diǎn) G（ i

10、 ）證明： PQG 是直角三角形；（ ii ）求 PQG 面積的最大值（二）選考題：共 10 分。請(qǐng)考生在第 22 、23 題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第 一題計(jì)分。22 選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 （ 10 分）在極坐標(biāo)系中， O 為極點(diǎn)，點(diǎn) M （ , ）（ 0） 在曲線 C : 4sin 上，直線 l 過點(diǎn) 0 0 0A（4,0） 且與 OM 垂直，垂足為 P （ 1 ）當(dāng)0 = 時(shí)，求 0 及 l 的極坐標(biāo)方程；3（ 2 ）當(dāng) M 在 C 上運(yùn)動(dòng)且 P 在線段 OM 上時(shí)，求 P 點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程23 選修 45：不等式選講 （ 10 分）已知 f （x） | x a |

11、 x | x 2|（x a）.（ 1 ）當(dāng) a 1 時(shí)，求不等式 f （x） 0 的解集；（ 2）若 x （ ,1）時(shí)， f （x） 0 ，求 a 的取值范圍2019 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)說明：一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則參考答案如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題二、對(duì)解答題， 當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)， 如果后繼部分的解答末改變?cè)擃}的 內(nèi)容和難度， 可視影響的程度決定后繼部分的給分， 但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分。三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一

12、步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分。 、選擇題1A2 C3C4D5A7B8 D9A10 B11A、填空題13 0.9814315 6 31626； 2 16C12 B三、解答題：17解：（ 1）由已知得，B1C1 平面 ABB1 A1 ，BE平面 ABB1 A1 ，故 B1C1BE又 BE EC ，所以 BE 平面 EB1C1 12）由（1）知 BEB190 由題設(shè)知 Rt ABERt A1B1E ，所以AEB 45故AE AB ， AA1 2AB 以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)， DA 的方向?yàn)?x 軸正方向， |DA | 為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D xyz ，則

13、 C（ 0，1，0）， B（ 1，1，C （0，1，2），E（ 1，0，1），1CE (1, 1,1)， CC1 (0,0,2) 設(shè)平面 EBC 的法向量為 n(x， y， x)，則0, 即 x 0, 所以可取 n (0, 1, 1) CE n 0, x y z 0,CB n設(shè)平面ECC 的法向量為 m（ x， y， z），則CC11m 0, 即 2z 0, 所以可取 m 1，1，0）CE m 0, x y z 0.于是 cos n,m n m 1 所以，二面角 B EC C 的正弦值為 3 18| n | m |2 1 2解：（ 1）X2就是 10： 10平后，兩人又打了2個(gè)球該局比賽結(jié)束，

14、則這 2個(gè)球均由甲得分，或者均由乙得分因此P（X2）0 5×0 4（ 10 5 ） ×（ 104 ） 05 （ 2）X 4且甲獲勝，就是 10：10 平后，兩人又打了 4個(gè)球該局比賽結(jié)束，且這4個(gè)球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得1 分，后兩球均為甲得分因此所求概率為0 5×（ 1 0 4 ）（ 105）×04 ×05×040 119解：1)由題設(shè)得 4( an 1 bn 1) 2( anbn ) ，即a11 (a n又因?yàn)?a1b1 l，所以 an bn 是首項(xiàng)為1，公比為1 的等比數(shù)列2由題設(shè)得 4(an 1 bn 1) 4(a

15、nbn ) 8，即 an 1 bn 1 an bn 220又因?yàn)?a1b1 l，2）由1）知，所以anbn是首項(xiàng)為1，公差為 2 的等差數(shù)列an bn2n 1 所以an1( an(anb )n1 1n ， n2解：因?yàn)樗? a b )n n1） f（x）f（ e）f（ x）在(anb )n的定義域?yàn)椋?，1），1，）單調(diào)遞增1， ）2f (e ) 22 e有唯一零點(diǎn)x1，f（ x1）00，故fx）在（ 0， 1）有唯一零點(diǎn)ln xf (x ) 01綜上， f（ x）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)上1 ln x 1 x2）因?yàn)?x e ，故點(diǎn) B（ln x0，x ）在曲線 y e0 0理科數(shù)學(xué)試題 第 6

16、頁（共 9 頁）由題設(shè)知 f ( x0 ) 0 ，即 ln x0x 101 x0故直線 AB 的斜率x 曲線 y e線的斜率也是所以曲線 y ln x 在點(diǎn)21解：在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在( 2)( i)設(shè)直線x0lnx在點(diǎn) B(ln x0ln x ,0x0) 處切線的斜率是1，曲線 y ln x 在點(diǎn) A(x ,ln x 00x ) 處切0A(x ,ln x ) 處的切線也是曲線 0 0y yx 2 x 2x 的切線 y ex 軸上的橢圓，PQ 的斜率為 k，y kx 由 x2 y2得 x14 21 2k，則于是直線QG2k的斜率為k2 ，方程為11 ，化簡(jiǎn)得2不含左右頂點(diǎn)則其方程為 yP(u,

17、uk), Q( u,k(x u) 22y 1(| x | 2) ，所以 C 為中心2kx( k 0) uk), E (u,0) y 由2xk(x22y2u),2(2 k ) x2 22uk x k u8 0 設(shè) G(x , y ) ，則G Gu 和 x 是方程 的解，故 G2u(3k 2) ，由此得 y2 G2 k3uk 322 k理科數(shù)學(xué)試題 第 7 頁（共 9 頁）從而直線 PG 的斜率為所以PQ PG ，ii)所以3ukuk22u(3k 2) PQG 是直角三角形由（ i ）得 | PQ|PQG 的面積2u 1| PQPG設(shè)t k 1 ，則由kk>0因?yàn)镾8t2t| PG |(1得

18、 t 2，當(dāng)且僅當(dāng)值為 16 因此， PQG22 解：（ 1 ）因?yàn)镸22uk k22 k 2(12kk2 在2， ） 單調(diào)遞減，所以當(dāng)16 面積的最大值為在 C 上，當(dāng)08(k)(22(時(shí)取等號(hào)t2，即時(shí)，k1 時(shí)，4sink) 2S 取得最大值，最大由已知得 |OP| |OA | cos2Q設(shè)（ , ）l為上除 P 的任意一點(diǎn)在 Rt OPQ 中cosOP經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn) P(2, ) 在曲線 cos3所以， l 的極坐標(biāo)方程為 cos2)設(shè)P( , )，在 RtOAP 中， | OP |2 上32 3|OA | cos4cos , 即 4cos因?yàn)镻 在線段OM 上，且 AP OM ，故 的取值范圍是