高等數(shù)學(xué)部分

1、高等數(shù)學(xué)部分一、向量（矢量）及其運(yùn)算數(shù)學(xué)中所研究的向量一般是自由向量，即與起點(diǎn)無關(guān)的向量。這與物理中的某些向量不同，物理中所研究的很多向量不是自由向量而是約束向量，像力矢量與力作用點(diǎn)有關(guān)。對于自由向量，若它們的大小相等，方向相同，我們就說向量是相等的，記作：。這就是說經(jīng)過平移后能完全重合的向量是相等的。向量的大小叫做向量的模，向量、的模記作。模等于1的向量叫做單位向量，不論它的方向。模等于零的向量叫做零向量，記作：。零向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，它的方向可以看作是任意的。兩個(gè)非零向量如果它們的方向相同或者相反，就稱這兩個(gè)向量平行，向量平行，記作。由于零向量的方向可以看作是任意的，因此可以認(rèn)為零向量與

2、任意向量都平行。1.向量的加減運(yùn)算向量的加減法遵循平行四邊形定則和三角形定則。（1）向量的加法（如下圖）向量加法遵循下列運(yùn)算規(guī)則：交換律：結(jié)合律：注：求兩個(gè)向量的和可用三角形法則也可用平行四邊形法則，兩種方法等效。（2）向量的減法（如下圖）特別地，當(dāng)時(shí)，有由以上向量知識(shí)可知，物理學(xué)中求質(zhì)點(diǎn)受多個(gè)力的合力時(shí)，可將矢量三角形法則推廣到矢量多邊形法則。由以上知識(shí)還可知道當(dāng)三個(gè)向量的和為0時(shí)，即則以向量為邊可以構(gòu)建一個(gè)封閉的矢量三角形，同理當(dāng)n個(gè)向量的和為0時(shí)，以這n個(gè)向量為邊可以構(gòu)建一個(gè)封閉的矢量n邊形。如下圖所示：2.向量與數(shù)的乘積向量與實(shí)數(shù)的乘積記作，它也是一個(gè)向量。它的模：，當(dāng)時(shí)與方向相同，當(dāng)

3、時(shí)與方向相反。向量與數(shù)的乘積遵循結(jié)合律與分配率：下圖中各向量的關(guān)系3.向量的坐標(biāo)表示法向量在三條坐標(biāo)軸上的投影叫做向量的坐標(biāo)。其中，看來這里的表示三條線段而不是三個(gè)點(diǎn)。記作：這是向量的坐標(biāo)表示式對于起點(diǎn)為，終點(diǎn)為的向量特別地，點(diǎn)對于原點(diǎn)O的向量：這就是說如果向量起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，那么這個(gè)向量的坐標(biāo)與它的終點(diǎn)坐標(biāo)一致。設(shè)有，則有：向量的模：4.向量的數(shù)量積（也叫內(nèi)積、點(diǎn)乘積、標(biāo)積）運(yùn)算 結(jié)果為一個(gè)數(shù)量無方向可見兩個(gè)向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模和另一個(gè)向量在這個(gè)向量的方向上的投影的乘積。物理學(xué)中的功就是采用數(shù)量積來定義的，即：可見物理課本中給出的公式中的已不是矢量了而是矢量的模。物理學(xué)中的磁通量

4、也是采用數(shù)量積定義的，即： 如下圖由數(shù)量積的定義可以推得：（1）這是因?yàn)閵A角所以（2）（3）方向是任意的，可認(rèn)為方向與任意向量都垂直，因此有（4）交換律：（5）分配率：5.兩向量的向量積（也叫叉乘積，矢積）運(yùn)算 （叉乘積的結(jié)果仍是一個(gè)向量）的模的方向垂直于與所決定的平面（即）的指向按右手規(guī)則從轉(zhuǎn)向來確定。物理學(xué)中的力矩就是采用叉乘積來定義的，即：或物理學(xué)中還有如下一些物理量是采用叉乘積來定義的：角動(dòng)量：圓周運(yùn)動(dòng)中的線速度、角速度、位徑的關(guān)系： 則 當(dāng)時(shí)，即時(shí)，簡寫成：安培力： 洛倫茲力： 叉乘運(yùn)算的性質(zhì)（1）這是因?yàn)閵A角，所以（2）（3）（4）分配率：例：有兩個(gè)向量，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)p，從開始沿著與

5、向量相同的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為。另一動(dòng)點(diǎn)Q，從開始沿著與向量相同的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為。設(shè)P、Q在時(shí)刻t=0秒時(shí)分別在處，則當(dāng)時(shí)，t等于多少？解：因?yàn)?所以 又有 結(jié)合運(yùn)動(dòng)的分解知識(shí)可得：經(jīng)過t時(shí)間后 ，于是 由可知而 得二、導(dǎo)數(shù)與微分知識(shí)在高中物理中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)反映函數(shù)相對于自變量變化的快慢程度，微分指明當(dāng)自變量有微小變化時(shí)，函數(shù)大體上變化了多少?？磥韺?dǎo)數(shù)與微分有所不同，但二者有聯(lián)系。下面先來看導(dǎo)數(shù)概念的建立1.平均速度和瞬時(shí)速度對于某一作變速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，設(shè)在時(shí)間內(nèi)發(fā)生的位移為，則這一過程的平均速度為，用這個(gè)速度只能大體上反映物體運(yùn)動(dòng)的平均快慢程度，不足以反映物體在各個(gè)瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)快

6、慢，要準(zhǔn)確確定物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度我們可以這樣處理：比如說這段過程是從至這段過程，即?，F(xiàn)在我們確定質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度，可讓取得很短，即很接近。這樣一來用來表示時(shí)的瞬時(shí)速度誤差就小了，也就是說在這種情況下平均速度就近似等于時(shí)的瞬時(shí)速度了，在這個(gè)基礎(chǔ)上如果我們讓（也就是讓）對求極限，那么這個(gè)極限值就表示時(shí)的瞬時(shí)速度了，即看來瞬時(shí)速度就是對平均速度求極限的結(jié)果。2.切線問題設(shè)有一曲線C其函數(shù)為，現(xiàn)在該曲線上任取兩點(diǎn)M、N，并作曲線C的割線MN，該割線的斜率，為此割線的傾斜角?，F(xiàn)讓N點(diǎn)沿曲線C靠近M點(diǎn)則割線MN就會(huì)繞M點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)N點(diǎn)和M點(diǎn)重合時(shí)，也就是時(shí)，即，割線MN便轉(zhuǎn)到一個(gè)極限位置MT，

7、我們就把這個(gè)直線MT稱為曲線C在點(diǎn)M處的切線。由以上可以確定切線的斜率k，即。由此可見，切線MT的斜率就是割線MN的斜率在時(shí)的極限值。在此我們要注意，圓的切線定義為與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線，這是正確的。但對于其它曲線用與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線來定義切線就不合適了。根據(jù)以上問題的探討下面我們給出導(dǎo)數(shù)的定義從上面討論的兩個(gè)問題看出，非勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度和切線的斜率都?xì)w結(jié)為如下的極限：這里的和分別是函數(shù)的自變量增量和函數(shù)增量，即，。因，相當(dāng)于，故上式可寫成：或。定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在處取得增量（點(diǎn)仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)取得增量，如果與之比當(dāng)時(shí)的極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可

8、導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。記作：即，也可以記作：。函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)有時(shí)也說成在點(diǎn)處具有導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)存在，這里所說的導(dǎo)數(shù)是指函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，是一個(gè)具體的值。導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)的變化率，用以描述函數(shù)隨自變量的變化快慢。在上面是函數(shù)隨自變量的平均變化率，而導(dǎo)數(shù)則是函數(shù)在點(diǎn)處的變化率是一個(gè)瞬時(shí)變化率。上面講的是函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo)，如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點(diǎn)處都可導(dǎo)，就稱函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，這時(shí)對于任一都對應(yīng)著的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值，這樣就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，這個(gè)新的函數(shù)叫做原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，記作：或、導(dǎo)函數(shù)的定義式：，顯然，函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的取值，即。導(dǎo)函數(shù)簡稱導(dǎo)數(shù)，而是在處的導(dǎo)數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)在

9、處的取值。（1）常用的一些導(dǎo)數(shù)公式 （2）函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)，則 （3）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)、且、都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：或，即先對整個(gè)函數(shù)求導(dǎo)，再對子函數(shù)求導(dǎo)。例如：以上所說的是一階導(dǎo)數(shù)，下面再看二階導(dǎo)數(shù)我們知道，變速運(yùn)動(dòng)中速度v是位移s對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即或，而加速度又是速度對時(shí)間的變化率（導(dǎo)數(shù)），即或。這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)或叫做對的二階導(dǎo)數(shù)，記作：或，所以加速度是位移對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。一般地，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是的函數(shù)，我們把的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記作：或，即或在此基礎(chǔ)上還有高階導(dǎo)數(shù)。相對于導(dǎo)數(shù)的概念微分是這樣定義的函數(shù)在任意點(diǎn)的微分，稱為函數(shù)的微分，記作：或，即：例如：函數(shù)的

10、微分為：函數(shù)的微分為：而函數(shù)在點(diǎn)處的微分可表示為：例如：函數(shù)在和處的微分函數(shù)在處的微分為：，在處的微分為：因此微分指明當(dāng)自變量有微小變化時(shí)，函數(shù)大體上變化了多少。下面用導(dǎo)數(shù)知識(shí)分析高中物理中的幾個(gè)內(nèi)容：1.法拉第電磁感應(yīng)定律高中物理課本中所給出的法拉第電磁感應(yīng)定律的內(nèi)容是：電路中感應(yīng)電動(dòng)勢的大小，跟穿過這一電路的磁通量的變化率成正比。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：，用此式實(shí)際上求出的是某過程的平均感應(yīng)電動(dòng)勢，而要求某時(shí)刻的瞬時(shí)電動(dòng)勢可以這樣進(jìn)行：對取極限，即，若要求時(shí)刻的瞬時(shí)電動(dòng)勢那就是。比如：穿過某一回路的磁通量隨時(shí)間的變化規(guī)律是，則在此回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢瞬時(shí)值表達(dá)式就是，要求哪一時(shí)刻的值就把該時(shí)刻代

11、入即可。2.對于電磁振蕩（LC）回路中，圖示MN間的電壓：（這是瞬時(shí)電壓）令 ，則振蕩電流 而電感線圈的自感電動(dòng)勢 又有所以 故有 因此在不計(jì)電感線圈內(nèi)阻的情況下，電感線圈兩端外電壓與其內(nèi)部自感電動(dòng)勢始終是平衡的。3.牛頓第二定律的動(dòng)量表述物體所受合外力等于動(dòng)量對時(shí)間的變化率（即動(dòng)量對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)），即4.電場強(qiáng)度是電勢對空間的變化率即 由此可知在空間某區(qū)域范圍內(nèi)電勢恒定不變（如等勢體）則電場強(qiáng)度必為0，但是由某點(diǎn)的電勢是不足以確定該點(diǎn)的場強(qiáng)的，可由某處電勢對距離的變化率確定該處場強(qiáng)。5.對于直線運(yùn)動(dòng)有平均速度定義式： 平均速度也是矢量，既有大小又有方向，且的方向與的方向一致。瞬時(shí)速度定義式：

12、瞬時(shí)速度是矢量，瞬時(shí)速度是位移對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，是平均速度的極限。瞬時(shí)速率：路程s對時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)， 也稱作瞬時(shí)速度的大小為瞬時(shí)速率，是標(biāo)量無方向。平均加速度： 矢量，且的方向與的方向始終一致。瞬時(shí)加速度： 瞬時(shí)加速度是瞬時(shí)速度對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)或位置矢量對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。只有直線運(yùn)動(dòng)才有速度時(shí)間圖像在該圖像中過每點(diǎn)的切線斜率表示瞬時(shí)加速度，割線斜率表示平均加速度。只有直線運(yùn)動(dòng)才有位移時(shí)間圖像在該圖像中過每點(diǎn)的切線斜率表示瞬時(shí)速度，割線斜率表示平均速度。6.對于曲線運(yùn)動(dòng)對于曲線運(yùn)動(dòng)來講無速度時(shí)間和位移時(shí)間圖像，但存在速率時(shí)間和路程時(shí)間圖像。因此在研究曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)常?？梢灾苯友芯克倪\(yùn)動(dòng)軌跡或者運(yùn)

13、用運(yùn)動(dòng)分解的方法來研究。設(shè)有一曲線運(yùn)動(dòng)如圖示時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)，經(jīng)過時(shí)間質(zhì)點(diǎn)沿曲線運(yùn)動(dòng)到了B點(diǎn)，在這段過程中質(zhì)點(diǎn)通過的路程為的長，質(zhì)點(diǎn)發(fā)生的位移為有向線段，我們把位移與時(shí)間之比叫做在時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度，用表示，即，平均速度也為一矢量，它的大小等于，方向與位移的方向相同，從A指向B。而這段過程中看來平均速度大小不一定等于平均速率。依照直線運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)速度的定義：我們把時(shí)平均速度的極限（包括大小和方向的極限）叫做質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻（或某一位置）的瞬時(shí)速度，用表示，即該式表明瞬時(shí)速度等于位移對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，速度是矢量，它的方向是時(shí)位移或平均速度的極限方向。在上圖中，當(dāng)時(shí)B點(diǎn)趨近于A點(diǎn)，割線AB趨近于過A點(diǎn)的

14、切線AT，所以質(zhì)點(diǎn)的速度方向是沿著軌跡上質(zhì)點(diǎn)所在點(diǎn)的切線方向并指向質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)的一方。與直線運(yùn)動(dòng)一樣，瞬時(shí)速度大小也叫瞬時(shí)速率。當(dāng)時(shí)，所以有此式表示瞬時(shí)速率等于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。再看曲線運(yùn)動(dòng)的加速度設(shè)一質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，時(shí)刻在A點(diǎn)，到了時(shí)刻到了B點(diǎn)，在A點(diǎn)時(shí)的速度為，到了B點(diǎn)時(shí)的速度為，這段過程中質(zhì)點(diǎn)的速度增量。仿照直線運(yùn)動(dòng)中平均加速度的定義：我們把速度增量與時(shí)間之比叫做時(shí)間內(nèi)的平均加速度，即，如果讓平均加速度的極限叫做質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻（或某一位置）的瞬時(shí)加速度。加速度是速度對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，是位移矢量對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。加速度為矢量，它的方向是時(shí)速度增量或平均加速度的極限方向?？磥韺τ谥?/p>

15、線運(yùn)動(dòng)與曲線運(yùn)動(dòng)中平均速度、瞬時(shí)速度、平均加速度、瞬時(shí)加速度的定義是一樣的，反映的物理意義也一樣。只不過直線運(yùn)動(dòng)中的加速度只描述速度大小變化的快慢，而在曲線運(yùn)動(dòng)中加速度除了描述速度大小變化快慢外還描述速度方向變化的快慢。對于曲線運(yùn)動(dòng)我們可以畫出其速率時(shí)間圖像，該圖像面積表示路程。7.電流、電量的關(guān)系高中物理課本中電流的定義式是：意思是通過導(dǎo)體橫截面的電荷量與通過這些電荷量所用時(shí)間的比值稱為電流，用表示。用這個(gè)關(guān)系只能求出通過導(dǎo)體的平均電流而要求瞬時(shí)電流需這樣處理： ，因此在圖像上過每個(gè)點(diǎn)的切線斜率表示瞬時(shí)電流，割線斜率表示平均電流。而圖像的面積則表示通過導(dǎo)體的電荷量。三、積分知識(shí)在高中物理中的

16、應(yīng)用1.不定積分求解不定積分是求導(dǎo)的逆過程。原函數(shù)的概念定義：如果在區(qū)間I上，可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，即對任一都有：或，那么函數(shù)就被稱為或在區(qū)間I上的原函數(shù)。例如：因?yàn)?，所以是的原函?shù)。不定積分的概念定義：在區(qū)間I上，函數(shù)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為或在區(qū)間I上的不定積分。記作： 其中記號(hào)稱為積分號(hào)，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量。由此定義可知，如果是在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，那么就是的不定積分。即：，因而不定積分可表示的任意一個(gè)原函數(shù)，也就是說求一個(gè)函數(shù)的不定積分就是求這個(gè)函數(shù)的原函數(shù)。例： 例：設(shè)曲線通過點(diǎn)，且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程。解：設(shè)所求曲線的

17、方程為 由題設(shè)可知 所以： 將點(diǎn)帶入，有所以：所求曲線方程為例：質(zhì)點(diǎn)以初速度豎直上拋，不計(jì)阻力，求它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：取向上為正方向，加速度恒定，建立一維坐標(biāo)系S由于 因此 又因?yàn)?所以 于是 而 因此 而時(shí)于是 這里的表示質(zhì)點(diǎn)的初位置。根據(jù)不定積分的定義，應(yīng)該有如下關(guān)系：由于是的原函數(shù)，所以又由于是的原函數(shù)，所以或記作由此可見微分運(yùn)算（以記號(hào)d表示）與求不定積分的運(yùn)算（簡稱積分運(yùn)算以記號(hào)表示）是互逆的，當(dāng)記號(hào)與d連在一起時(shí)，或者抵消或者抵消后剩下一個(gè)常數(shù)。2.定積分定義：設(shè)函數(shù)在上有界，在中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)：，把區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間各個(gè)小區(qū)間的長度依次為：，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作函數(shù)值與小

18、區(qū)間長度的乘積，并作出和，記，如果不論對怎樣分法，也不論在小區(qū)間上點(diǎn)怎樣取法，只要當(dāng)時(shí)，和總趨于確定的極限，這時(shí)我們稱這個(gè)極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分（簡稱積分），記作，即，其中叫做被積函數(shù)，叫做被積表達(dá)式，叫做積分變量，叫做積分下限，叫做積分上限，叫做積分區(qū)間。由定積分的定義給出了求曲邊梯形的面積、變速直線運(yùn)動(dòng)、變力做功的求法。如：曲線，軸及兩條直線、所圍成的曲邊梯形的面積A等于函數(shù)在區(qū)間上的定積分，即 （圖中陰影區(qū)域的面積）物體以變速作直線運(yùn)動(dòng)，從時(shí)刻到時(shí)刻，這物體經(jīng)過的路程S等于函數(shù)在區(qū)間上的定積分，即注意：定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無關(guān)微積分基本公式：牛頓萊

19、布尼茨公式定理：如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則一般可用上面公式求解定積分問題求定積分的一般思路是：先求出不定積分（原函數(shù)）再根據(jù)牛頓萊布尼茨公式代入上下限得出結(jié)果，在此關(guān)鍵是求原函數(shù)。例： 例：計(jì)算正弦曲線在上與軸所圍成的平面圖形的面積。解：例：汽車以每小時(shí)36km速度行駛，到某處需要減速停車，設(shè)汽車以等加速度剎車。問從開始剎車到停車，汽車走了多少距離？解：首先由可得：而 即 因此 當(dāng)時(shí)車停下，因此從開始剎車到車停下車行距離：下面用定積分的知識(shí)來處理物理中的幾類問題1.變力沿直線做功在物理中物體在恒力F作用下移動(dòng)距離S，則力F對物體所做的功。當(dāng)作用在物體上的力為變力時(shí)，會(huì)遇到變力做

20、功。下面舉例說一下變力沿直線做功的求法。例：把一個(gè)帶電量的點(diǎn)電荷放在r軸上坐標(biāo)原點(diǎn)O處，它產(chǎn)生一個(gè)電場，這個(gè)電場對周圍的電荷有作用力，由物理學(xué)知道，如果有一個(gè)單位正電荷放在這個(gè)電場中距離原點(diǎn)O為r的地方，那么電場對它的作用力大小為，當(dāng)這個(gè)單位正電荷在電場中從處沿r軸移動(dòng)到處時(shí)，計(jì)算電場力F對它所做的功。解：在上述移動(dòng)過程中，電場對這個(gè)單位正電荷的作用力為變力，取r為積分變量，它的變化區(qū)間為。設(shè)為上的任一小區(qū)間，當(dāng)單位正電荷從r移動(dòng)到時(shí)，電場力對它所做的功近似于，即功元素為，于是所求的功為。在計(jì)算靜電場中某點(diǎn)的電勢時(shí)，要考慮將單位正電荷從該點(diǎn)處移動(dòng)到無窮遠(yuǎn)處時(shí)電場力所做的功W，在此電場力對單位正

21、電荷所做的功就是廣義積分（規(guī)定無窮遠(yuǎn)處電勢為0），即。場源正電荷產(chǎn)生的電勢為正，場源負(fù)電荷產(chǎn)生的電勢為負(fù)。例：在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣體，在等溫條件下由于氣體的膨脹，把容器中的一個(gè)活塞（面積為S）從點(diǎn)a處推移到點(diǎn)b處，計(jì)算在移動(dòng)的過程中，氣體壓力所做的功。解：取坐標(biāo)系軸，活塞的位置可以用坐標(biāo)來表示，由物理知識(shí)可知，一定量的氣體在等溫條件下，壓強(qiáng)P與體積V的乘積為常數(shù)K，即，因?yàn)椋?，于是作用在活塞上的力，又在氣體膨脹的過程中，體積V是變化的，因而也是變化的，所以作用在活塞上的力F就成了變力。取為積分變量，它的變化區(qū)間為，設(shè)為上任一小區(qū)間，當(dāng)活塞從移動(dòng)到時(shí)，變力F所做的功為，即

22、做功元素為，于是所求的功為：。例：一圓柱形儲(chǔ)水桶高為5m，底圓半徑為3m，桶內(nèi)盛滿了水，試問要把桶內(nèi)的水全部吸出需要作多少功？解：作軸為坐標(biāo)系（向下方向?yàn)檎较颍?，取深度為積分變量，它的變化區(qū)間為。相應(yīng)于上任取一小區(qū)間的一薄層水的厚度為，把這一薄層吸出桶外需做功，即做功微元，于是所求的功為：此題也可以按初等方法來求解：水壓力求解問題在物理學(xué)中，水深處水產(chǎn)生的壓強(qiáng)為，設(shè)有一面積為的平板水平放置在深度的地方，那么平板受水產(chǎn)生的壓力為。如果把平板豎直放置在水中，由于水深不同的點(diǎn)處壓強(qiáng)P不相等，平板一側(cè)所受水的壓力就不能用上述公式來直接求解了?？聪乱焕＠阂粋€(gè)橫放著的圓柱形水桶，桶內(nèi)盛有半桶水。設(shè)桶

23、的底半徑為R，水的密度為，計(jì)算桶的一個(gè)端面上所受的壓力（如圖）解：在這個(gè)圓片上取過圓心且豎直向下的直線為軸，取為積分變量，它的變化區(qū)間。設(shè)為上任一小區(qū)間，半圓片上相應(yīng)于的窄條上各點(diǎn)處的壓強(qiáng)近似于，這窄條的面積為，因此窄條所受水的壓力，即壓力元素為，于是所求壓力：引力問題由物理學(xué)知道，質(zhì)量分別是相距為的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間引力大小為：。如要計(jì)算一根細(xì)棒對一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力，那么由于細(xì)棒上各點(diǎn)與該質(zhì)點(diǎn)的距離是變化的，且各點(diǎn)對該質(zhì)點(diǎn)引力的方向也不同，因此不能用上述公式來直接計(jì)算，看下一例。例：設(shè)有一長度為，線密度為的均勻細(xì)直棒。在其中垂線上距棒處有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，試計(jì)算該棒對質(zhì)點(diǎn)的引力。解：取坐標(biāo)系如圖，使棒位于

24、軸上，質(zhì)點(diǎn)位于軸上，棒的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O。取為積分變量，其變化區(qū)間，設(shè)為區(qū)間上任一小區(qū)間。把細(xì)直棒上相應(yīng)于的一小段近似看成質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量為，與質(zhì)點(diǎn)相距，于是可以按照兩質(zhì)點(diǎn)引力公式求出這段細(xì)直棒對質(zhì)點(diǎn)的引力，該力沿水平方向的分力，即力元素為：于是得引力在水平方向的總分力為：再由對稱性可知：引力在軸方向上的分力為。討論：當(dāng)細(xì)直棒很短時(shí)，即，由上面結(jié)論可知：，此時(shí)可以把很短的一段細(xì)直棒視為質(zhì)點(diǎn)。 當(dāng)細(xì)直棒很長時(shí)，即，由上面結(jié)論可知：，很顯然不能把細(xì)直棒看成質(zhì)點(diǎn)了。例：把質(zhì)量為m的物體從地球表面升高到h處，求克服萬有引力做的功。其中G為引力常數(shù)，M為地球質(zhì)量，R為地球半徑。解：功元素為：，所求的功為：第

25、二宇宙速度的推導(dǎo)物體脫離地球的引力束縛，進(jìn)入行星軌道的最小發(fā)射速度叫做第二宇宙速度。推導(dǎo)方法如下：用M表示地球質(zhì)量，R表示地球半徑，m表示物體質(zhì)量，G表示引力常量，把一個(gè)物體從地球表面發(fā)射出去，要使物體擺脫地球引力的束縛，對其應(yīng)該做的功為：如果物體所具有的動(dòng)能足以達(dá)到上述值，便可以擺脫地球引力束縛，即，由此可得：再看一個(gè)問題現(xiàn)有一個(gè)星球質(zhì)量為M，半徑為R，另一個(gè)質(zhì)量為m的物體距星球表面h處，求該物體所具有的引力勢能。（規(guī)定無窮遠(yuǎn)處引力勢能為0）由功能關(guān)系可知，設(shè)想將物體從所處位置移到無窮遠(yuǎn)處，在此過程中物體克服引力所做的功即為該處引力勢能的大小，由于規(guī)定無窮遠(yuǎn)處引力勢能為0，所以引力勢能應(yīng)該取

26、負(fù)值。在天體系統(tǒng)中，如地球和衛(wèi)星系統(tǒng)，如果只有萬有引力做功則系統(tǒng)機(jī)械能守恒，即動(dòng)能和引力勢能總和保持不變。下面再推導(dǎo)正弦交流電中電壓、電流的有效值與最大值的關(guān)系由電流熱效應(yīng)可知：在此化簡、整理后得：，再根據(jù)歐姆定律可得。交流電的電功率反映交流電的平均效果，因此有的資料上把該功率也稱作平均功率。這個(gè)功率是用有效值來計(jì)算的，即在純電阻電路中對于正弦交流電而言。通常交流電器上標(biāo)明的功率就是平均功率。交流電有效值的定義：讓交流電和恒定電流分別通過同一個(gè)定值電阻，如果在交流電的一個(gè)周期內(nèi)二者產(chǎn)生的熱量相同（即熱效應(yīng)相同），我們就把恒定電流的數(shù)值稱作交流的有效值。在定義交流電有效值時(shí)，選交流電的一個(gè)周期進(jìn)行定義和計(jì)算是很科學(xué)、很準(zhǔn)確的。在此不可任意選定時(shí)間，否則結(jié)果就不準(zhǔn)確了。選一個(gè)周期進(jìn)行計(jì)算，對于具有對稱性的交流電和不具對稱性的交流電都適用。物理中在計(jì)算某段時(shí)間通過導(dǎo)體截面的電荷量時(shí)，如果要計(jì)算一個(gè)周期通過的電荷量，對于對稱性的交流電而言電荷量一定為0，